Studiengang: Mathematik Lehramt, vertieft

Vorkenntnisse: lineare Algebra

Unbenoteter Leistungsnachweis: ja

Inhalt: Endliche Gruppen treten in natürlicher Weise als Symmetriegruppen von geometrischen Figuren auf. Wendet man solche Symmetrien nicht nur auf die Figur, sondern auf den gesamten umgebenden Raum an, erhält man eine Darstellung der Symmetriegruppe. Solche Darstellungen tauchen in vielen Bereichen der Mathematik, aber auch in der Physik und Chemie auf, z.B. in der Kristallographie.

In dem Seminar sollen die Grundzüge der Darstellungstheorie endlicher Gruppen erarbeitet werden. Schwerpunkte sind dabei die Charaktertheorie, die Veranschaulichung der Theorie an einfachen Beispielen und die Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppen. Folgende Vorträge sind geplant:

1. Grundlagen zu Darstellungen (Michael Heckner)

Darstellung auf einem Vektorraum; Intertwiner; Unterdarstellungen und irreduzible Unterdarstellungen; Summe von Darstellungen; Zerlegung in irreduzible Unterdarstellungen; Beispiele: reguläre Darstellung, Darstellungen von zyklischen Gruppen

Literatur: [Se, §1.1 - §1.4, [Si, §II.1 - §II.2]

2. Multilineare Algebra (Benjamin Vogt)

dualer Vektorraum, Tensorprodukt von Vektorräumen, alternierende und symmetrische Produkte; entsprechende Konstruktionen für Darstellungen; grundlegende Eigenschaften

Literatur: [Br, §VII], [Se, §1.5 - §1.6]

3. Charaktere von Darstellungen (Johannes Buchner)

Charakter einer Darstellung; Beispiele: Charakter einer Permutationsdarstellung und der regulären Darstellung, Charakter für Symmetriegruppe eines regelmäßigen Dreiecks; Charaktere von direkten Summen, Duale und Tensorprodukten von Darstellungen; Lemma von Schur

Literatur: [Se, §2.1 - §2.2]

4. Orthogonalitätsrelationen (Benedikt Wagner)

Formel für Dimension des Fixraumes einer Darstellung; Orthogonalitätsrelationen für Charaktere irreduzible Darstellungen

Literatur: [Se, §2.3]

5. Zerlegung der regulären Darstellung und Darstellungen der Diedergruppe (Alexander Kaiser)

Zerlegung der regulären Darstellung in irreduzible und resultierende Dimensionsformeln; Bestimmung der irreduziblen Darstellungen der Diedergruppe D_n; evt. Induktion von Darstellungen von Untegruppen der Ordnung 2

Literatur: [Se, §2.4, 5.3], [Si §III.12]

6. Dimensionssatz (Manuela Mansdorfer)

algebraische Zahlen; der Ring der algebraisch ganzen Zahlen; die Dimension einer jeden irreduziblen Darstellung teilt die Anzahl der Gruppenelemente; evt. Anwendungen

Literatur: [Si, §III.4 ohne §III.4.8,9]

7. Weitere Beispiele von Darstellungen (Stefanie Senft)

Darstellungen von abelschen Gruppen; Bestimmung der irreduziblen Darstellungen von A₄, S₄ und ihrer Charaktere; Rechnen mit Charakteren

Literatur: [Se, §3.1], [FH, §2.1 Bsp. 2.6, §1.3 S. 9-10, §2.3]

8. Darstellungen von direkten Produkten und Duales einer abelschen Gruppe (Verena Gegenfurtner)

Klassenfunktionen und Anzahl irreduzibler Darstellungen; direktes Produkt von Gruppen; Bestimmung der irreduziblen Darstellungen eines Produktes von Gruppen; Struktur von endlichen abelschen Gruppen; Selbst-Dualität endlicher abelscher Gruppen

Literatur: [Se, §2.5, 3.2]

Irreduzible Darstellungen von SU₂

Bestimmung der irreduziblen Darstellungen von SU₂ und der zugehörigen Charaktere; Zerlegung des Tensorproduktes solcher Darstellung in irreduzible

Literatur: [tD, §II.5 (5.1)-(5.5)]

Multilineare Algebra II

symmetrische und alternierende multilineare Abbildungen und die zugehörigen Tensorprodukte; Darstellung von S_n auf V^⊗n und Zusammenhang mit symmetrischen/alternierenden Tensorprodukten; Beispiele der Zerlegung von (symmetrischen/alternierenden) Tensorprodukten von Darstellungen in irreduzible; evt. Young-Tableaus

Literatur:

Die Darstellungen der Permutationsgruppen (Michael Plesche)

Young-Tableaus und assoziierte Darstellung der Permutationsgruppe S_d; explizite Beschreibung im Fall d = 3; evt. Frobenius-Formel für die Dimension der assoziierten Darstellung

Literatur: [FH, §4.1]

Literatur:

[Br]

T. Bröcker. Lineare Algebra und analytische Geometrie. Grundstudium Mathematik. [Basic Study of Mathematics]. Birkhäuser Verlag, Basel, 2003.

[FH]

W. Fulton und J. Harris. Representation theory, volume 129 of Graduate Texts in Mathematics.
Springer-Verlag, New York, 1991.

[Se]

J.-P. Serre. Linear representations of finite groups. Springer-Verlag, New York, 1977.

[Si]

B. Simon. Representations of finite and compact groups, volume 10 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.

[tD]

T. Bröcker und T. tom Dieck. Representations of compact Lie groups. volume 98 of Graduate Texts in Mathematics.
Springer-Verlag, New York, 1995.