Vorlesung “Operatoralgebren”, WS 08/09, Universität Regensburg

Dr. Thomas Timmermann 13. Juli 2010

Inhaltsverzeichnis

1 Spektraltheorie  5
1.1 Das Spektrum in einer Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Banachalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Das Spektrum in einer Banachalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Das Spektrum einer kommutativen Banachalgebra . . . . . . . . . . . . 11
2 C^{∗}-Algebren  18
2.1 Definitionen, Beispiele, erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Anwendung der Spektraltheorie auf C^{∗}-Algebren . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Positivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Approximative Einsen und maximale Unitalisierung . . . . . . . . . . . 28
3 Darstellungen von C^{∗}-Algebren und positive Funktionale  33
3.1 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Zyklische Darstellungen, positive Funktionale und GNS-Konstruktion . 35
3.3 Irreduzible Darstellungen und reine Zustände . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Ausblick: Das Spektrum einer C^{∗}-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Von-Neumann-Algebren  45
4.1 Topologien auf L(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 von-Neumann-Algebren und der Bikommutantensatz . . . . . . . . . . 48
4.3 Das Präduale einer von-Neumann-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Anwendung der Spektraltheorie auf von-Neumann-Algebren . . . . . . 56
4.5 Vergleich von Projektionen und Typen von Faktoren . . . . . . . . . . . 61

5 Gruppenalgebren und verschränkte Produkte  65
5.1 Gruppenalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Verschiedene Beispiele und Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Verschränkte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 K-Theorie für C^{∗}-Algebren — ein Ausblick  78

Einführung

Die Vorlesung soll folgende Themen behandeln:

1. Spektraltheorie Ziel: “Rechnen (a) mit Elementen einer Operatoralgebra und (b) kommutativen Operatoralgebren ist wie Rechnen mit Funktionen.”

Zu (a): Bekannt: ∃ polynomieller Kalkül für Elemente von Algebren; Bsp.: M_{n}(ℂ)

[figure: a ∈ M_{n}(ℂ) ⇝; ℂ[X]; M_{n}(ℂ),; p; p(a); ℂ[X]/(χ_{a}(X)); a ∼ diag(λ_{1},...,λ_{n}) ⇝; C(\underbrace{\{λ_{1},...,λ_{n}\}}_{=σ(a)}); (p(λ_{1}),...,p(λ_{n}))]

Werden sehen: ∃ stetiger Funktionalkalkül für C^{∗}-Algebren; Bsp.: L(H), H ein Hilbertraum

\xymatrix{a ∈ L(H) normal ⇝ & ℂ[X] \ar[rr] \ar[dr] &  & L(H) \\  &  & C(σ(a)) \ar@{-->}[ur]}

Zu (b): Ähnlich wie in der algebraischen Geometrie kann man kommutative Operatoralgebren als Funktionen auf einem Spektrum beschreiben:

Satz (Gelfand). Es existiert eine (kontravariante) Äquivalenz von Kategorien

{kommutative C^{∗}-Algebren mit Eins} ⇄ {kompakte Hausdorff-Räume}
C(X)↤ X
A↦ spec(A)

⇒ “Theorie der C^{∗}-Algebren” = nichtkommutative Topologie

2. Darstellungstheorie von C^{∗}-Algebren Ziel: (a) besseres Verständnis nichtkommutativer C^{∗}-Algebren, (b) konkrete Realisierung abstrakter C^{∗}-Algebren als Algebren von Operatoren Zu (a): Warum Darstellungen studieren?

spec(A)≡ eindimensionale Darstellungen von A
\{ \begin{matrix}= (A kommutativ) \\ ⊊ (A nichtkommutativ) \end{matrix}\} irreduzible Darstellungen von A

Zu (b): Es gibt genügend irreduzible Darstellungen: Satz (Gelfand-Naimark-Segal). Jede C^{∗}-Algebra besitzt eine treue Darstellung auf einem Hilbertraum

3. Beispiele von C^{∗}-Algebren • natürliche Konstruktionen: Summe, Tensorprodukt, pull-backs, ...

• universelle C^{∗}-Algebren

• approximativ endlich-dimensionale,

• C^{∗}-Algebren von diskreten Gruppen und dynamischen Systemen

4. Grundlagen zur K-Theorie (skizzenhaft) Ziel: Gewinnung von Invarianten von C^{∗}-Algebren mittels einer effektiv berechenbaren Homologietheorie

[figure: lk. Hausdorff-Räume; X ↦ C_{0}(X); K-Theorie; (verallgem. Kohomologietheorie); {abelsche Gruppen}; C^{∗}-Algebren; K-Theorie]

Anwendungen der K-Theorie (sprengt Rahmen der Vorlesung):

• Index-Theorie für elliptische (Pseudo-)Differentialoperatoren;

• Klassifikation von C^{∗}-Algebren;

• Klassifikation dynamischer Systeme mittels K-Theorie zugeordneter C^{∗}-Algebren;

• Novikov-Vermutung in der Topologie, ...

5. Grundlagen zu Von-Neumann-Algebren (skizzenhaft)

1 Spektraltheorie

1.1 Das Spektrum in einer Algebra

Wir betrachten im Folgenden nur komplexe Algebren und lassen den Zusatz “komplex” weg. Definition 1.1. Sei A eine unitale Algebra und

Inv(A) := {a ∈ A: a invertierbar}.

Für ein a ∈ A ist • σ_{A}(a) := {λ ∈ ℂ: λ1_{A}− a ∉ Inv(A)} das Spektrum von a;

• r_{A}(a) := sup_{λ∈σ_{A}(a)} |λ| der Spektralradius von a;

• ρ_{A}(a) := ℂ \ σ_{A}(a) die Resolventenmenge von a;

• R_{a}(λ) := (λ1_{A}− a)^{−1} die Resolvente von a zu λ ∈ ρ_{A}(a). Beispiele 1.2. i) A = M_{n}(ℂ) ⇒ σ_{A}(a) = { Eigenwerte der Matrix a};

ii) A = C(X) für einen kompakten Raum X ⇒ σ_{A}(a) = a(X) für jede Funktion a ∈ A; Wie verhält sich das Spektrum unter Polynombildung? Satz 1.3. Sei A eine unitale Algebra, a ∈ A und p ∈ ℂ[X]. Dann ist

σ_{A}(p(a)) = p(σ_{A}(a)) := {p(λ) : λ ∈ σ_{A}(a)}.

Der Beweis benutzt folgende einfache Beobachtung: Lemma 1.4. Sei A eine unitale Algebra mit a_{1},...,a_{n} ∈ A und a_{i}a_{j} = a_{j}a_{i} für alle i,j. Dann gilt: a_{1},...,a_{n} ∈ Inv(A) ⇔ a_{1}··· a_{n} ∈ Inv(A). Beweis von Satz 1.3. Sei λ ∈ ℂ. Schreibe p(X) = λ+(λ_{1}−X)··· (λ_{n}−X) mit λ_{1},...,λ_{n}∈ ℂ. Dann gilt

λ ∈ p(ρ_{A}(a)) ⇔ λ_{1},...,λ_{n} ∈ ρ_{A}(a)
⇔ (a − λ_{1}),...,(a − λ_{n}) ∈ Inv(A)
⇔ λ − p(a) ∈ Inv(A) ⇔ λ ∈ ρ_{A}(p(a)).

Wir erweitern Definition 1.1 auf Algebren ohne Eins mithilfe der Unitalisierung:

Definition 1.5. i) Sei A eine Algebra. Dann ist der Vektorraum Ã:= ℂ ⊕ A eine

Algebra mit Eins 1Ã= (1,0) bezüglich der Multiplikation

(λ,a) · (μ,b) := (λμ,λb + μa + ab). Die Algebra Ãheißt die Unitalisierung von A. Wir identifizieren A mit der Unteralgebra {(0,a) | a ∈ A} ⊆ Ãvia a ↦ (0,a).

ii) Sei A eine komplexe Algebra ohne Eins und a ∈ A. Wir setzen σ_{A}(a) := σÃ(a),

r_{A}(a) := rÃ(a), ρ_{A}(a) := ρÃ(a). Bemerkung 1.6. Sei A eine Algebra und a ∈ A.

i) Hat A keine Eins, so gilt 0 ∈ σ_{A}(a) (ÜA).

ii) Hat A eine Eins, so gilt σ_{A}(a) ∪ {0} = σÃ((0,a)) (ÜA). Wie verhält sich das Spektrum bezüglich Homomorphismen? Lemma 1.7. Sei ϕ: A → B ein Homomorphismus von Algebren. Hat B eine Eins 1_{B}, so ist Ã→ B, (λ,a) ↦ λ1_{B}+ ϕ(a), ein unitaler Algebren-Homomorphismus. Insbesondere ist ϕ̃: Ã→ B̃, (λ,a) ↦ (λ,ϕ(a)), ein unitaler Homomorphismus. Beweis. ÜA. Satz 1.8. Sei ϕ: A → B ein Homomorphismus von Algebren.

i) Sind A,B,ϕ unital, so gilt σ_{B}(ϕ(a)) ⊆ σ_{A}(a).

ii) Allgemein gilt σ_{B}(ϕ(a)) ⊆ σ_{A}(a) ∪ {0}. Beweis. Sei a ∈ A.

i) λ ∈ ρ_{A}(a) ⇒ ϕ((λ1_{A}− a)^{−1} ) ist invers zu (λ1_{B}− ϕ(a)) ⇒ λ ∈ ρ_{B}(ϕ(a))). ii) σ_{B}(ϕ(a)) ∪ {0} = σB̃((0,ϕ(a))) = σB̃(ϕ̃(0,a)) ⊆ σÃ((0,a)) = σ_{A}(a) ∪ {0}. Beispiel 1.9. Sei

• D = {z ∈ ℂ: |z| ≤ 1} und T = ∂D,

• A(D) := {f ∈ C(D) : f|Ḋ analytisch},

• ϕ: A(D) → C(T) die Einschränkungsabbildung f ↦ f|_{T},

• z:= Id_{D} ∈ A(D). Dann ist

σ_{C(T)}(ϕ(z)) = (z|_{T})(T) = T ⊊ D = z(D) = σ_{A(D)}(z).

Bemerkung: Maximumsprinzip der Funktionentheorie ⇒ ϕ ist injektiv.

1.2 Banachalgebren

Definition 1.10. Eine komplexe/reelle Banachalgebra ist eine komplexe/reelle Algebra A mit einer Norm ∥ · ∥, die folgende Bedingungen erfüllt:

i) (A,∥ · ∥) ist vollständig, also ein Banachraum, ii) ∥ · ∥ ist submultiplikativ: ∥ϕ(a)∥ ≤ ∥a∥ für alle a ∈ A.

Eine Banachalgebra A heißt unital, falls sie eine Eins 1_{A}mit ∥1_{A}∥ = 1 besitzt.

Ende der Vorlesung vom 15.10.

Beispiele 1.11. i) Pathologisch: Jeder Banachraum A ist eine Banachalgebra bzgl.

der trivialen Multiplikation A × A → A, (a,b) ↦ 0. ii) Sei A eine Banachalgebra. Dann ist die Unitalisierung Ã, versehen mit der Norm

∥(λ,a)∥:= |λ| + ∥a∥, eine Banachalgebra. Kommutative Banachalgebren von Funktionen mit punktweisen Operationen sind z.B.: iii) für jeden lokalkompakten Hausdorff-Raum X: C_{0}(X) und C_{b}(X) mit der Supre-

mumsnorm; iv) für jeden Maßraum (X,μ): L^{∞} (X,μ) mit der Norm ∥f∥ = inf{C ≥ 0 | |f(x)| ≤ C

für μ-fast alle x ∈ X};

v) A(D) wie in Beispiel 1.9mit der Supremumsnorm; Vollständigkeit von A(D) wird

in der Funktionentheorie bewiesen. Nichtkommutative Banachalgebren von Operatoren sind z.B.:

vi) M_{n}(ℂ) mit derüblichen Multiplikation und einer Operatornorm (d.h. ∥a∥ = sup{∥av∥:

v ∈ ℂ^{n},∥v∥ = 1} für eine beliebig gewählte Norm ∥ · ∥ auf ℂ^{n}); vii) die oberen n × n-Dreiecksmatrizen {a ∈ M_{n}(ℂ) | a_{ij} = 0 für i > j}; viii) für jeden Banachraum E: die Räume L(E) und K (E) der stetigen/kompakten

linearen Endomorphismen; ix) für jede diskrete Gruppe G: der Raum l^{1}(G) (aufgefasst als Funktionen G → ℂ)

mit der Multiplikation und der Norm

(ab)(z) = ∑_{x,y∈G,xy=z}a(x)b(y), ∥a∥:= ∑_{x∈G}|a(x)|.

Bezeichnet U_{x} ∈ l^{1}(G) die Funktion y ↦ δ_{x,y}, so gilt

∑_{x∈G}a_{x}U_{x}· ∑_{y∈G}b_{y}U_{y} = ∑_{x,y∈G}a_{x}b_{y}\underbrace{U_{x}U_{y}}_{=U_{xy}}.

Allgemein: Ist G eine eine lokalkompakte Gruppe mit linkem Haar-Maß μ, so ist der Banachraum L^{1}(G,μ) eine Banachalgebra bzgl. der Multiplikation

(f ∗ g)(y) = ∫_{G}f(x)g(x^{−1} y)dμ(y).

Weitere Beispiele: siehe Übung.

Definition 1.12. Ein Homomorphismus von Banachalgebren A, B ist einfach ein Algebren-Homomorphismus ϕ: A → B und heißt

• kontraktiv, wenn ∥ϕ(a)∥ ≤ ∥a∥ für alle a ∈ A;

• Charakter, wenn B = ℂ und ϕ ≠ 0.

Bemerkung 1.13. Ist ϕ: A → B ein Homomorphismus von Banachalgebren und stetig/kontraktiv, so ist auch ϕ̃: Ã→ B̃stetig/kontraktiv, weil für alle (λ,a) ∈ Ã

∥ϕ̃(λ,a)∥ = ∥(λ,ϕ(a)∥ = |λ| + ∥ϕ(a)∥ ≤ max{1,∥ϕ∥}∥(λ,a)∥.

Bemerkung 1.14. Es gibt viele hinreichende Kriterien dafür, wann ein Homomorphismus von Banachalgebren stetig ist (“automatische Stetigkeit”):

• Einfach: Jeder Charakter ist stetig. Sehen später: Jeder Homomorphismus in eine C^{∗}-Algebra ist stetig.

• Sei B eine Banachalgebra. Das Radikal rad(B) von B ist der Schnitt aller maxima-

len Linksideale von \{ \begin{matrix}B, & B unital, \\ B̃, & sonst, \end{matrix} und B heißt halbeinfach, wenn rad(B) = 0.

Satz von Johnson: Wenn ϕ: A → B ein Homomorphismus von Banachalgebren und B halbeinfach ist, dann ist ϕ stetig.

1.3 Das Spektrum in einer Banachalgebra

In einer Banachalgebra kann man Inverse mit der geometrischen Reihe bilden:

Satz 1.15. Sei A eine unitale Banachalgebra und a ∈ A mit ∥a∥ < 1. Dann ist

1 − a ∈ Inv(A),  (1 − a)^{−1} = ∑_{n=0}^{∞} a^{n},  ∥1 − a∥^{−1} ≤ (1 − ∥a∥)^{−1} .

Beweis. ∑ _{n=0}^{∞} ∥a^{n}∥ ≤ ∑ _{n=0}^{∞} ∥a∥^{n} < ∞ ⇒ ∑ _{n=0}^{∞} a^{n} =: b ∈ A existiert und b(1−a) = (1− a)b = lim_{n→∞} (1 − a)(1 + a + ··· + a^{n}) = lim_{n→∞} 1 − a^{n+1} = 1. Dieser elementare Satz liefert wichtige Folgerungen. Bezeichnung 1.16. Wir bezeichnen die stetigen linearen Abbildungen zwischen Banachräumen X und Y mit L(X,Y) und den (stetigen) Dualraum von Y mit Y^{∗}:= L(Y,ℂ). Satz 1.17. Seien X,Y komplexe Banachräume, U ⊆ X offen und f: U → Y eine beliebige Abbildung. Dann sind äquivalent:

i) ∀x ∈ U∃D_{x}f ∈ L(X,Y) : lim_{h→0} ∥f(x + h) − f(x) − (D_{x}f)(h)∥/∥h∥ = 0, und die Abbildung U → L(X,Y), x ↦ D_{x}f, ist stetig.

ii) ∀x ∈ U,h ∈ X,ϕ ∈ Y^{∗} : die Funktion λ ↦ ϕ(f(x + λh)) ist holomorph um 0. Bemerkungen zum Beweis: i) ⇒ ii) klar; ii) ⇒ i): Mehrfache Anwendung des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit (Satz von Banach-Steinhaus). Definition 1.18. Eine Funktion f wie oben heißt stetig komplex differenzierbar/analytisch/holomorph, wenn sie die Bedingungen i), ii) erfüllt. Für analytische Funktionen auf einer Banachalgebra existiert eine Potenzreihenentwicklung ähnlich wie für analytische Funktionen; siehe Hille, Phillips: Functional analysis and semi-groups, AMS ’57, Kapitel 26. Satz 1.19. Sei A eine unitale Banachalgebra.

i) Inv(A) ⊆ A ist offen.

ii) Die Abbildung ν: Inv(A) → A, a ↦ a^{−1} , ist analytisch und (D_{c}ν)d = −c^{−1} dc^{−1}

für alle c ∈ Inv(A), d ∈ A. Beweis. i) Nach Satz 1.15 gilt für jedes c ∈ Inv(A) und d ∈ A mit ∥d∥ < 1/∥c∥:

c + d = c · (1 + c^{−1} d) ∈ Inv(A) · Inv(A) ⊆ Inv(A).

ii) Sei a ∈ A und ∥a∥ < 1. Dann

(1 − a)^{−1} − 1^{−1} = ∑_{n=0}^{∞} a^{n}− 1 = a + a^{2} ∑_{n=0}^{∞} a^{n} = a + a^{2}(1 − a)^{−1} .

Für jedes c ∈ Inv(A) folgt (c − ca)^{−1} − c^{−1} = ((1 − a)^{−1} − 1)c^{−1} = ac^{−1} + a^{2}(1 − a)^{−1} c^{−1} un d

∥a^{2}(1 − a)^{−1} c^{−1} ∥| ≤ ∥a∥^{2}(1 − ∥a∥)^{−1} ∥c^{−1} ∥ −−→^{a→0} 0.

Insbesondere ist ν stetig. Substitution d = −ca und a = −c^{−1} d liefert für alle d ∈ A mit ∥d∥ < ∥c∥^{−1}

(c + d)^{−1} − c^{−1} = −c^{−1} dc^{−1} + (c^{−1} d)^{2}(c + d)^{−1}

und

∥(c^{−1} d)^{2}(c + d)^{−1} ∥/∥d∥ ≤ ∥c^{−1} ∥^{2}∥d∥∥(c + d)^{−1} ∥ −⟶^{d→0} 0.

Also ist ν stetig differenzierbar mit (D_{c}ν)(d) = −c^{−1} dc^{−1} .

Theorem 1.20. Sei A eine unitale Banachalgebra und a ∈ A.

i) ρ_{A}(a) ist offen und die Abbildung R_{a}: ρ_{A}(a) → A, λ ↦ (λ − a)^{−1} , ist analytisch.

ii) σ_{A}(a) ist eine abgeschlossene nicht-leere Teilmenge von {λ ∈ ℂ : |λ| ≤ ∥a∥}; insbesondere ist r_{A}(a) ≤ ∥a∥.

Beweis. i) Folgt aus Satz 1.19. ii) 1. σ_{A}(a) ist abgeschlossen nach i).

2. Satz 1.15 ⇒ für λ ∈ ℂ mit |λ| > ∥a∥ ist λ − a = λ(1 − a/λ) ∈ Inv(A) und λ ∈ ρ_{A}(a).

3. Angenommen, σ_{A}(a) = ∅. Nach i) ist die Resolventenabbildung R_{a} analytisch und

∥(λ − a)^{−1} ∥ = |λ^{−1} |∥(1 − a/λ)^{−1} ∥ −−⟶^{|λ|→∞} 0.

Somit ist für jedes ϕ ∈ A^{∗} die Funktion ϕ ∘ R_{a} analytisch und in C_{0}(ℂ), also nach Liouville konstant 0. Mit dem Satz von Hahn-Banach folgt R_{a} ≡ 0, Widerspruch.

Folgerung 1.21 (Gelfand-Mazur). Ist A eine unitale Banachalgebra und Inv(A) = A \ {0}, so ist A = ℂ1_{A}.

Beweis. Nach obigem Satz existiert für jedes a ∈ A ein λ ∈ ℂ mit λ1_{A}− a = 0.

Ende der Vorlesung vom 21.10.

Theorem 1.22 (Beurling). Sei A eine unitale Banachalgebra und a ∈ A. Dann ist

r_{A}(a) = inf_{n≥1}∥a^{n}∥^{1/n} = lim_{n→∞} ∥a^{n}∥^{1/n}.

Insbesondere hängt r_{A}(a) nicht von A ab.

Der Beweis benutzt folgende “Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit” (Satz von Banach-Steinhaus):

Lemma 1.23. Sei A ein normierter Raum, b_{n} eine Folge in A und sup_{n}|ϕ(b_{n})| < ∞ für jedes ϕ ∈ A^{∗}. Dann ist sup_{n}∥b_{n}∥ < ∞.

Beweis. Für jedes k ∈ ℕ ist C_{k} := {ϕ ∈ A^{∗} | sup_{n}∥ϕ(b_{n})∥ ≤ k} ⊆ A^{∗} abgeschlossen. Ferner ist A^{∗} = ⋃ _{k}C_{k}. Fall 1: Jedes C_{k} ist nirgends dicht, d.h. enthält keine offene Menge. Dann finden wir schrittweise nichtleere Kugeln D_{k} ⊆ D_{k−1} ∩ (A^{∗}\ (C_{1}∪ ··· ∪ C_{k})) und ∅ ≠ ⋂ _{k}D_{k} ⊆ A^{∗}\ ⋃ _{k}C_{k} = ∅ weil A^{∗} vollständig ist; Widerspruch. Fall 2: Ein C_{k} entält eine Kugel, etwa um ϕ_{0} ∈ A^{∗} mit Radius r > 0. Dann gilt für alle ϕ ∈ A^{∗} mit ∥ϕ∥ < r: ∥ϕ(b_{n})∥ ≤ ∥ϕ_{0}(b_{n})∥ − ∥(ϕ_{0}+ ϕ)(b_{n})∥ ≤ 2k und mit dem Satz von Hahn-Banach folgt ∥b_{n}∥ ≤ 2k/r.

Beweis von Theorem 1.22. “≤”: Satz 1.3 ⇒ σ(a)^{n} = σ(a^{n}); Theorem 1.20 ⇒ r_{A}(a)^{n} ≤ r_{A}(a^{n}) ≤ ∥a^{n}∥ für alle n. “≥”: Sei B = {z ∈ ℂ: |z| < 1/r_{A}(a)}. Dann ist B^{−1} ⊆ ρ_{A}(a) und S: B → A, z ↦ (1 − za)^{−1} , analytisch. Für jedes ϕ ∈ A^{∗} ist

(ϕ ∘ S)(z) = ϕ((1 − za)^{−1} ) = ∑_{n=0}^{∞} ϕ((za^{n})) = ∑_{n=0}^{∞} z^{n}ϕ(a^{n})

falls |za| < 1 und nach dem Identitätssatz für analytische Funktionen für alle z mit |z| < 1/r_{A}(a). Anwendung des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit auf die Abbildungen A^{∗} → ℂ, ϕ ↦ z^{n}ϕ(a^{n}), (n ∈ ℕ) liefert sup_{n}∥z^{n}a^{n}∥ < ∞ und somit limsup_{n}∥a^{n}∥^{1/n}< r_{A}(a).

1.4 Das Spektrum einer kommutativen Banachalgebra

Wir konstruieren kontravariante Funktoren

\xymatrix{\{ \begin{matrix}lk. Hausdorff-Räume, \\ stetige eigentliche Abbildungen \end{matrix}\} =: Top \ar[d]|{F} \\ \{ \begin{matrix}Banachalgebren, \\ nichtdegenerierte Homomorphismen \end{matrix}\} =: BAlg \ar[u]^{Ω}}

und natürliche Transformationen

γ: Id→ F ∘ Ω (Gelfand-Transformation),  δ: Id→ Ω ∘ F.

Sehen später: Einschränkung auf C^{∗}-Algebren statt Banachalgebren ergibt eineÄquivalenz von Kategorien.

Definition 1.24. i) Eine Abbildung lk. Hausdorff-Räume f: X → Y ist eigentlich, falls für jedes kompakte K ⊆ Y auch f^{−1} (K) ⊆ X kompakt ist. ii) Ein Homomorphismus von Banachalgebren ϕ: A → B ist nichdegeneriert (n.d.),

falls \overline{spanϕ(A)B}= B = \overline{spanBϕ(A)}. Der Funktor F ist einfach: Satz 1.25. Es existiert ein Funktor F : Top → BAlg so, dass

• für jeden Raum X gilt F X = C_{0}(X);

• für jede Abbildung f: X → Y gilt F f = f^{∗}: C_{0}(Y) → C_{0}(X), g ↦ g ∘ f. Nun zum Funktor Ω. Definition 1.26. Sei A eine Banachalgebra. Ein Charakter auf A ist ein nicht-trivialer Homomorphismus A → ℂ. Die Menge aller Charaktere von A wird mit Ω(A) bezeichnet und heißt, wenn A kommutativ ist, das Spektrum von A. Lemma 1.27. Sei A eine Banachalgebra.

i) Für alle a ∈ A, ω ∈ Ω(A) ist ω(a) ∈ σ_{A}(a).

ii) Ω(A) liegt in der Einheitskugel A_{1}^{∗} von A^{∗}. Beweis. i) Folgt aus Satz 1.8. ii) Für jedes ω ∈ Ω(A),a ∈ A ist |ω(a)| ≤^{i)} r_{A}(a) ≤^{Theorem 1.20} ∥a∥. Sei A eine Banachalgebra. Wir versehen Ω(A) mit der schwach-∗-Topologie von A^{∗}; das ist die Topologie der punktweisen Konvergenz bzw. die Topologie, die jeweils erzeugt wird durch

• die Abbildungen {γ_{a}: A^{∗} → ℂ | a ∈ A}, wobei γ_{a}(ϕ) = ϕ(a);

• die Halbnormen {| · |_{a} | a ∈ A}, wobei |ϕ|_{a} := |ϕ(a)|;

• die Sub-Basis {U_{a,z,ϵ}| a ∈ A,z ∈ ℂ,ϵ > 0}, wobei U_{a,z,ϵ}= {ϕ ∈ A^{∗} | |ϕ(a)−z| < ϵ}; (d.h. ein Netz (ω_{ν})_{ν} konvergiert gegen ein ω ⇔ ω_{ν}(a) → ω(a) für jedes a ∈ A.) Benutzen im nächsten Satz:

• Ist A unital, so ist ω(1_{A}) = 1 für alle ω ∈ Ω(A).

• Es existiert ein Charakter χ: Ã→ ℂ, (λ,a) ↦ λ. Satz 1.28. Für jede Banachalgebra A existieren inverse Homöomorphismen Ω(Ã) \

{χ} ⇄^{res}_{ind}Ω(A) mit

res(ω)(a) = ω((0,a)) für alle ω ∈ Ω(Ã) \ {χ},
ind(ω)(λ,a) = λ + ω(a) für alle ω ∈ Ω(A), (λ,a) ∈ Ã.

Beweis. • res wohldefiniert: klar; ind wohldefiniert: Lemma 1.7.

• res,ind zueinander invers:

(res ∘ ind)(ω)(a) = ind(ω)(0,a) = ω(a),
(ind ∘ res)(ω)((λ,a)) = λ + ω((0,a)) = ω((λ,0)) + ω((0,a)) = ω((λ,a)).

• res, ind stetig: res^{−1} (U_{a,z,ϵ}) = U_{(0,a),z,ϵ} und ind^{−1} (U_{(λ,a),z,ϵ}) = U_{a,z−λ,ϵ} für alle a ∈ A, λ,z ∈ ℂ, ϵ > 0.

Theorem 1.29. i) Für jede unitale Banachalgebra A ist Ω(A) kompakt.

ii) Für jede Banachalgebra A ist Ω(A) lokalkompakt, Hausdorffsch, und die Abbildung ind: Ω(A) ↪ Ω(Ã) ist die Ein-Punkt-Kompaktifizierung.

Beweis. i) A_{1}^{∗} ist kompakt: Satz von Banach-Alaoglu; Ω(A) ⊆ A_{1}^{∗} ist abgeschlossen:

Ω(A) = ⋂_{a,b∈A}f_{a,b}^{−1}({0}) ∩ γ_{1_{A}}^{−1}({1}) ⊆ A_{1}^{∗},

wobei f_{a,b}(ϕ) = ϕ(a)ϕ(b) − ϕ(ab) für alle a,b ∈ A,ϕ ∈ A_{1}^{∗}. ii) Folgt aus i) und Satz 1.28.

Theorem 1.30. Es existiert ein Funktor Ω: BAlg → Top so, dass

• für jede Banachalgebra A ist Ω(A) wie oben;

• für jeden nichtdegen. Homomorphismus ϕ: A → B ist Ω(ϕ) = ϕ^{∗}: Ω(B) → Ω(A), ω ↦ ω ∘ ϕ.

Beweis. Sei ϕ wie oben.

• ϕ ist wohldefiniert: für jedes ω ∈ Ω(A) ist ω∘ϕ ≠ 0, weil sonst ω(B) = ω(\overline{spanϕ(A)B}) = 0.

• ϕ^{∗} ist stetig: (ϕ^{∗})^{−1} (U_{a,z,ϵ}) = U_{ϕ(a),z,ϵ} für alle a ∈ A, z ∈ ℂ, ϵ > 0.

• ϕ^{∗} ist eigentlich: folgt aus Theorem 1.29, Kommutativität des Diagramms

\xymatrix{Ω(B) \ar[r]^{ind} \ar[d]^{ϕ^{∗}} & Ω(B̃) \ar[d]^{ϕ̃^{∗}} \\ Ω(A) \ar[r]^{ind} & Ω(Ã)}

und Stetigkeit von ϕ̃^{∗}.

Satz 1.31. i) Sei A eine Banachalgebra. Dann existiert ein Homomorphismus γ_{A}: A → C_{0}(Ω(A)) mit (γ_{A}(a))(ω) = ω(a) für alle ω ∈ Ω(A), a ∈ A.

ii) Die Familie (γ_{A})_{A}ist eine natürliche Transformation γ: Id→ F ∘ Ω.

Beweis. i) Klar: γ_{A} ist Homomorphismus nach C(Ω(A)); γ_{A}(A) ⊆ C_{0}(Ω(A)): benutze Theorem 1.29. ii) Sei ϕ: A → B ein n.d. Homomorphismus von Banachalgebren. Dann kommutiert

\xymatrix{A \ar[r]^{ϕ} \ar[d]^{γ_{A}} & B \ar[d]^{γ_{B}} \\ C_{0}(Ω(A)) \ar[r]^{F Ωϕ} & C_{0}(Ω(B)),}

weil für alle a ∈ A, ω ∈ Ω(B)

(F Ωϕ(γ_{A}(a)))(ω) = (γ_{A}(a))(Ωϕ(ω)) = (ω ∘ ϕ)(a) = (γ_{B}(ϕ(a)))(ω).

Ende der Vorlesung vom 22.10.

Berichtigung zu Definition 1.26: Ω(A) heißt Spektrum von A nur dann, wenn A kommutativ ist.

Bemerkung 1.32. i) γ_{A} kann nicht injektiv sein, wenn A nichtkommutativ ist — kerγ_{A} enthält das von den Kommutatoren ab − ba (a,b ∈ A) erzeugte zweiseitige abgeschlossene Ideal, weil γ_{A}(a)γ_{A}(b) = γ_{A}(b)γ_{A}(a) für alle a,b ∈ A.

ii) Auch wenn A kommutativ ist, braucht γ_{A}weder injektiv noch surjektiv zu sein — siehe Beispiele 1.44.

Satz 1.33. i) Sei X ein lk. Hausdorff-Raum. Dann existiert ein Homöomorphismus δ_{X}: X → Ω(C_{0}(X)) mit (δ_{X}x)(f) = f(x) für alle x ∈ X, f ∈ C_{0}(X).

ii) Die Familie (δ_{X})_{X} ist eine natürliche Transformation δ: Id→ Ω ∘ F.

Beweis. i)

• δ_{X}x ∈ Ω(C_{0}(X)) für jedes x ∈ X: klar.

• δ_{X} ist injektiv: Urysohn’s Lemma.

• δ_{X} ist surjektiv: Nehmen X kompakt an; allgemeiner Fall: Verwende Theorem 1.29 und Ein-Punkt-Kompaktifizierung von X; siehe Übung. Sei ω ∈ Ω(C_{0}(X)).

Fall 1: kerω ⊆ kerδ_{X}(x) für ein x ∈ X. Sei ω ∈ C_{0}(X) mit ω(f) = 1. Dann ist δ_{X}(x) = f(x)ω: für jedes g ∈ C_{0}(X) gilt g−ω(g)f ∈ kerω ⊆ kerδ_{X}(x), also g(x) = ω(g)f(x).

Fall 2: zu jedem x ∈ X existiert ein f_{x}∈ kerω mit f_{x}(x) ≠ 0. X kompakt ⇒ es gibt x_{1},...,x_{n} ∈ X mit h:= f_{x_{1}}\overline{f_{x_{1}}} + ··· + f_{x_{n}}\overline{f_{x_{n}}} > 0. Aber ω(h) = 0. Widerspruch.

• δ_{X} ist Homöomorphismus: δ_{X}^{−1} (U_{f,z,ϵ}) = {x ∈ X | |f(x)−z| < ϵ} ist offen für alle f ∈ C_{0}(X),z ∈ ℂ,ϵ > 0. Urysohn’s Lemma: Mengen dieser Form bilden Basis der Topologie von X.

ii) Sei f: X → Y eine stetige eigentliche Abbildung l.k. Hausdorff-Räume. Dann kommutiert

\xymatrix{X \ar[r]^{f} \ar[d]^{δ_{X}} & Y \ar[d]^{δ_{Y}} \\ Ω(C_{0}(X)) \ar[r]^{ΩF f} & Ω(C_{0}(Y)),}

weil für alle x ∈ X und g ∈ C_{0}(Y)

L(ΩF f(δ_{X}(x)))(g) = δ_{X}(x)((F f)(g)) = g(f(x)) = (δ_{Y}(f(x)))(g).

Beschreibung von Ω(A) mittels maximaler Ideale Wir beschreiben das Spektrum einer kommutativen Banachalgebra (ähnlich wie in der algebraischen Geometrie) durch Ideale, um die Existenz “ausreichend vieler Charaktere” zu beweisen. Sei A eine Banachalgebra.

Lemma/Definition 1.34. Sei I ein zweiseitiges Ideal in A. Dann sind äquivalent:

i) A/I ist unital.

ii) Es gibt ein u ∈ A mit ua − a,au − a ∈ I für alle a ∈ A.

Gelten diese Bedingungen, so heißt I modular.

Satz 1.35. Sei I ⊆ A ein abgeschlossenes Ideal. Dann ist A/I eine Banachalgebra bezüglich der Norm ∥a + I∥:= inf_{b∈I} ∥a + b∥.

Beweis. A/I ist Banachraum: Ist (a_{n})_{n} Folge in A mit ∑ _{n=0}^{∞} ∥a_{n}+ I∥ < ∞, so existieren b_{n}∈ I mit ∥a_{n}+b_{n}∥ < ∥a_{n}+I∥+2^{−n}. Somit konvergiert a:= ∑ _{n=0}^{∞} (a_{n}+b_{n}) und ∑_{n}a_{n}+ I = a + I. ∥a + I∥∥b + I∥ ≤ ∥ab + I∥ für alle a,b ∈ A: einfach.

Satz 1.36. Sei A kommutativ und I ⊂ A ein modulares maximales Ideal. Dann ist A/I = ℂ1_{A/I}.

Beweis. Aus Kommutativität von A und Maximalität von I folgt: Inv(A/I) = A/I \ {I}. Zeigen: \overline{I} ist ein echtes Ideal; dann folgt: I = \overline{I} weil I maximal, und A/I ist eine Banachalgebra. Sei u ∈ A und ua − a,ua − a ∈ I für alle a ∈ A. Zeigen: u ∉ \overline{I}. Falls b ∈ I und ∥u−b∥ < 1, dann ist v:= 1−(u−b) ∈ Inv(Ã) und av = a−au+ab ∈ I, also A = Av ⊆ I, Widerspruch. Folgerung 1.21 ⇒ Behauptung.

Definition 1.37. Max_{(m)}(A) bezeichne die Menge der (modularen) maximalen Ideale von A.

Satz 1.38. Für jede kommutative Banachalgebra A existieren inverse Bijektionen Max_{m}(A) ⇄^{pr}_{ker}

Ω(A), wobei pr(I) für jedes I ∈ Max_{m}(A) gegeben ist durch

pr(I): A −−−−→^{a↦a+I} A/I = ℂ1_{A/I} −−−⟶^{λ1_{A/I}↦λ} ℂ.

Beweis. Durchrechnen.

Bemerkung 1.39. Ähnlich wie in der algebraischen Geometrie trägt Max_{m}(A) eine natürliche Topologie (Jacobson-Topologie) und bezüglich derer ist die Bijektion Ω(A) → Max_{m}(A) stetig aber i.a. ist Max_{m}(A) nicht Hausdorffsch und die Bijektion kein Homöomorphismus.

Für kommutative Banachalgebren existieren viele Charaktere: Theorem 1.40. Sei A eine kommutative unitale Banachalgebra.

i) Für jedes a ∈ A ist γ_{A}(a)(Ω(A)) = {ω(a) | ω ∈ Ω(A)} = σ_{A}(a) und ∥γ_{A}(a)∥ = r_{A}(a).

ii) kerγ_{A}= ⋂ _{I∈Max(A)}I = {a ∈ A | r_{A}(a) = 0}. Beweis. i) {ω(a) | ω ∈ Ω(A)} ⊆ σ_{A}(a) nach Lemma 1.27. Umgekehrt: Ist λ ∈ σ_{A}(a), so ist λ1_{A}− a nicht invertierbar und somit in einem maximalen Ideal, etwa I, enthalten. Nun gilt pr(I): a ↦ a + I = a + (λ1_{A}− a) + I ↦ λ. Es folgt ∥γ_{A}(a)∥ = sup_{ω∈Ω(A)} |ω(a)| = sup_{λ∈σ_{A}(a)} λ = r_{A}(A). ii) Folgt aus i) und Satz 1.38. Für nichtkommutative Banachalgebren existieren zu wenig Charaktere, siehe Bemerkung 1.32.

Ende der Vorlesung vom 28.10.

Definition 1.41. Sei A eine Banachalgebra und X ⊆ A. Dann bezeichne ⟨X⟩_{B} ⊆ A die kleinste Banachunteralgebra von A, die X enthält (Index “B” steht für Banach). Wir schreiben auch ⟨{a_{1},...,a_{n}}⟩_{B} als ⟨a_{1},...,a_{n}⟩_{B}. Beispiel 1.42. Für jedes Element a einer (unitalen) Banachalgebra A ist ⟨a⟩_{B}= \overline{span}\{a^{n}| n ≥ 1\} (und ⟨a,1_{A}⟩_{B}= \overline{span}\{a^{n} | n ≥ 0\}). Die Spektren eines Elementes und der von ihm erzeugten Banachalgebra kann man wie folgt identifizieren: Satz 1.43. Sei A eine Banachalgebra und a ∈ A.

i) Ist A unital und A = ⟨a,1_{A}⟩_{B}, so ist γ_{A}(a): Ω(A) → σ_{A}(a) ein Homöomorphismus. ii) Ist A = ⟨a⟩_{B}, so ist γ_{A}(a): Ω(A) → σ_{A}(a) \ {0} ein Homöomorphismus.

Beweis. i) γ_{A}(a) ist • surjektiv: Theorem 1.40 (beachte: A ist kommutativ!);

• stetig: nach Definition der Topologie auf Ω(A);

• injektiv, weil jedes ω ∈ Ω(A) stetig ist, A = \overline{span}\{a^{n} | n ≥ 0\} und ω(a^{n}) = ω(a)^{n} für alle n ∈ ℕ;

• ein Homöomorphismus: weil stetige Bijektion und Ω(A) kompakt. ii) Folgt aus i), Bemerkung 1.6 i) und Satz 1.28.

Beispiele 1.44. i) Sei A(D) die Banachalgebra der stetigen Funktionen auf der Kreisscheibe D, die im Inneren von D holomorph sind (siehe Beispiel 1.9), und z = Id_{D} ∈ A(D).

Dann ist A(D) = ⟨z,1_{D}⟩_{B} und somit Ω(A(D)) ≅ σ_{A(D)}(z) = z(D) = D.

Die Komposition A(D) ⟶^{γ_{A}} C(Ω(A(D))) ≅ C(D) ist die Identität, insbesondere ist γ_{A(D)}nicht surjektiv.

ii) Sei n ∈ ℕ, a = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & ··· & 0 \\ ⋮ & ... & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & & ... & ... & 0 \\ ⋮ & & & ... & 1 \\ 0 & ··· & ··· & ··· & 0 \end{matrix}) ∈ M_{n}(ℂ), und A = ⟨1_{M_{n}(ℂ)},a⟩_{B}. Dann

ist a^{n+1} = 0 (und A ≅ ℂ[X]/(X^{n+1} ) via a ≡ X) und somit ω(a) = 0 für jedes ω ∈ Ω(A), also σ_{A}(a) = {0} ≅ Ω(A) und γ_{A}: A → C(Ω(A)) ≅ ℂ nicht injektiv.

2 C^{∗}-Algebren

2.1 Definitionen, Beispiele, erste Eigenschaften

Definition 2.1. Eine Involution auf einer (komplexen) Algebra A ist eine konjugiertlineare Bijektion Φ: A → A, die Φ^{2} = Id_{A} und Φ(ab) = Φ(b)Φ(a) für alle a,b ∈ A erfüllt. Eine ∗-Algebra ist eine Algebra A mit einer Involution a ↦ a^{∗}. Ein ∗-Homo-morphismus von ∗-Algebren A, B ist ein Algebren-Homomorphismus, der ϕ(a^{∗}) = ϕ(a)^{∗} für alle a ∈ A erfüllt. Eine (unitale) C^{∗}-Algebra ist eine Banachalgebra A mit (Eins und) einer isometrischen Involution a ↦ a^{∗}, welche die C^{∗}-Gleichung ∥a^{∗}a∥ = ∥a∥^{2} für alle a ∈ A erfüllt.

Bemerkung 2.2. i) Ist A eine Banachalgebra mit einer isometrischen Involution a ↦ a^{∗}, so gilt ∥a^{∗}a∥ ≤ ∥a^{∗}∥∥a∥ = ∥a∥^{2} für alle a ∈ A.

ii) Ist A eine unitale C^{∗}-Algebra, so gilt 1_{A}^{∗}= 1_{A}und ∥1_{A}∥ = 1 (Übungsaufgabe).

Beispiele 2.3. i) Die Banachalgebren C_{0}(X), C_{b}(X) und L^{∞} (X,μ) aus Beispiel 1.11 sind C^{∗}-Algebren bezüglich der Involution f ↦ \overline{f} (punktweise Konjugation).

ii) Die Banachalgebren l^{1}(ℕ)_{ω} und C^{(n)}([0,1]) von Übungsblatt 2 sind bezüglich der punktweisen Konjugation von Funktionen keine C^{∗}-Algebren. iii) M_{n}(ℂ) ist bezüglich der durch

(a_{ij})_{ij}^{∗} = (\overline{a_{ji}})_{ij},  ∥a∥:= sup_{v∈ℂ^{n},∥v∥_{2}} ∥av∥_{2}

definierten Involution und Norm eine C^{∗}-Algebra, wobei ∥v∥_{2} = (∑ _{i=1}^{n} |v_{i}|^{2})^{1/2}.

iv) Sei H ein Hilbertraum Erinnerung: Für jedes T ∈ L(H) existiert genau ein Adjungiertes T^{∗} ∈ L(H) mit ⟨x|T^{∗}y⟩ = ⟨T x|y⟩ für alle x,y ∈ H. Die Abbildung T ↦ T^{∗} ist eine Involution auf L(H), und für jedes T ∈ L(H) gilt

∥T ∥^{2} = sup_{x∈H,∥x∥≤1}⟨T x|T x⟩ = sup_{x∈H,∥x∥≤1}⟨x|T^{∗}T x⟩ ≤ sup_{x∈H,∥x∥≤1} ∥x∥∥T^{∗}T x∥ ≤ ∥T^{∗}T ∥.

Somit ist L(H) eine C^{∗}-Algebra.

Jede Unteralgebra von L(H), die abgeschlossen bezüglich der Norm und der Involution ist, ist eine C^{∗}-Algebra. Bsp: Die C^{∗}-Algebra K (H) ⊆ L(H) der kompakten Operatoren.

Sehen später: Jede C^{∗}-Algebra kann mit so einer C^{∗}-Unteralgebra von L(H) (für ein jeweils geeignetes H) identifiziert werden.

Zur Fortsetzung der Spektraltheorie müssen wir C^{∗}-Algebren unitalisieren.

Lemma 2.4. i) Sei A eine nicht-unitale (C)^{∗}-Algebra. Dann ist Ãeine (C)^{∗}-Algebra bezüglich der Involution (λ,a) ↦ (\overline{λ},a^{∗}) (und der Norm

(λ,a) ↦ ∥(λ,a)∥:= sup_{b∈A,∥b∥≤1} ∥λb + ab∥).  (1)

Die natürliche Abbildung A → Ãist isometrisch.

ii) Sei ϕ: A → B ein ∗-Homomorphismus von ∗-Algebren. Dann ist auch ϕ̃ ein ∗- Homomorphismus.

Beweis. i)

• Ãist ∗-Algebra bzgl. der Involution: klar.

• (1) definiert eine Halbnorm: klar; auch eine Norm: Ang., ∥(λ,a)∥ = 0. Fall 1: λ ≠ 0, dann λb + ab = 0 für alle b ∈ A, also −a/λ eine Eins für A, Widerspruch. Fall 2: λ = 0, dann aa^{∗} = 0 und ∥a∥^{2} = ∥a^{∗}∥^{2} = ∥aa^{∗}∥ = 0, also a = 0.

• A ↪ Ãist isometrisch: ∀a,b ∈ A: ∥ab∥ ≤ ∥a∥∥b∥ und ∥aa^{∗}∥ = ∥a∥^{2} = ∥a∥∥a^{∗}∥.

• (1)submultiplikativ: Offenbar existiert ein isometrischer Algebren-Homomorphismus L: Ã→ L(A) mit L((λ,a))b = λb+ab für alle (λ,a) ∈ Ã, b ∈ A, und ∥L(x)L(y)∥ ≤ ∥L(x)∥∥L(y)∥ für alle x,y ∈ Ãweil L(A) eine Banachalgebra ist.

• (1) erfüllt C^{∗}-Gleichung:

∥(λ,a)∥^{2} = sup_{b∈A,∥b∥≤1} ∥(λ,a)b∥^{2} = sup_{b∈A,∥b∥≤1} \underbrace{∥b^{∗}(λ,a)^{∗}(λ,a)b∥}_{≤∥(λ,a)^{∗}(λ,a)b∥^{2}} ≤ ∥(λ,a)^{∗}(λ,a)∥.

• Ãbzgl. (1) vollständig: siehe Nachtrag. ii) Klar.

2.2 Anwendung der Spektraltheorie auf C^{∗}-Algebren

Sei A eine C^{∗}-Algebra. Wir werden zeigen: Ist A kommutativ, so ist γ_{A}ein ∗-Isomorphismus. Dabei spielen folgende Elemente von A eine zentrale Rolle: Definition 2.5. Sei a ∈ A. Wir setzen Re(a) := (a + a^{∗})/2, Im(a) := (a − a^{∗})/2 und nennen a selbstadjungiert :⇔ a^{∗} = a. Wir setzen A_{sa} := {a ∈ A | a = a^{∗}}. Lemma 2.6. i) Für jedes a ∈ A sind Re(a),Im(a) ∈ A_{sa} und a = Re(a) + iIm(a),

a^{∗} = Re(a) − iIm(a). ii) A_{sa} ⊆ A ist ein ℝ-Unterraum, A = A_{sa}+ iA_{sa} und A_{sa}∩ iA_{sa} = 0.

Ende der Vorlesung vom 29.10.

Nachtrag zum Beweis von Lemma 2.4: Ãist bzgl. (1) vollständig: A ↪ Ãisometrisch ⇒ A ⊆ Ãvollständig und somit abgeschlossen ⇒ die lin. Abbildung Ã→ ℂ, (λ,a) ↦ λ, stetig (Conway, III Theorem 5.3) ⇒ Ist ((λ_{n},a_{n}))_{n} Cauchy-Folge in Ã, so sind auch (λ_{n})_{n} und (a_{n})_{n} = ((λ_{n},a_{n}) − λ_{n})_{n} Cauchy-Folgen in ℂ bzw. A und besitzen Grenzwerte, etwa λ und a. Nun folgt leicht ((λ_{n},a_{n}))_{n} → (λ,a). \underline{Schritt 1:} γ_{A}ist ein ∗-Homomorphismus: Satz 2.7. i) σ_{A}(a^{∗}) = σ_{A}(a)^{∗} für jedes a ∈ A.

ii) ω(a) ∈ ℝ für jedes a ∈ A_{sa},ω ∈ Ω(A).

iii) Jedes ω ∈ Ω(A) ist ein ∗-Homomorphismus.

iv) γ_{A}ist ein ∗-Homomorphismus. Beweis. OBdA sei A unital.

i) Für alle a ∈ A, λ ∈ ℂ gilt: λ − a^{∗} hat Inverses c ⇔ \overline{λ}− a hat Inverses c^{∗}. ii) Sei a ∈ A_{sa}, ω ∈ Ω(A) und ω(a) = x + iy mit x,y ∈ ℝ. Für jedes t ∈ ℝ gilt

∥a∥^{2}+ t^{2} ≥ ∥a^{2}+ t^{2}∥ = ∥(a − it)(a + it)∥ = ∥a + it∥^{2}

{1.27 \atop ≥}|ω(a + it)|^{2}

= |x + i(y + t)|^{2} = x^{2}+ y^{2}+ t^{2}+ 2yt.

Falls y ≶ 0 folgt Widerspruch für t → ∓∞. Also y = 0 und ω(a) ∈ ℝ. iii,iv) Für alle a ∈ A, ω ∈ Ω(A) folgt aus ii):

γ_{A}(a^{∗})(ω) = ω(a^{∗}) = ω(Re(a)) − iω(Im(a))
= \overline{ω(Re(a)) + iω(Im(a))} = \overline{ω(a)} = γ_{A}(a)^{∗}(ω).

\underline{Schritt 2:} γ_{A}ist injektiv, falls A kommutativ. Satz 2.8. i) r_{A}(a) = ∥a∥ für jedes a ∈ A_{sa}.

ii) γ_{A}ist isometrisch, falls A kommutativ. Beweis. OBdA sei A unital.

i) Für jedes a ∈ A_{sa} gilt ∥a^{2}∥ = ∥a^{∗}a∥ = ∥a∥^{2} und ∥a^{4}∥ = ∥(a^{2})^{∗}(a^{2})∥ = ∥a^{2}∥^{2} = ∥a∥^{4} etc. und somit r_{A}(a) =^{Theorem 1.22} lim_{n}∥a^{n}∥^{1/n} = lim_{n}∥a^{2^{n}}∥^{2^{−n}} = ∥a∥.

ii) Für alle a ∈ A gilt ∥γ_{A}(a)∥^{2} = ∥γ_{A}(a^{∗}a)∥ {1.40 \atop =}r_{A}(a^{∗}a) =^{i)} ∥a^{∗}a∥ = ∥a∥^{2}.

Von eigenem Interesse sind folgende wichtige Folgerungen von i): Folgerung 2.9. Es existiert höchstens eine Norm auf A, bezüglich derer A eine C^{∗}- Algebra ist. Beweis. Für jedes a ∈ A und jede C^{∗}-Norm ∥·∥ auf A gilt ∥a∥^{2} = ∥a^{∗}a∥ = r_{A}(a^{∗}a). Folgerung 2.10. Sei ϕ: A → B ein ∗-Homomorphismus von C^{∗}-Algebren. Dann ist ϕ kontraktiv. Beweis. Für jedes a ∈ A ist

∥ϕ(a)∥^{2} = ∥ϕ(a)^{∗}ϕ(a)∥ = ∥ϕ(a^{∗}a)∥ = r_{B}(ϕ(a^{∗}a)) {1.8 \atop ≤}r_{A}(a^{∗}a) = ∥a^{∗}a∥ = ∥a∥^{2}.

\underline{Schritt 3:} γ_{A}ist ein Isomorphismus. Theorem 2.11. Ist A kommutativ, so ist die Gelfand-Transformation γ_{A}: A → C_{0}(Ω(A)), gegeben durch γ_{A}(a)(ω) = ω(a) für alle a ∈ A, ω ∈ Ω(A), ein Isomorphismus.

Beweis. γ_{A}(A) trennt die Punkte von Ω(A), denn für alle ω,ω′∈ Ω(A), ω ≠ ω′, gibt es ein a ∈ A mit ω(a) ≠ ω′(a). Satz 2.7, Satz 2.8 ⇒ γ_{A}ist injektiv und γ_{A}(A) ⊆ C_{0}(Ω(A)) ist eine norm-abgeschlossene ∗-Unteralgebra. Satz von Stone-Weierstrass ⇒ γ_{A}(A) = C_{0}(Ω(A)).

Folgerung 2.12. Wir haben Äquivalenzen von Kategorien

\xymatrix{\{ \begin{matrix}lk. Hausdorff-Räume, \\ stetige eigentliche Abbildungen \end{matrix}\} \ar[d]^{F} \\ _{\{ \begin{matrix}kommutative C^{∗}-Algebren, \\ nichtdegenerierte ∗-Homomorphismen \end{matrix}\}} \ar[u]^{Ω}}

Nun wollen wir die Spektren von normalen Elementen mit den Spektren der erzeugten C^{∗}-Algebren vergleichen. Dazu als Vorbereitung:

Satz 2.13. Sei C eine unitale Banachalgebra, B ⊆ C eine Banach-Unteralgebra mit 1_{C} ∈ B, und sei b ∈ B. Dann ist ∂σ_{B}(b) ⊆ ∂σ_{C}(b).

Beweis. Sei λ ∈ ρ_{C}(b) und (λ_{n})_{n} eine Folge in ρ_{B}(b) mit λ_{n} → λ. Es genügt zu zeigen: λ ∈ ρ_{B}(b). Satz 1.19 ⇒ ∥(λ_{n}− b)^{−1} ∥ → ∥(λ − b)^{−1} ∥ ⇒ sup_{n}∥(λ_{n}− b)^{−1} ∥ < ∞. Nun gilt

(λ_{n}− b) − (λ − b) = λ_{n}− λ,

also 1 − (λ − b)(λ_{n}− b)^{−1} = (λ_{n}− λ)(λ_{n}− b)^{−1} −⟶^{n→∞} 0.

Satz 1.19 ⇒ (λ − b)(λ_{n}− b)^{−1} ∈ Inv(B) für große n und somit λ − b ∈ Inv(B).

Definition 2.14. Für ein Element a von A setzen wir von nun an σ(a) := σ_{A}(a). Für jede Teilmenge X ⊆ A bezeichne ⟨X⟩_{C^{∗}} ⊆ A die kleinste C^{∗}-Unteralgebra von A, die X enthält. Wir schreiben auch ⟨{a_{1},...,a_{n}}⟩_{C^{∗}} als ⟨a_{1},...,a_{n}⟩_{C^{∗}}.

Folgerung 2.15. Sei B ⊆ A eine C^{∗}-Unteralgebra und a ∈ B. Dann gilt σ_{A}(a) = σ_{B}(a).

Beweis. OBdA sei A unital, 1_{A}∈ B und B = ⟨a,1_{A}⟩_{C^{∗}}.

Fall 1: Ist a ∈ A_{sa} so gilt σ_{B}(a) {1.40 \atop ⊆} \{ω(a) | ω ∈ Ω(B)\} {2.13 \atop ⊆} ℝ und somit σ_{B}(a) =

∂σ_{B}(a) {2.13 \atop ⊆}σ_{A}(a) {1.8 \atop ⊆}σ_{B}(a).

Fall 2: Ist a ∈ A, so gilt wegen Inv(A)^{∗} = Inv(A) und Lemma 1.4 für jedes λ ∈ ℂ

(λ − a) ∈ Inv(A) ⇔ (λ − a)^{∗}(λ − a) ∈ Inv(A)
⇔^{Fall 1} (λ − a)^{∗}(λ − a) ∈ Inv(B) ⇔ (λ − a) ∈ Inv(B).

Definition 2.16. Ein Element a ∈ A heißt normal, wenn es die folgenden (offensichtlich) äquivalenten Bedingungen erfüllt: i) aa^{∗} = a^{∗}a; ii) ⟨a⟩_{C^{∗}} ist kommutativ.

Ende der Vorlesung vom 4.11

Grundlegendes Hilfsmittel in der Theorie der C^{∗}-Algebren ist der folgende stetige Funktionalkalkül:

Theorem 2.17. Sei a ∈ A normal und σ̃(a) := σ(a) \ {0}, C̃(σ(a)) := {f ∈ C(σ(a)) | f(0) = 0}. Dann gilt:

i) γ_{⟨a⟩_{C^{∗}}}(a): Ω(⟨a⟩_{C^{∗}}) → σ̃(a) ist ein Homöomorphismus.

ii) Es gibt genau einen ∗-Isomorphismus χ_{a}: C̃(σ(a)) → ⟨a⟩_{C^{∗}} mit χ_{a}(Id) = a.

Wir schreiben f(a) := χ_{a}(f) für alle f ∈ C̃(σ(a)).

iii) σ(f(a)) = f(σ(a)) für alle f ∈ C̃(σ(a)).

iv) Sei f ∈ C̃(σ(a)). Dann kommutiert

\xymatrix{C̃(σ(f(a))) \ar[r]^{f^{∗}} \ar@{-->}[dr]_{χ_{f(a)}} & C̃(σ(a)) \ar[d]^{χ_{a}} \\  & A,}

d.h. g(f(a)) = (g ∘ f)(a) für alle und g ∈ C̃(σ(f(a))).

v) Sei ϕ: A → B ein ∗-Homomorphismus von C^{∗}-Algebren. Dann kommutiert

\xymatrix{C̃(σ(a)) \ar[r]^{f↦f|_{σ_{B}(ϕ(a))}} \ar[d]^{χ_{a}} & C̃(σ_{B}(ϕ(a))) \ar[d]^{χ_{ϕ(a)}} \\ A \ar[r]^{ϕ} & B,}

d.h. f(ϕ(a)) = ϕ(f(a)) für alle f ∈ C̃(σ(a)).

Ist A unital, so gilt i)–v) auch, wenn man σ̃(a), C̃(σ(a)), C̃(σ(f(a))) durch σ(a), C(σ(a)), C(σ(f(a))) ersetzt und in ii),v) Unitalität der Homomorphismen fordert.

Beweis. i) Ähnlich wie der Beweis von Satz 1.43; benutze Satz 2.7 iii). ii) Eindeutigkeit: ⟨Id⟩_{C^{∗}} = C̃(σ(a)) nach Stone-Weierstrass. Existenz: Theorem 2.11 und i) liefern ∗-Isomorphismen

\xymatrix{A \ar[r]^{γ_{A}} & C_{0}(Ω(A)) & C̃(σ(a)) \ar[l]_{γ_{A}(a)^{∗}} \\ a \ar@{|->}[r] & γ_{A}(a) = γ_{A}(a)^{∗}(Id) & Id. \ar[l]}

iii) Aus ii) folgt σ(χ_{a}(f)) = σ_{C̃(σ(a))}(f) = f(σ(a)) für alle f ∈ C̃(σ(a)). iv) Folgt aus ⟨Id⟩_{C^{∗}} = C̃(σ(f(a))) und (χ_{a}∘ f^{∗})(Id) = f(a) = χ_{f(a)}(Id).

v) Folgt aus ⟨Id⟩_{C^{∗}} = C̃(σ(a)) und ϕ(χ_{a}(Id)) = ϕ(a) = χ_{ϕ(a)}(Id). Bemerkung 2.18. Für Elemente a einer Banachalgebra A existiert ein holomorpher/analytischer Funktionalkalkül O(σ_{A}(a)) → ⟨a⟩_{B}mitähnlichen Eigenschaften wie χ_{a}, wobei O(σ_{A}(a)) ⊆ C̃(σ_{A}(a)) die Funktionen bezeichnet, die auf einer Umgebung von σ_{A}(a) holomorph fortgesetzt werden können (siehe z.B. Conway, §VII.4). Weitere wichtige Elemente von C^{∗}-Algebren sind: Definition 2.19. Ein Element u ∈ A ist

• unitär :⇔ A unital und uu^{∗} = 1_{A}= u^{∗}u;

• Projektion :⇔ pp = p = p^{∗}. Satz 2.20. i) Für jedes unitäre u ∈ A ist σ(u) ⊆ 𝕋 = {z ∈ ℂ | |z| = 1}.

ii) Für jede Projektion p ∈ A gilt (a) σ(p) ⊆ {0,1}, (b) σ(p) = 0 ⇔ p = {0}, (c)

σ(p) = {1} ⇔ p = 1_{A}. iii) Für jedes a ∈ A_{sa} gilt σ(a) ⊆ ℝ. Beweis. i) u ∈ A unitär ⇒ ω(u) ∈ ℂ unitär für jedes Ω(⟨u⟩_{C^{∗}}); Theorem 1.40 ⇒ Behauptung. ii) Ähnlich wie i); Übungsaufgabe (s. Blatt 2). iii) Ähnlich wie i) oder verwende Satz 2.7 und Folgerung 2.15.

2.3 Positivität

Beispiel 2.21. Sei X ein kompakter Raum. Dann können wir auf A = C(X) eine partielle Ordnung definieren durch f ≤ g ⇔ f(x) ≤ g(x) für alle x ∈ X, und für jedes f ∈ C(X) gilt dann f ≥ 0 ⇔ σ(f) ⊆ [0,∞) ⇔ f = \overline{g}g für eine g ∈ C(X). Sei nun A eine beliebige C^{∗}-Algebra. Dann existiert auf A eine ähnliche Ordnungsrelation wie im obigen Beispiel. Wichtige spätere Anwendungen:

• Existenz approximierender Einsen für nicht-unitale C^{∗}-Algebren,

• {extreme positive Funktionale von Norm 1} ⇄^{GNS} {irreduzible Darstellungen} Satz 2.22 (Positivität). Für jedes Element a ∈ A sind äquivalent:

i) a = a^{∗} und a = b^{2} für ein b ∈ A_{sa}. ii) a = b^∗b für ein b ∈ A.

iii) a = a^{∗} und σ(a) ⊆ [0,∞).

iv) a = a^{∗} und ∥t1_{A^{♯}}− a∥ ≤ t für ein t ≥ ∥a∥, wobei A^{♯}= \{ \begin{matrix}A, & A unital, \\ Ã, & sonst. \end{matrix}

v) a = a^{∗} und ∥t1_{A^{♯}}− a∥ ≤ t für alle t ≥ ∥a∥.

Beweis. Setze B:= ⟨a⟩_{C^{∗}}.

i) ⇒ iii): Für jedes b ∈ A_{sa} gilt σ(b) ⊆ ℝ (Satz 2.7, Folgerung 2.15) und somit σ(b^{2}) = σ(b)^{2} ⊆ [0,∞]. iii) ⇒ i): Bezeichne sqrt ∈ C(σ(a))_{sa} die Wurzelfunktion. Dann ist b:= sqrt(a) ∈ B_{sa} und b^{2} = sqrt(a)^{2} = sqrt^{2}(a) = a.

iii) ⇔ iv) ⇔ v) OBdA A unital. Dann ex. Isomorphismus C := ⟨a,1_{A}⟩_{C^{∗}} ⟶^{γ_{C}} C(Ω(C)), a = a^{∗} ↦ f = \overline{f} , und

σ(a) ⊆ [0,∞) ⇔ σ(f) ⊆ [0,∞) ⇔ f ≥ 0
⇔ t − f ≤ t für ein oder alle t ≥ ∥f∥
⇔ ∥t − f∥ ≤ t
⇔ ∥t − a∥ ≤ t.

Definition 2.23. Ein a ∈ A heißt positiv, wenn es die Bedingungen 2.22i)–iv) erfüllt. Wir bezeichnen mit A_{+} ⊆ A die Menge der positiven Elemente und definieren eine Relation ≤ auf A durch a ≤ b:⇔ b − a ∈ A_{+} für alle a,b ∈ A.

“≤” ist eine “vernünftige” Ordnungsrelation aus folgendem Grund:

Satz 2.24. i) A_{+} ⊆ A ist ein abgeschlossener Kegel, d.h. (a) A_{+} + A_{+} ⊆ A_{+} , (b) [0,∞) · A_{+} ⊆ A_{+} , (c) A_{+} ist abgeschlossen.

ii) Sei ϕ: A → B ein ∗-Homomorphismus von C^{∗}-Algebren. Dann ist ϕ(A_{+} ) ⊆ B_{+} .

Beweis. OBdA. sei A unital.

i) (a) Für alle a,b ∈ A_{+} gilt a + b ∈ A_{sa} und

∥∥a∥ + ∥b∥ − (a + b)| ≤ ∥∥a∥ − a∥+ ∥∥b∥ − b∥ ≤ ∥a∥ + ∥b∥.

(b) Für alle a ∈ A_{+} , λ ∈ (0,∞) ist σ(λa) = λσ(a) ⊆ [0,∞).

(c) Konvergiert eine Folge (a_{n})_{n} uas A_{+} gegen a ∈ A, so ist a^{∗} = lim_{n}a_{n}^{∗} = lim_{n}a_{n} = a und ∥∥a∥ − a∥ = lim_{n} ∥∥a_{n}∥ − a_{n}∥ ≤ lim_{n}∥a_{n}∥ = ∥a∥. ii) a ∈ A ⇒ ϕ(a^{∗}a) = ϕ(a^{∗})ϕ(a) ∈ B_{+} .

Die positiven Elemente von L(H) kann man wie folgt charakterisieren: Satz 2.25. Sei H ein Hilbertraum und T ∈ L(H). Dann gilt: T ≥ 0 ⇔ ⟨ξ|T ξ⟩ ≥ 0 für alle ξ ∈ H. Der Beweis benutzt folgende Polarisationsgleichung: Lemma 2.26. Sei ⟨·|·⟩ eine Sesquilinearform auf einem Vektorraum V. Dann gilt für alle ξ,η ∈ V: ⟨ξ|η⟩ = ∑ _{k=0}^{3} i^{k}⟨ξ + i^{k}η|ξ + i^{k}η⟩. Beweis. “⇒”: T ≥ 0 ⇒ T = S^{2} = S^{∗}S für ein S ∈ L(H)_{sa} ⇒ ⟨ξ|T ξ⟩ = ⟨ξ|S^{∗}Sξ⟩ = ⟨Sξ|Sξ⟩ ≥ 0 für alle ξ ∈ H. “⇐”: ⟨ξ|T ξ⟩ ≥ 0 für alle ξ ∈ H ⇒ ⟨ξ|T ξ⟩ = ⟨T ξ|ξ⟩ = ⟨ξ|T^{∗}ξ⟩ für alle ξ ∈ H Lemma 2.26 ⇒ die Sesquilinearformen ⟨·|T ·⟩ und ⟨·|T^{∗}·⟩ auf H sind gleich, also T = T^{∗}. Zeigen: σ(T) ⊆ [0,∞). Für alle λ < 0 ist λ − T invertierbar weil für alle ξ ∈ H:

∥(λ − T)ξ∥^{2} = ⟨(λ − T)ξ|(λ − T)ξ⟩ = λ^{2}∥ξ∥^{2}+ ∥T ξ|^{2} \underbrace{−2λ⟨ξ|T ξ⟩}_{≥0}≥ λ^{2}∥ξ∥^{2}

Insbesondere folgt L(H)_{+} = {S^{∗}S | S ∈ L(H)}. Allgemein: Theorem 2.27. Für jede C^{∗}-Algebra A gilt A_{+} = {b^{∗}b | b ∈ A}. Für den Beweis benutzen wir als Hilfsmittel: Satz 2.28 (Jordan-Zerlegung). Sei a ∈ A_{sa}. Dann existieren eindeutig bestimmte Elemente a^{+} ,a^{−} ∈ A_{+} , die a = a^{+} − a^{−} und a^{+} a^{−} = 0 erfüllen. Beweis. OBdA. A unital Satz 2.7, Folgerung 2.15 ⇒ σ(a) ⊆ ℝ. Existenz: Definiere f^{+} ,f^{−} ∈ C(σ(a)) durch f^{+} (t) := max(0,t), f^{−} (t) := −min(0,t) (t ∈ σ(a)) und a^{±} := f^{±} (a). Dann gilt:

• f^{+} − f^{−} = Id⇒ a = a^{+} − a^{−},

• f^{+} f^{−} = 0 ⇒ a^{+} a^{−} = 0,

• f^{±} ≥ 0 ⇒ a^{±} ≥ 0. Eindeutigkeit: Sind b^{+} ,b^{−} ∈ A_{+} und a = b^{+} −b^{−}, b^{+} b^{−} = 0, so gilt b^{−} b^{+} = (b^{+} b^{−})^{∗} = 0 und B := ⟨a,b^{+} ,b^{−} ,1_{A}⟩_{C^{∗}} ist kommutativ. Eindeutigkeit der Jordan-Zerlegung von γ_{B}(a) ∈ C(Ω(B)) liefert γ_{B}(b^{±}) = γ_{B}(a^{±}).

Beweis von Theorem 2.27. Satz 2.22 ⇒ A_{+} = {b^{2} | b ∈ A_{sa}} ⊆ {b^{∗b} | b ∈ A}. Sei b ∈ A und a = b^{∗}b. Klar: a^{∗} = (b^{∗}b)^{∗} = b^{∗}(b^{∗})^{∗} = b^{∗}b = a ∈ A_{sa}. Zeigen: a^{−} = 0. Setze c:= ba^{−}. Dann ist −c^{∗}c ∈ A_{+} weil

σ(c^{∗}c) = σ(a^{−} b^{∗}ba^{−}) = σ(a^{−} (a^{+} − a^{−})a^{−}) = σ(−(a^{−})^{3}) ⊆ (−∞,0]. Übungsaufgabe 4, Blatt 1 ⇒ σ(cc^{∗}) ⊆ (−∞,0]

Nachrechnen: cc^{∗} = 2Re(c)^{2}+ 2Im(c)^{2}− c^{∗}c {2.24 \atop ∈}A_{+}

⇒ σ(−(a^{−})^{3}) = σ(c^{∗}c) ⊆ (−∞,0] ∩ [0,∞) = \{0\} \underrightarrow{2.8} a^{−} = 0. Satz 2.29. Für alle a,b,c,d ∈ A gilt:

i) a = a^{∗} ⇒ a ≤ ∥a∥ falls A unital.

ii) a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c.

iii) a ≤ b, c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d.

iv) a ≤ b und c_{1},...,c_{n} ∈ A ⇒ ∑_{i,j} c_{i}^{∗}ac_{j} ≤ c_{i}^{∗}bc_{j}.

v) 0 ≤ a ≤ b ⇒ ∥a∥ ≤ ∥b∥.

vi) 0 ≤ a ≤ b und a,b invertierbar ⇒ b^{−1} ≤ a^{−1} . Beweis. i) σ(∥a∥ − a) = ∥a∥ − σ(a) ⊆ [0,∞) weil σ(a) ⊆ [0,∥a∥]. ii) b − a,c − b ∈ A_{+} \underrightarrow{2.24} c − a ∈ A_{+} . iii) b − a,d − c ∈ A_{+} \underrightarrow{2.24} (b + d) − (a + c) ∈ A_{+} . iv) b − a ∈ A_{+} \underrightarrow{2.22} b − a = e^{∗}e für ein e ∈ A ⇒ c^{∗}bc − c^{∗}ac = c^{∗}e^{∗}ec ∈ A_{+} .

v) OBdA A unital. 0 ≤ a ≤ b ⇒^{i,ii)} a ≤ ∥b∥ ⇒ γ_{⟨a⟩_{C^{∗}}}(a) ≤ ∥b∥ ⇒ ∥a∥ = ∥γ_{⟨a⟩_{C^{∗}}}(a) ≤ ∥b∥.

vi) 0 ≤ a ≤ b und a,b ∈ Inv(A) ⇒^{iv)} 1_{A}≤ a^{−1/2} ba^{−1/2} ⇒ 1_{A}≥ a^{1/2}b^{−1} a^{1/2} ≥ 0 (Funk-

tionalkalkül für a^{−1/2} ba^{−1/2} ) ⇒^{iv)} 0 ≤ b^{−1} ≤ a^{−1} .

Der Zusammenhang zwischen Positivität und Funktionalkalkül ist nicht-trivial. Definition 2.30. Eine Funktion f ∈ C(ℝ) heißt Operator-monoton, falls für jede C^{∗}- Algebra A und je zwei Elemente a,b ∈ A_{sa} gilt: a ≤ b ⇒ f(a) ≤ f(b). Nicht jede monoton wachsende Funktion ist Operator-monoton!

Beispiel 2.31. Die Funktion t ↦ t^{2} ist nicht operatormonoton. Für

a = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) ,  b= ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

gilt 0 ≤ a ≤ a + b, aber a = a^{2} ≰ (a + b)^{2} = a + b + ab + ba, weil

b + ab + ba = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

eine negative Determinante und somit einen negativen Eigenwert hat.

2.4 Approximative Einsen und maximale Unitalisierung

Es gibt viele C^{∗}-Algebren, die nicht unital sind, z.B. Ideale von C^{∗}-Algebren, die C^{∗}- Algebra K (H) der kompakten Operatoren auf einem unendlich-dimensionalen HR H, die Gruppen-C^{∗}-Algebra C^{∗}(G) einer lokal-kompakten, nicht-diskreten Gruppe. Wichtiges Hilfsmittel beim Studium solcher C^{∗}-Algebren sind approximative Einsen und maximale Unitalisierungen.

Approximative Einsen

Definition 2.32. Eine approximative Eins in einer Banachalgebra A ist ein Netz (u_{ν})_{ν} in A, das lim_{ν}u_{ν}a = a = lim_{ν}au_{ν} für alle a ∈ A erfüllt.

Zur Erinnerung 2.33. Erinnerung: Eine gerichtete Menge ist eine partiell geordnete Menge (I,≤), in der jede endliche Teilmenge eine obere Schranke hat (∀ν,ν′∈ I∃ν′′∈ I : ν,ν′≤ ν′′). Sei X ein topologischer Raum. Ein Netz in X ist eine Familie (x_{ν})_{ν∈I} von Elementen von X, wobei I gerichtet ist. Ein Netz (x_{ν})_{ν} in X konvergiert gegen ein x ∈ X, geschrieben x_{ν} −⟶^{ν→∞} x oder lim_{ν}x_{ν} = x:⇔ für jede Umgebung U von x existiert ein ν ∈ I mit x_{ν′}∈ U für alle ν′≥ ν.

Ende der Vorlesung vom 11.11.

Beispiel 2.34. i) Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum, K die Menge aller kompakten Teilmengen von X, geordnet durch Inklusion, und f_{K} ∈ C_{0}(X) für jedes K ∈ K ein Funktion mit 0 ≤ f_{K} ≤ 1 und f_{K}|_{K} ≡ 1. Dann ist (f_{K})_{K∈K} eine approximative Eins für C_{0}(X).

ii) Sei H ein Hilbertraum, F die Menge aller endlich-dimensionalen Teilräume von H und p_{F} ∈ L(H) für jedes F ∈ F die orthogonale Projektion auf F. Dann ist (p_{F})_{F ∈F} eine approximative Eins für K (H). iii) Die Algebra A = {(a_{ij})_{i,j} ∈ M_{n}(ℂ) | a_{ij} = 0 für i ≥ j} ⊂ M_{n}(ℂ) der strikt oberen

Dreiecksmatrizen hat bzgl. keiner Norm eine approximative Eins (ÜA). Theorem 2.35. Sei A eine C^{∗}-Algebra. Dann ist I := {a ∈ A_{+} | ∥a∥ < 1} gerichtet und das Netz (u_{a})_{a∈I}, gegeben durch u_{a} := a für alle a ∈ I, eine approximative Eins für A. Lemma 2.36. Sei λ ∈ [0,∞) und f_{λ}: [0,∞) → [0,1) def. durch t ↦ t(t + λ)^{−1} .

i) f_{λ} ist monoton wachsend und bijektiv.

ii) Für jedes s ∈ (0,∞) ist (f_{1/n})_{n} eine approximative Eins von C_{0}((0,s]).

iii) f_{λ}(a) ∈ I für jedes a ∈ A_{+} .

iv) Für alle a,b ∈ A_{+} mit a ≤ b ist f_{λ}(a) ≤ f_{λ}(b). Beweis. i), ii): Klar bzw. einfach. iii) Für jedes a ∈ A_{+} ist (a + λ)^{−1} ∈ Ã, aber f_{λ}(a) ∈ A weil A ⊆ Ã ein Ideal ist, und f_{λ}(a) ∈ I weil f_{λ}(σ(a)) ⊆ (0,f_{λ}(∥a∥)) ⊊ (0,1). iv) Seien a,b ∈ A_{+} mit a ≤ b. Satz 2.29 ⇒ (a + λ)^{−1} ≤ (b + λ)^{−1} in Ãund

f_{λ}(a) = 1 − λ(a + λ)^{−1} ≤ 1 − λ(b + λ)^{−1} = f_{λ}(b).

Beweis von Theorem 2.35. i) (I,≤) ist gerichtet: Für bel. a,b ∈ I, λ ∈ (0,∞): f_{λ}^{−1} (a),f_{λ}^{−1} (b) ≤

f_{λ}^{−1} (a) + f_{λ}^{−1} (b) und somit a,b ≤ f_{λ}(f_{λ}^{−1} (a) + f_{λ}^{−1} (b)) ∈ I. ii) Für alle a ∈ A_{sa} folgt aus dem stetigen Funktionalkalkül und Lemma 2.36 ii)

lim_{n}f_{1/n}(a)a = a = lim_{n}af_{1/n}(a). iii) Für alle a ∈ A, u,v ∈ I mit u ≤ v gilt in Ãleider nicht unbedingt

∥(1 − v)a∥^{2} ≤ ∥a^{∗}(1 − v)^{2}a∥ {?? \atop ≤}∥a^{∗}(1 − u)^{2}a∥ = ∥(1 − u)a∥^{2},

weil nicht unbedingt (1 − v)^{2} ≤ (1 − u)^{2} (s. Ü.), aber stets

∥(1 − v)a∥^{2} ≤ ∥(1 − v)^{1/2}∥^{2}∥(1 − v)^{1/2}a∥^{2} ≤ ∥a^{∗}(1 − v)a∥
≤ ∥a^{∗}(1 − u)a∥ ≤ ∥a∥∥(1 − u)a∥.

iv) Aus iii), iv) folgt lim_{ν}u_{ν}a = a und analog lim_{ν}au_{ν} = a für alle a ∈ A_{sa} und, weil

A = A_{sa}+ iA_{sa}, auch für alle a ∈ A. Zusätzliche Eigenschaften der obigen Konstruktion und eine alternative Konstruktion finden sich auf Übungbslatt 4.

Die Multiplikator-Algebra Sei A eine C^{∗}-Algebra. Wir definieren ein A-wertiges inneres Produkt

⟨·|·⟩: A × A → A, (a,b) ↦ ⟨a|b⟩:= a^{∗}b.

Offenbar gilt für alle a,b,c ∈ A:

⟨b|a⟩= ⟨a|b⟩^{∗}, ⟨a|bc⟩= ⟨a|b⟩c, ∥⟨a|b⟩∥≤ ∥a∥∥b∥, ∥⟨a|a⟩∥= ∥a∥^{2},
∀d ∈ A: ⟨a|d⟩ = ⟨c|d⟩ ⇔ ∀d ∈ A: ⟨(a − c)|d⟩ = 0 ⇔ a = c.  (2)

Definition 2.37. Ein Multiplikator von A ist eine Abbildung T : A → A, für die eine adjungierte Abbildung T^{∗}: A → A existiert mit ⟨a|T b⟩ = ⟨T^{∗}a|b⟩ für alle a,b ∈ A. Wir bezeichnen mit M(A) die Menge aller Multiplikatoren von A.

Theorem 2.38. i) Für jedes a ∈ A ist L_{a}: A → A, b → ab, ein Multiplikator mit (L_{a})^{∗} = L_{a^{∗}} und ∥L_{a}∥ = ∥a∥.

ii) Sei T ∈ M(A). Dann ist T^{∗} eindeutig bestimmt durch T, T^{∗} ∈ M(A), (T^{∗})^{∗} = T, T,T^{∗} ∈ L(A), ∥T ∥^{2} = ∥T^{∗}T ∥ = ∥T^{∗}∥^{2} und T (ab) = T (a)b, T L(a) = L(T (a)) für alle a,b ∈ A.

iii) Die Menge aller Multiplikatoren M(A) ist eine norm-abgeschlossene Unteralgebra von L(A), die Id_{A} enthält und bezüglich der Involution T ↦ T^{∗} eine unitale C^{∗}-Algebra ist.

Beweis. i) Für alle a,b,c ∈ A gilt

⟨b|L_{a}c⟩ = b^{∗}ac = (a^{∗}b)^{∗}c = ⟨L_{a^{∗}}b|c⟩, ∥L_{a}c∥ = ∥ac∥ ≤ ∥a∥∥c∥, ∥L_{a}a^{∗}∥ = ∥a∥∥a^{∗}∥.

ii) Eindeutigkeit: Seien T^{∗},T̃^{∗}zu T adjungiert. Dann gilt für alle a,b ∈ A: ⟨T^{∗}a|b⟩ = ⟨T̃^{∗}a|b⟩ und somit T^{∗}a = T̃^{∗}a. Für alle a,b,c,d ∈ A mit ∥d∥ ≤ 1 gilt:

• ⟨a|T^{∗}b⟩ = ⟨T^{∗}b|a⟩^{∗} = ⟨b|Ta⟩^{∗} = ⟨Ta|b⟩, also T^{∗} ∈ M(A) und (T^{∗})^{∗} = T;

• ⟨a|T (bc)⟩ = ⟨T^{∗}a|bc⟩ = ⟨T^{∗}a|b⟩c = ⟨a|T b⟩c = ⟨a|T (b)c⟩, also T (bc) = T (b)c und insbesondere T L(b) = L(T (b));

• analog: T linear;

• ∥T (d)^{∗}a∥ = ⟨T d|a⟩ = ⟨d|T^{∗}a⟩ ≤ ∥d∥∥T^{∗}a∥ ≤ ∥T^{∗}a∥, also (L_{T (d)^{∗}}a)_{d∈A_{1}} punktweise beschränkt und nach Banach-Steinhaus (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit) (L_{T (d)^{∗}})_{d∈A_{1}} und somit auch (T (d)^{∗})_{d∈A_{1}} norm-beschränkt, d.h. ∥T ∥ < ∞;

• ∥T ∥ = sup_{d,e∈A_{1}}∥⟨e|T d⟩∥ = sup_{d,e∈A_{1}}∥⟨T^{∗}e|d⟩∥ = ∥T^{∗}∥;

• ∥T ∥^{2} = sup_{d∈A_{1}}∥⟨T d|T d⟩∥ = sup_{d∈A_{1}}∥⟨d|T^{∗}T d⟩∥ ≤ ∥T^{∗}T ∥ ≤ ∥T ∥^{2}.

iii) Folgt leicht aus ii); Übungsaufgabe.

Die Einbettung A ↪ M(A) hat folgende universelle Eigenschaft.

Definition 2.39. Eine Einbettung einer C^{∗}-Algebra B als (essentielles) Ideal in eine C^{∗}- Algebra C ist ein isometrischer ∗-Homomorphismus ι: B → C mit Cι(B) ⊆ ι(B) (und cι(B) ≠ 0 für alle c ∈ C,c ≠ 0).

Satz 2.40. i) L: A → M(A) ist eine Einbettung als essentielles Ideal.

ii) Ist B eine C^{∗}-Algebra und ι: A → B eine Einbettung als Ideal, so existiert genau ein ∗-Homomorphismus π_{ι}: B → M(A) so, dass folgendes Diagramm kommutiert:

\xymatrix{B \ar[rr]^{π_{ι}} &  & M(A). \\  & A \ar[ul]^{ι} \ar[ur]_{L}}

ι ist essentiell genau dann, wenn π_{ι}injektiv ist.

Ende der Vorlesung vom 18.11.

Beweis. i) L isometrisch, L(A) Ideal: Theorem 2.38 i), ii). L(A) ⊆ M(A) ist essentiell: für alle T ∈ M(A) gilt T L(A) = 0 ⇔ L(T A) = 0 ⇔ T A = 0 ⇔ T = 0. ii) Übungsaufgabe.

Die Zuordnung A → M(A) ist funktoriell bezüglich folgender Morphismen:

Definition 2.41. Seien A,B C^{∗}-Algebren. Ein ∗-Homomorphismus ϕ: A → M(B) heißt nichtdegeneriert, falls \overline{span}ϕ(A)B = B.

(Dies ist ein anderer Begriff von Nichtdegeneriertheit als in Definition 1.24!)

Satz 2.42. Seien A,B C^{∗}-Algebren und ϕ: A → M(B) ein nichtdegenerierter ∗-Homomorphismus. Dann existiert genau eine Fortsetzung zu einem ∗-Homomorphismus ϕ: M(A) → M(B).

Beweis. \underline{Eindeutigkeit:} folgt aus \overline{span}ϕ(A)B = B und der Bedingung

ϕ(S)ϕ(a)b = ϕ(Sa)b für alle S ∈ M(A),a ∈ A,b ∈ B.  (3)

\underline{Existenz:} Sei (u_{ν})_{ν} beschränkte approximative Eins von A.

1. Für alle S ∈ M(A), b ∈ B existiert ϕ(S)b:= lim_{ν}ϕ(Su_{ν})b weil • lim_{ν}ϕ(Su_{ν})ϕ(a)c = lim_{ν}ϕ(Su_{ν}a)c = ϕ(Sa)c für alle a ∈ A,c ∈ B,

• \overline{span}ϕ(A)B = B und (Su_{ν})_{ν} beschränkt. ⇒ Erhalten Abbildung ϕ(S) ∈ L(B), b ↦ ϕ(S)b, die (3) erfüllt.

2. Für alle S,T ∈ M(A) ist ϕ(S)ϕ(T) = ϕ(ST), weil

ϕ(S)ϕ(T)ϕ(a)b = ϕ(STa)b = ϕ(ST)ϕ(a)b für alle a ∈ A,b ∈ B.

3. Für alle S ∈ M(A) ist ϕ(S^{∗}) adjungiert zu ϕ(S), weil

⟨ϕ(a)b|ϕ(S)ϕ(a′)b′⟩ = b^{∗}ϕ(⟨a|Sa′⟩)b′= b^{∗}ϕ(⟨S^{∗}a|a′⟩)b′= ⟨ϕ(S^{∗})ϕ(a)b|ϕ(a′)b′⟩

für alle a,a′∈ A, b,b′∈ B. Beispiel 2.43. i) X ein lokalkompakter Raum

⇒ ι: C_{0}(X) ↪ C_{b}(X) ist Einbettung als essentielles Ideal ⇒ π_{ι}: C_{b}(X) → M(C_{0}(X)) ist ein injektiver ∗-Homomorphismus \underline{Beh.:} π_{ι}ist surjektiv, also ein ∗-Isomorphismus. \underline{Bew.-Skizze:} Sei S ∈ M(C_{0}(X)) und x ∈ X. Setzen δ_{X}(x): C_{0}(X) → ℂ zu M(C_{0}(X)) → ℂ fort, definieren Ŝ(x) := δ_{X}(x)(S). ⇒ (Sf)(x) = δ_{X}(x)(Sf) = Ŝ(x) · f(x). ⇒ Ŝ: X → ℂ, x ↦ Ŝ(x), ist in C_{b}(X), und π_{ι}(Ŝ) = S. \underline{Bem.:} Ω(C_{b}(X)) ist die Stone-Cech-Kompaktifizierung βX von X; also M(C_{0}(X)) ≅ C_{b}(X) ≅ C(β(X)).

ii) H ein Hilbertraum ⇒ ι: K (H) → L(H) ist eine Einbettung als essentielles Ideal ⇒ π_{ι}: L(H) → M(K (H)) ein injektiver ∗-Homomorphismus \underline{Beh.:} π_{ι}ist surjektiv, also ein ∗-Isomorphismus. \underline{Bew.-Skizze:} Sei (u_{ν})_{ν} eine approximative Eins von K (H). ⇒ ξ = lim_{ν}u_{ν}ξ für jedes ξ ∈ H. Ähnlicher Beweis wie von Satz 2.42 ⇒ für jedes S ∈ M(K (H)) existiert genau ein Ŝ∈ L(H) mit Ŝξ = lim_{ν}(Su_{ν})ξ für alle ξ ∈ H. ⇒ für jedes k ∈ K (H) ist Sk = lim_{ν}S(u_{ν}k) = lim_{ν}(Su_{ν})k = Ŝk ⇒ π_{ι}(Ŝ) = S.

3 Darstellungen von C^{∗}-Algebren und positive Funktio-

nale

Ganz grobes Schema:

[figure: nichtkomm.; C^{∗}-Algebra A; Fkt. auf; operatorwertige Fkt. auf; Schnitte einer Prägarbe; PS(A); ||; Spektrum Â; ||; Prim(A); ||; {reine Zustände}; ⋂; {irred. Darstellungen}/_{∼}; ⋂; π↦kerπ; {primitive Ideale}; S(A) = {Zustände}; GNS; {zyklische Darst.}/_{∼}; (schwach-∗-Topologie); (“hull-kernel”-Topologie)]

3.1 Darstellungen

Sei A eine C^{∗}-Algebra. Definition 3.1. Sei H ein Hilbertraum. Eine Darstellung von A auf H ist ein ∗-Homomorphismus π: A → L(H). Sei π eine Darstellung von A auf H. Ein Vektor ζ ∈ H heißt

• zyklisch (für π), wenn \overline{π(A)ζ}= H;

• separierend (für π), wenn π(a)ζ ≠ 0 falls a ≠ 0. Eine Teilmenge K ⊆ H heißt invariant (für π), wenn π(A)K ⊆ K. Die Darstellung π heißt

• nicht-degeneriert, wenn \overline{span}π(A)H = H;

• zyklisch, wenn ein zyklischer Vektor für π existiert;

• irreduzibel, wenn es keinen invarianten abgeschlossenen Unterraum bis auf {0} und H gibt;

• treu, wenn π injektiv ist.

Seien π_{1},π_{2} Darstellungen von A auf Hilberträumen H_{1},H_{2}. Ein T ∈ L(H_{1},H_{2}) heißt Intertwiner von π_{1} nach π_{2}, falls T π_{1}(a) = π_{2}(a)T für alle a ∈ A, und π_{1},π_{2} heißen (unitär) äquivalent, falls es einen unitären Intertwiner von π_{1} nach π_{2} gibt.

Bemerkung 3.2. Sei π eine Darstellung auf einem Hilbertraum H. Sei ζ ∈ H.

i) Ist ζ separierend, so ist π treu.

ii) Ist ζ zyklisch, so ist π nicht-degeneriert.

iii) Ist π irreduzibel und ζ ≠ 0, so ist ζ zyklisch: K := \overline{π(A)ζ} ist invariant für π ⇒ K = {0} oder K = H, aber: K = {0} ⇒ ℂζ ⊆ H ist invariant ⇒ ℂζ = H ⇒ π = 0, Widerspruch.

Beispiel 3.3. i) Sei X = [0,1] und μ das Lebesgue-Maß auf X. Dann existiert genau eine Darstellung M: L^{∞} (X,μ) → L(L^{2}(X,μ)) mit (M(f)ξ)(x) = f(x)ξ(x) für alle x ∈ X, f ∈ L^{∞} (X,μ), ξ ∈ L^{2}(X,μ). Diese Darstellung ist

• nicht-degeneriert, weil M(1_{X}) = Id_{L^{2}(X,μ)};

• zyklisch, weil 1_{X}∈ L^{2}(X,μ) zyklisch ist: \overline{M(L^{∞} (X,μ))1_{X}}= \overline{L^{∞} (X,μ)}= L^{2}(X,μ);

• treu und 1_{X} ∈ L^{2}(X,μ) separierend;

• nicht irreduzibel, weil M(χ_{A})L^{2}(X,μ) ⊆ L^{2}(X,μ) invariant ist für jede messbare Teilmenge A ⊆ X.

Die gleichen Aussagen gelten für die Einschränkung M|_{C(X)}: C(X) → L(L^{2}(X,μ)). Ersetzt man (X,μ) durch einen beliebigen Maßraum, gelten die Aussagen nur teilweise.

Ende der Vorlesung vom 19.11.

ii) Sei I eine Indexmenge und π_{ν}: A → L(H_{ν}) für jedes ν ∈ I eine Darstellung. Dann ist

⨁_{ν∈I} H_{ν} := {(ξ_{ν})_{ν} ∈ ∏_{ν} H_{ν} | ∑_{ν} ∥ξ∥_{ν}^{2} < ∞}

ein Hilbertraum bezüglich des Skalarproduktes

⟨(ξ_{ν})_{ν}|(η_{ν})_{ν}⟩:= ∑_{ν∈I}⟨ξ_{ν}|η_{ν}⟩,

und ⨁ _{ν}π_{ν}: A → L(⨁ _{ν}H), definiert durch

( ⨁_{ν} π_{ν})(a)(ξ_{ν})_{ν} = (π_{ν}(a)ξ_{ν})_{ν},

eine Darstellung, genannt die direkte Summe der Familie (π_{ν})_{ν}.

Bemerkung: Ist I überabzählbar und (λ_{ν})_{ν} eine Familie von Zahlen, so ist ∑_{ν}λ_{ν} der Grenzwert (falls existent) des Netzes von Partialsummen

s_{F} := ∑_{ν∈F} λ_{ν} für F ∈ F := {F′⊆ I endlich}.

Satz 3.4. Sei π: A → L(H) eine Darstellung.

i) Sei K ⊆ H invariant. Dann ist auch K^{⊥} ⊆ H invariant.

ii) Sei π nichtdegeneriert. Dann ist π äquivalent zu einer direkten Summe zyklischer Darstellungen.

Beweis. i) Für alle ξ ∈ K^{⊥}, a ∈ A ist π(a)ξ ∈ K^{⊥}, weil ⟨η|π(a)ξ⟩ = ⟨\underbrace{π(a)η}_{∈K}|ξ⟩ = 0 für

alle η ∈ K. ii) Sei (ζ_{ν})_{ν} eine maximale Familie von Elementen von H mit folgender Eigenschaft: die Räume H_{ν} := \overline{π(A)ζ_{ν}}⊆ H sind paarweise orthogonal. Es gibt eine Isometrie U: ⨁ _{ν}H_{ν} → H mit (ξ_{ν})_{ν} ↦ ∑_{ν}ξ_{ν} weil

⟨∑_{ν} ξ_{ν}|∑_{ν} η_{ν}

Dann ist K := \overline{∑ ν}H_{ν} ⊆ H invariant und somit auch K^{⊥} invariant. Wäre K ≠ H, so gäbe es ein ζ ∈ K^{⊥} \\{0\} und \overline{π(A)ζ}⊆ K^{⊥} wäre orthogonal zu H_{ν} ⊆ K für jedes ν, Widerspruch zur Maximalität der Familie (ζ_{ν})_{ν}.

Bemerkung 3.5. Im Allgemeinen sind Darstellungen nicht einfach direkte Summen von irreduziblen Darstellungen, z.B. M: C([0,1]) → L(L^{2}([0,1],μ)) aus Beispiel 3.3 i), sondern “direkte Integrale” der Form ∫_{X}^{⊕} π_{x}dμ(x) auf Hilberträumen ∫_{X}^{⊕} H_{x}dμ(x), wobei (X,μ) ein Maßraum und (π_{x})_{x∈X} eine Familie von Darstellungen auf (H_{x})_{x∈X} ist.

3.2 Zyklische Darstellungen, positive Funktionale und GNS-Konstruktion

Sei wieder A eine C^{∗}-Algebra und π: A → L(H) eine Darstellung mit einem zyklischen Vektor ζ ∈ H. Dann können wir H und π mit Hilfe der Abbildungen

Λ_{ζ} : A → H, a ↦ π(a)ζ,  ω_{ζ} : A → ℂ, a ↦ ⟨ζ|π(a)ζ⟩,

charakterisieren:

i) Λ(A) = π(A)ζ ist dicht in H; ii) ⟨Λ(a)|Λ(b)⟩ = ⟨ζ|π(a)^{∗}π(b)ζ⟩ = ω_{ζ}(a^{∗}b) für alle a,b ∈ A;

iii) π(a)Λ(b) = π(a)π(b)ζ = π(ab)ζ = Λ(ab).

Die Abb. ω_{ζ} charakterisiert π bis auf unitäre Äquivalenz:

Satz 3.6. Seien π: A → L(H) und π′: A → L(H′) Darstellungen mit zyklischen Vektoren ζ ∈ H, ζ′∈ H′. Dann sind äquivalent:

i) ω_{ζ} = ω_{ζ′}.

ii) Es gibt einen unitären Intertwiner U: H → H′von π,π′mit Uζ = ζ′.

Beweis. i) ⇒ ii): Es gibt genau eine Isometrie U: π(A)ζ → π(A)ζ′, π(a)ζ ↦ π′(a)ζ′, weil aus obiger Beobachtung ii) folgt:

⟨π′(a)ζ′|π′(b)ζ′⟩ = ω_{ζ′}(a^{∗}b) = ω_{ζ}(a^{∗}b) = ⟨π(a)ζ|π(b)ζ⟩ für alle a,b ∈ A.

Diese Isometrie setzt sich zu einem Unitären U: H → H′ fort, weil H = \overline{span}π(A)ζ, H′= \overline{span}π(A′)ζ′. Es gilt Uπ(a) = π′(a)U weil H = \overline{span}π(A)ζ und

Uπ(a)π(b)ζ = Uπ(ab)ζ = π′(ab)ζ′= π′(a)π′(b)ζ = π′(a)Uπ(b)ζ für alle a,b ∈ A.

ii) ⇒ i) Sei U wie in ii) gegeben. Dann gilt π′(a)ζ′= π′(a)Uζ = Uπ(a)ζ für alle a ∈ A und somit

ω_{ζ′}(a^{∗}b) = ⟨\underbrace{π′(a)ζ′}_{Uπ(a)ζ}|\underbrace{π′(b)ζ′}_{Uπ(b)ζ}⟩ = ⟨π(a)ζ|π(b)ζ⟩ = ω_{ζ}(a^{∗}b) für alle a,b ∈ A.

Wegen \overline{span}A^{∗}A= A folgt ω_{ζ} = ω_{ζ′}.

Wir betrachten nun allgemein Funktionale mit Eigenschaften wie ω_{ζ} und rekonstruieren H und π aus ω_{ζ}. Für alle a ∈ A gilt offenbar:

(a)ω_{ζ}(a^{∗}a) = ∥Λ(a)∥^{2} > 0,  (b)|ω_{ζ}(a)| = |⟨ζ|π(a)ζ⟩| ≤ ∥ζ∥^{2}∥a∥.

Definition 3.7. Ein positives Funktional auf A ist eine lineare Abbildung ω: A → ℂ mit ω(A_{+} ) ⊆ [0,∞). Wir bezeichnen die Menge aller positiven Funktionale auf A mit A_{+}^{∗}. Eine GNS-Darstellung für ein ω ∈ A_{+}^{∗} ist eine Darstellung π: A → L(H) zusammen mit einem zyklischen Vektor ζ ∈ H so, dass ω_{ζ} = ω, d.h. ⟨π(a)ζ|π(b)ζ⟩ = ω(a^{∗}b) für alle a,b ∈ A.

Beispiel 3.8. i) Ist π: A → L(H) eine Darstellung mit zyklischem Vektor ζ, so ist π eine GNS-Darstellung für ω_{ζ}. ii) Für die Darstellung M: C([0,1]) → L(L^{2}([0,1],μ)) aus Beispiel 3.3 i) und den

zyklischen Vektor ζ = 1_{[0,1]}ist

ω_{ζ}(f^{∗}g) = ⟨f1_{[0,1]}|g1_{[0,1]}⟩ = ∫_{[0,1]}\overline{f} gdμ für alle f,g ∈ C([0,1]),

d.h. ω_{ζ}(h) = ∫_{[0,1]}hdμ für alle h ∈ C([0,1]).

Wir beweisen nun schrittweise die Existenz von GNS-Darstellungen.

Lemma 3.9. Sei ω ein positives Funktional auf A.

i) Für alle a,b ∈ A gilt:

(a) ω(a^{∗}b) = ω(b^{∗}a)^{∗},

(b) |ω(a^{∗}b)|^{2} ≤ ω(a^{∗}a)ω(b^{∗}b),

(c) ω((ab)^{∗}(ab)) ≤ ∥a∥^{2}ω(b^{∗}b).

ii) ω ist beschränkt. Ist A unital, so gilt |ω| = ω(1_{A}).

Aussage über ∥ω∥ im nicht-unitalen Fall: später.

Beweis. i) (a) Es gilt

\underbrace{ω((a + ib)^{∗}(a + ib))}_{≥0} = \underbrace{ω(a^{∗}a)}_{≥0}+\underbrace{ω(b^{∗}b)}_{≥0}+iω(a^{∗}b − b^{∗}a) ⇒ Re(ω(a^{∗}b)) = Re(ω(b^{∗}a)),

\underbrace{ω((a + b)^{∗}(a + b))}_{≥0} = \underbrace{ω(a^{∗}a)}_{≥0}+\underbrace{ω(b^{∗}b)}_{≥0}+ω(a^{∗}b + b^{∗}a) ⇒ Im(ω(a^{∗}b)) = −Im(ω(b^{∗}a)).

(b) Cauchy-Schwarz-Ungleichung liefert für die Sesquilinearform (a,b) ↦ ω(a^{∗}b) liefert ω(a^{∗}b) ≤ ω(a^{∗}a)^{1/2}ω(b^{∗}b)^{1/2}.

(c) (a^{∗}b)ab = b^{∗}a^{∗}ab ≤ b^{∗}∥a^{∗}a∥b und somit ω((ab)^{∗}ab) ≤ ∥a^{∗}a∥ω(b^{∗}b). ii) Fall A unital: Für jedes a ∈ A ist a^{∗}a ≤ ∥a^{∗}a∥1_{A}(Satz 2.29) und nach i) (b)

|ω(a)|^{2} ≤ ω(1_{A}^{∗}1_{A})ω(a^{∗}a) ≤ ω(1_{A})ω(∥a^{∗}a∥1_{A}) = ω(1_{A})^{2} \underbrace{∥a^{∗}a∥}_{∥a∥^{2}}.

Allgemeiner Fall: Angenommen, für jedes n ∈ ℕ existiert ein a_{n}∈ A_{+} mit ∥a_{n}∥ ≤ 1 und ω(a_{n}) ≥ 2^{n}. Dann gilt für b:= ∑_{n}2^{−n} a_{n} ∈ A_{+} und alle N ∈ ℕ:

b ≥ ∑_{n=1}^{N} a_{n} ⇒ ω(b) ≥ ∑_{n=1}^{N} ω(a_{n}) ≥ N,

Widerspruch! Also existiert ein C > 0 mit ω(a) ≤ C∥a∥ für alle a ∈ A_{+} . Für beliebiges a ∈ A folgt (vgl. Satz 2.28)

ω(a) = ω(Re(a)_{+} ) − ω(Re(a)_{−}) + iω(Im(a)_{+} ) − iω(Im(a)_{−})

und wegen

∥Re(a)_{±} ∥ ≤ ∥Re(a)∥ = ∥\frac{1}{2}(a − a^{∗})∥ ≤ ∥a∥, ∥Im(a)_{±} ∥ ≤ ···≤ ∥a∥

folgt ∥ω(a)∥ ≤ 4C∥a∥.

Ende der Vorlesung vom 25.11.

Satz 3.10 (GNS-Konstruktion). Sei ω ein positives Funktional auf A.

i) N := {a ∈ A | ⟨a|a⟩ = 0} ⊆ A ist ein abgeschlossenes Links-Ideal und trägt ein Skalarprodukt ⟨·|·⟩: A × A → A, (a + N,b + N) ↦ ω(a^{∗}b).

ii) Bezeichne H die Vervollständigung von A/N und Λ: A → H die Abbildung a ↦ a+N. Dann hat Λ dichtes Bild und das Skalarprodukt von A/N setzt sich eindeutig zu einem Skalarprodukt H fort; für dieses gilt ⟨Λ(a)|Λ(b)⟩ = ω(a^{∗}b) für alle a,b ∈ A.

iii) Es gibt genau eine Darstellung π: A → L(H) mit π(a)Λ(b) = Λ(ab) für alle a,b ∈ A.

iv) Es gibt genau einen Vektor ζ ∈ H mit Λ(a) = π(a)ζ für alle a ∈ A. Dieser Vektor ist zyklisch und erfüllt ω_{ζ} = ω und ∥ζ∥ = ∥ω∥^{1/2}.

Beweis. i) N ⊆ A ist

• abgeschlossen, weil ω stetig ist;

• Unterraum, weil ω linear und für alle a,b ∈ N gilt: ω(a^{∗}b),ω(b^{∗}a) = 0 nach Cauchy-Schwarz und somit ω((a + b)^{∗}(a + b)) = 0;

• Links-Ideal, weil für alle a ∈ A, b ∈ N aus Lemma 3.9ii)(c) folgt: 0 ≤ ω((ab)^{∗}ab) ≤ ∥a^{∗}a∥ω(b^{∗}b) = 0.

Die Abbildung (a + N,b + N) ↦ ω(a^{∗}b) ist

• wohldefiniert: folgt aus Cauchy-Schwarz-Ungleichung;

• sesquilinear: folgt aus Lemma 3.9 i) (a);

• positiv definit: weil ω positiv ist und nach Definition von N. ii) Klar. iii) Für jedes a ∈ A ist die Abbildung π(a): Λ(A) → Λ(A), Λ(b) ↦ Λ(ab), wohldefiniert und beschränkt, weil

∥Λ(ab)∥^{2} = ω((ab)^{∗}ab)^{2} ≤ ∥a^{∗}a∥ω(b^{∗}b) = ∥a∥^{2}∥Λ(b)∥^{2} für alle b ∈ A.

⇒ π(a) besitzt eindeutige beschränkte Fortsetzung π(a) ∈ L(H). Die Abbildung π: A → L(H) ist ein ∗-Homomorphismus, weil für alle a,b,c ∈ A gilt:

π(a)π(b)Λ(c) = Λ(abc) = π(ab)Λ(c),
⟨Λ(a)|π(b)Λ(c)⟩ = ω(a^{∗}bc) = ⟨π(b^{∗})Λ(a)|Λ(c)⟩.

iv) Sei (u_{ν})_{ν} die approximierende Eins von A aus Theorem 2.35. Dann gilt für jedes a ∈ A:

|ω(a)| = lim_{ν}|ω(u_{ν}a)| ≤ ω(u_{ν}^{∗}u_{ν})^{1/2}ω(a^{∗}a)^{1/2}
≤ ∥ω∥^{1/2}∥u_{ν}^{∗}u_{ν}∥^{1/2}∥Λ(a)∥ ≤ ∥ω∥^{1/2}∥Λ(a)∥,

also ist die Abbildung Λ(A) → ℂ, Λ(a) ↦ ω(a), stetig von Norm kleiner gleich ∥ω∥^{1/2}. Satz von Riesz ⇒ es ex. genau ein ζ ∈ H mit ∥ζ∥ ≤ ∥ω∥^{1/2} und ⟨ζ|Λ(a)⟩ = ω(a) für alle a ∈ A. Es gilt π(a)ζ = Λ(a) für alle a ∈ A, weil

⟨π(a)ζ|Λ(b)⟩ = ⟨ζ|Λ(b^{∗}a)⟩ = ω(a^{∗}b) = ⟨Λ(a)|Λ(b)⟩ für alle a,b ∈ A.

Insbesondere ist π(A)ζ = Λ(A) ⊆ H dicht, also ζ zyklisch. Weil |ω(a)| = ⟨ζ|π(a)ζ⟩ ≤ ∥ζ∥^{2}∥a∥ für alle a ∈ A, gilt ∥ζ∥ = ∥ω∥^{1/2}. Schliesslich folgt ω_{ζ}(a^{∗}b) = ⟨π(a)ζ|π(b)ζ⟩ = ω(a^{∗}b) für alle a,b ∈ A.

Die Sätze 3.6 und 3.10 liefern:

Theorem 3.11. Für jedes positive Funktional auf einer C^{∗}-Algebra existiert eine GNS-Darstellung, und diese ist eindeutig bis auf unitäre Äquivalenz.

Folgerung 3.12. Sei ω ein positives Funktional auf A und (u_{ν})_{ν} eine beschränkte approximative Eins von A. Dann gilt ∥ω∥ = lim_{ν}ω(u_{ν}).

Beweis. Seien H,Λ,π,ζ wie in Satz 3.10. Dann ist lim_{ν}π(u_{ν})Λ(a) = lim_{ν}π(u_{ν}aζ = π(a)ζ = Λ(a) für alle a ∈ A. Weil Λ(A) ⊆ H dicht und (π(u_{ν}))_{ν} beschränkt ist, folgt lim_{ν}π(u_{ν})ζ = ζ und ∥ω∥ = ∥ζ∥^{2} = lim_{ν}⟨ζ|π(u_{ν})ζ⟩ = lim_{ν}ω(u_{ν}).

3.3 Irreduzible Darstellungen und reine Zustände

Ziele dieses Abschnitts:

i) Charakterisierung irreduzibler Darstellungen;

ii) Beweis der Existenz ausreichend vieler irreduzibler Darstellungen. Sei A wieder A eine C^{∗}-Algebra. Definition 3.13. Ein Zustand auf A ist ein positives Funktional auf A mit Norm 1. Wir bezeichnen die Menge aller Zustände auf A mit S(A)) und betrachten S(A) als topologische Räume bzgl. der schwach-∗-Topologie (s. Bem. nach Lemma 1.27). Lemma 3.14. Jeder Zustand ω von A besitzt genau eine Fortsetzung zu einem Zustand ω̃ auf Ã. Beweis. Eindeutigkeit: Für jede Fortsetzung ω̃ gilt ω̃((λ,a)) = λω̃(1Ã) + ω(a) = λ + ω(a) für alle (λ,a) ∈ Ãnach Lemma 3.9 ii). Existenz: Seien H,Λ,π,ζ wie in Satz 3.10, so existiert genau eine Darstellung π̃: Ã→ L(H), (λ,a) ↦ λId_{H}+π(a), und ω̃ := ω_{ζ}: Ã→ ℂ, (λ,a) ↦ ⟨ζ|π̃((λ,a))ζ⟩, ist die gewünschte Fortsetzung. Satz 3.15. S(A) ist konvex und

i) kompakt, falls A unital;

ii) lokal-kompakt und Hausdorffsch, falls A nicht-unital; in dem Fall ist die Abbil-

dung S(A) → S(Ã), ω ↦ ω̃, die Einpunkt-Kompaktifizierung von S(A). Beweis. Ähnlich wie der Beweis von Theorem 1.29. Definition 3.16. Ein Zustand ω auf A ist rein, falls er ein Extrempunkt von S(A) ist, d.h. nicht als Konvexkombination verschiedener Zustände geschrieben werden kann. Wir bezeichnen mit PS(A) ⊆ S(A) die Teilmenge aller reinen Zustände. Theorem 3.17. Sei π: A → L(H) eine Darstellung. Dann sind äquivalent:

i) π(A)′:= {T ∈ L(H) | T π(a) = π(a)T für alle a ∈ A} ist ℂId_{H}.

ii) π ist irreduzibel.

iii) Für jeden Einheitsvektor ζ ∈ H ist der Zustand ω_{ζ} rein.

iv) Für einen zyklischen Einheitsvektor ζ ∈ H ist der Zustand ω_{ζ} rein.

Beweis. i) ⇒ ii) Ist K ⊆ H ein abgeschlossener invarianter Unterraum, dann ist die orthogonale Projektion p: H → K ⊆ H ein Element von π(A)′, also p = 0 oder p = Id_{H} und somit K = 0 oder K = H. ii) ⇒ i) Leicht: π(A)′ist eine C^{∗}-Algebra. Sei T ∈ π(A)′selbstadjungiert. Angenommen, σ(T) besteht nicht nur aus einem Punkt. Dann existieren f,g ∈ C(σ(T)) mit f ≠ 0, g ≠ 0, fg = 0. Die Unterräume \overline{f(T)H}und \overline{g(T)H}sind

• invariant bzgl. π(A), weil f(T),g(T) ∈ π(A)′;

• nicht 0, weil f(T),g(T) ≠ 0;

• orthogonal f(T)g(T) = 0.

⇒ Widerspruch zur Irreduzibilität von π! ⇒ σ(T) besteht aus nur einem Punkt, etwa λ =======⟹^{Funktionalkalkül} T = λId_{H}.

i) ⇒ iii) Sei ζ ∈ H ein Einheitsvektor, ω_{ζ} = λω+(1−λ)ω′mit λ ∈ (0,1), ω,ω′∈ S(A), und sei π′: A → L(H′) eine GNS-Darstellung für λω mit zyklischem Vektor ζ′. ⇒ ∥π′(a)ζ′∥^{2} = λω(a^{∗}a) ≤ ω_{ζ}(a^{∗}a) = ∥π(a)ζ∥^{2} für alle a ∈ A ⇒ Es existiert ein Intertwiner T : H → H′, π(a)ζ ↦ π′(a)ζ′ ⇒ T^{∗}T ∈ π(A)′= ℂId_{H}, also T^{∗}T = cId_{H} für ein c > 0

⇒ λω(a^{∗}a) = ⟨\underbrace{π′(a)ζ′}_{T π(a)ζ}|\underbrace{π′(a)ζ′}_{T π(a)ζ}⟩ = ⟨π(a)ζ|T^{∗}T π(a)ζ⟩ = cω_{ζ}(a^{∗}a) für alle a ∈ A

⇒ ω = c/λω_{ζ}, ω′= (1 − c/λ)ω_{ζ} ⇒ ω_{ζ} ∈ PS(A).

Ende der Vorlesung vom 26.11.

iv) ⇒ ii) Sei K ⊆ H ein abgeschlossener invarianter Unterraum, p: H → K ⊆ H die orthogonale Projektion, ξ:= pζ, η:= (1 − p)ζ. ⇒ p ∈ π(A)′und

⟨ζ|π(a)ζ⟩= ⟨(p + (1 − p))ζ|π(a)(p + (1 − p))ζ⟩
= ⟨pζ|π(a)pζ⟩ + ⟨(1 − p)ζ|π(a)(1 − p)ζ⟩ für alle a ∈ A

⇒ ω_{ζ} = ω_{ξ}+ ω_{η} mit ξ = pζ, η = (1 − p)ζ. Wären ξ ≠ 0, η ≠ 0, dann wäre

ω_{ζ} = ∥ξ∥^{2} \underbrace{ω_{ξ}/∥ξ∥^{2}}_{∈S(A)}+∥η∥^{2} \underbrace{ω_{η}/∥η∥^{2}}_{∈S(A)} und ∥ξ∥^{2}+ ∥η∥^{2} = ∥ζ∥^{2} = 1,

Widerspruch zu ω_{ζ} ∈ PS(A)! Es folgt pζ = 0 oder (1 − p)ζ = 0 und

K = pH = \overline{span}pπ(A)ζ = \overline{span}π(A)pζ = 0 oder K^{⊥} = (1 − p)H = ···= 0.

iii) ⇒ ii) Sei K ⊆ H invariant und abgeschlossen. Der Beweis der Implikation “iv) ⇒ ii)” zeigt, dass dann für jeden Einheitsvektor ζ ∈ H entweder ζ ∈ K oder ζ ∈ K^{⊥} gilt. Somit folgt K = H oder K = 0. Folgerung 3.18. Ist A kommutativ, so ist jede irreduzible Darstellung von A eindimensional und Ω(A) = PS(A). Beweis. ÜA. Wir wollen nun zeigen, dass “ausreichend viele” irreduzible Darstellungen existieren: Theorem 3.19. i) Für jedes normale a ∈ A existiert ein reiner Zustand ω auf A mit

|ω(a)| = ∥a∥. ii) Für jedes a ∈ A existiert eine irreduzible Darstellung π von A mit ∥π(a)∥ = ∥a∥.

Der Beweis erfordert einige Zwischenschritte: Satz 3.20. Sei ω ∈ A^{∗}.

i) Ist A unital, so gilt: ω ∈ S(A) ⇔ 1 = ∥ω∥ = ω(1_{A}).

ii) Sei (u_{ν})_{ν} die approximative Eins von A aus Theorem 2.35. Dann gilt: ω ∈ S(A)

⇔ 1 = ∥ω∥ = lim_{ν}ω(u_{ν}). Beweis. i) “⇒”: Lemma 3.9 ii). “⇐”: Zeigen zuerst ω(A_{sa}) ⊆ ℝ ähnlich wie in Satz 2.7. Sei a ∈ A_{sa}, ω(a) = x + iy mit x,y ∈ ℝ. Zeigen: y = 0. Für jedes t ∈ ℝ gilt

∥a − it1_{A}∥^{2} = ∥(a + it1_{A})(a − it1_{A})∥ = ∥a^{∗}a∥ + t^{2} = ∥a∥^{2}+ t^{2}

und somit

(∥a∥^{2}+ t^{2}) ≥ |ω(a − it1_{A})|^{2} = |ω(a) − it|^{2} = |x + i(y − t)|^{2}.

Im Fall y ≶ 0 folgt Widerspruch für t → ∓∞ (vgl. Satz 2.7). Sei nun a ∈ A_{+} und ∥a∥ ≤ 1. ⇒ −1_{A}≤ −a ≤ 1_{A}− a ≤ 1_{A} \underrightarrow{2.29} ∥1_{A}− a∥ ≤ 1 ⇒ 1 − ω(a) = ω(1_{A}− a) ∈ [−1,1] ⇒ ω(a) ≥ 0. ii) Ähnlich wie i); ÜA. Satz 3.21. Sei A eine C^{∗}-Algebra und B ⊆ A eine C^{∗}-Unteralgebra. Dann gilt:

S(B) ⊆ {ω|_{B}| ω ∈ S(A)}, PS(B) ⊆ {ω|_{B}| ω ∈ PS(A)}.

Beweis. Sei ω ∈ S(B). OBdA. A, B unital und 1_{B}= 1_{A}(sonst nutze Lemma 3.14). Dann ∥ω∥ = ω(1) und nach Hahn-Banach existiert Fortsetzung υ ∈ A^{∗} mit υ|_{B}= ω und ∥υ∥ = ∥ω∥ = ω(1) = υ(1). Nach Satz 3.20 ist υ ∈ S(A). Ist ω ∈ PS(B), so ist C:= {υ ∈ S(A) | υ|_{B}= ω} nicht leer, konvex, abgeschlossen und somit kompakt bzgl. der schwach-∗-Topologie nach Satz 3.15. Nach dem Satz von Krein-Milman (s. z.B. Conway §V.7) existiert ein Extrempunkt υ von C. Zeigen: υ ∈ PS(A). Angenommen, υ = λυ′+(1−λ)υ′′mit υ′,υ′′∈ S(A) und λ ∈ (0,1). Dann ist υ′|_{B},υ′′|_{B}∈ S(B) und ω = λυ′|_{B}+(1−λ)υ′′|_{B}. Aber ω ∈ PS(B) ⇒ υ′|_{B},υ′′|_{B}= ω ⇒ υ′,υ′′∈ C ⇒ υ′,υ′′= υ.

Beweis von Theorem 3.19. i) Sei a ∈ A normal. Dann ist B := ⟨a⟩_{C^{∗}} ⊆ A kommutativ,

nach Theorem 1.40 existiert ein ω ∈ Ω(B) {3.18 \atop =} PS(B) mit |ω(a)| = ∥a∥ und nach Satz 3.21 existiert υ ∈ PS(A) mit υ(a) = ω(a) = ∥a∥. ii) Sei a ∈ A. Nach i) existiert ω ∈ PS(A) mit ω(a^{∗}a) = ∥a^{∗}a∥. Sei π: A → L(H) eine GNS-Darstellung für ω mit zyklischem Vektor ζ. Theorem 3.17 ⇒ π ist irreduzibel Folgerung 2.10 ⇒ ∥π(a)∥ ≤ ∥a∥ aber ∥π(a)ζ∥^{2} = ⟨π(a)ζ|π(a)ζ⟩ = ω(a^{∗}a) = ∥a^{∗}a∥ = ∥a∥^{2} und ∥ζ∥^{2} = ∥ω∥ = 1 (Satz 3.10) ⇒ ∥π(a)∥ = ∥a|.

Wir sammeln nun wichtige Folgerungen. Für jedes ω ∈ S(A) sei π_{ω} : A → L(H_{ω}) eine zugehörige GNS-Darstellung. Dann ist

⨁_{ω∈S(A)} π_{ω} : A → L( ⨁_{ω∈S(A)} H_{ω})

die universelle GNS-Darstellung von A.

Folgerung 3.22. Die universelle GNS-Darstellung von A ist treu.

Folgerung 3.23. Sei a ∈ A.

i) a ∈ A_{sa} ⇔ ω(a) ∈ ℝ für alle ω ∈ S(A).

ii) a ≥ 0 ⇔ ω(a) ≥ 0 für alle ω ∈ S(A).

iii) a zentral (d.h. ab = ba für alle b ∈ A) ⇔ π(a) ∈ ℂId_{H} für jede irreduzible Darstellung π: A → L(H).

Beweis. i) “⇒”: nach Definition; “⇐”: Ist Im(a) ≠ 0, so existiert ω ∈ S(A) mit ω(Im(a)) ≠

0 und dann ist ω(a) = \underbrace{ω(Re(a))}_{∈ℝ}+i\underbrace{ω(Im(a))}_{∈ℝ} ∉ ℝ.

ii) Analog wie i) mit a_{+} ,a_{−} statt Re(a), Im(a). iii) “⇒”: Ist a ∈ A zentral, so ist π(a) ∈ π(A)′= ℂIdfür jede irreduzible Darstellung π von A. “⇐”: Sind a,b ∈ A und ab − ba ≠ 0, so ex. eine irreduzible Darstellung π von A mit π(ab − ba) ≠ 0 und somit π(a) ∉ ℂId.

Folgerung 3.24. Es existiert genau eine Norm, bzgl. derer M_{n}(A) mit der natürlichen ∗-Algebra-Struktur eine C^{∗}-Algebra ist.

Beweis. Eindeutigkeit: Folgerung 2.9. Existenz: Sei π: A → L(H) eine treue Darstellung. Nachrechnen: es existiert ein injektiver ∗-Homomorphismus π^{(n)}: A → L(H^{(n)}), wobei H^{(n)} = ⨁ _{i=1}^{n} H, mit

π^{(n)} ( ( \begin{matrix}a_{11} & ··· & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & ··· & a_{nn} \end{matrix}) ) ( ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n}) = ( \begin{matrix}π(a_{11}) & ··· & π(a_{1n}) \\ ⋮ & & ⋮ \\ π(a_{n1}) & ··· & π(a_{nn}) \end{matrix}) ( ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n})

(Matrixmultiplikation) für alle (a_{ij})_{i,j} ∈ M_{n}(A), (ξ_{i})_{i} ∈ H^{(n)}. Nun ist M_{n}(A) eine C^{∗}- Algebra bzgl. der Norm (a_{ij})_{i,j} ↦ ∥π^{(n)}((a_{ij})_{i,j})∥.

Ende der Vorlesung vom 2.12.

3.4 Ausblick: Das Spektrum einer C^{∗}-Algebra

Sei wieder A eine C^{∗}-Algebra.

Definition 3.25. Das Spektrum Âvon A ist die Menge aller Äquivalenzklassen irreduzibler Darstellungen von A. Ein Ideal I von A heißt primitiv, falls I = kerπ für eine irreduzible Darstellung π von A gilt. Das Primidealspektrum Prim(A) von A ist die Menge aller primitiven Ideale von A.

Man definiert eine Topologie auf Âund Prim(A) wie folgt. Sei I die Menge aller abgeschlossenen Ideale von A und U_{I} := {J ∈ Prim(A) | I ⊈ J} für jedes I ∈ I. In der Übung zeigen wir: {U_{I} | I ∈ I } eine Basis für eine Topologie von Prim(A). Ist A unital, so ist Prim(A) quasi-kompakt. Wir versehen Â mit der schwächsten Topologie, welche die Abbildung Â→ Prim(A), [π] ↦ kerπ, stetig macht.

Beispiele 3.26. i) Ist A kommutativ, so existieren Homöomorphismen Â≅ Prim(A) = Max(A) ≅ Ω(A) (ÜA).

ii) Für jeden Hilbertraum H besteht { \atop K (H)}nur aus der Äquivalenzklasse [Id] (ÜA). iii) Wir bestimmen Âfür die C^{∗}-Algebra

A:= {f ∈ C([0,1];M_{2}(ℂ)) | f(0),f(1) sind diagonal},

wobei die Operationen punktweise und die Norm durch f ↦ sup_{t∈[0,1]}∥f(t)∥ definiert seien.

Beh: Â= {[π_{t}] | t ∈ (0,1)} ∪ {[π_{t,k}] | t = 0,1,k = 1,2}, wobei

• für jedes t ∈ (0,1) die Darstellung π_{t}: A → M_{2}(ℂ) ≅ L(ℂ^{2}) geg. ist durch f ↦ f(t);

• für jedes t ∈ {0,1}, k ∈ {1,2} die Darstellungen π_{t,k}: A → ℂ ≅ L(ℂ) geg. ist durch f ↦ f(t)_{kk}.

Bew.-Skizze: Sei π: A → L(H) eine irreduzible Darstellung.

C([0,1]) ≡ C([0,1])1_{A}⊆ A zentral

\underrightarrow{3.23} π(C([0,1])) ⊆ ℂId_{H} ⇒ es gibt einen Charakter ω ∈ Ω(C([0,1])) mit π(f) = ω(f)Id_{H} für alle f ∈ C([0,1])

\underrightarrow{1.33} es gibt ein t ∈ [0,1] mit ω = δ_{t}: f ↦ f(t), d.h. π(f) = f(t)Id_{H} für alle f ∈ C([0,1]) ⇒ π(f) = 0 für alle f ∈ A mit f(t) = 0 ⇒ haben Faktorisierung

\xymatrix{A \ar[rr]^{π} \ar[dr]^{δ_{t}} &  & L(H) \\  & M_{2}(ℂ) \ar@{-->}[ur]^{π̃}}

Fall t ∈ (0,1): δ_{t}(A) = M_{2}(ℂ) und π̃ ist äquivalent zur identischen Darstellung auf ℂ^{2} (s. Bsp. ii)).

Fall t ∈ {0,1}: δ_{t}(A) ist die kommutative C^{∗}-Algebra aller 2×2-Diagonalmatrizen

und π̃ ist äquivalent zu ( \begin{matrix}a_{11} \\ & a_{22} \end{matrix}) ↦ a_{kk}für k = 1 oder k = 2.

4 Von-Neumann-Algebren

Höhepunkte der Entwicklung der Theorie:

• Murray, von Neumann

– ’30er-’40er Jahre: weitreichende Grundlegung des Gebietes; Motivation: Fundierung der Quantenmechanik – ’36: Einteilung von Faktoren (=von-Neumann-Algebren mit trivialem Zen-

trum) in Typen

∗ I: ≅ L(H) für einen HR H

∗ II: besitzt eine treue Spur

∗ III: besitzt keine Spur, nur treue “Gewichte”

– ’49: Disintegration einer von-Neumann-Algebra M ⊆ L(H) in eine Familie von Faktoren M_{x} ⊆ L(H_{x}) über einem Maßraum (X,μ):

Z(M)≅ L^{∞} (X,μ), H ≅ ∫_{X}^{⊕} H_{x}dμ(x), M ≅ ∫_{X}^{⊕} M_{x}dμ(x)

• Tomita-Takesaki, ’50er-’60er Jahre:: bahnbrechende Theorie von Gewichten

• Connes, ’70er Jahre: bahnbrechende Klassifikation der Faktoren vom Typ III

4.1 Topologien auf L(H)

Sei H ein unendlich-dimensionaler Hilbertraum. Für das Studium von Operatoralgebren A ⊆ L(H) spielen neben der Norm-Topologie verschiedene andere lokal-konvexe Topologien auf L(H) eine wichtige Rolle.

Zur Erinnerung. Sei V ein Vektorraum mit einer Familie (ρ_{ν})_{ν} von Halbnormen. Die von diesen Halbnormen erzeugte Topologie ist

• die schwächste Topologie, die alle ρ_{ν} und die Translationen V → V,w ↦ w − v, für alle v ∈ V stetig macht;

• die von der Sub-Basis {U_{v,ν,ϵ}| v ∈ V,ϵ > 0,ν} erzeugte Topologie, wobei U_{v,ν,ϵ}= {w ∈ V | ρ_{ν}(v − w) < ϵ};

• dadurch charakterisiert, dass ein Netz (v_{λ})_{λ} genau dann gegen ein v ∈ V konvergiert, wenn lim_{λ}ρ_{ν}(v − v_{λ}) = 0 für alle ν.

Wir setzen H^{ℕ} := ⨁ _{n}H = {(ξ_{n})_{n} | ξ_{n} ∈ H,∑_{n}∥ξ_{n}∥^{2} < ∞}.

Definition 4.1. Die

i) schwache (Operator-)Topologie

ii) starke (Operator-)Topologie

iii) σ-schwache/ultraschwache (Operator-)Topologie

iv) σ-starke/ultrastarke (Operator-)Topologie auf L(H) ist jeweils die von den folgenden Halbnormen erzeugte Topologie:

i) T ↦ |⟨η|T ξ⟩| (für alle η,ξ ∈ H); ii) T ↦ ∥T ξ∥ (für alle ξ ∈ H); iii) T ↦ ∑_{n}⟨η_{n}|T ξ_{n}⟩ (für alle (η_{n})_{n},(ξ_{n})_{n} ∈ H^{ℕ} ); iv) T ↦ (∑_{n}∥T ξ_{n}∥^{2})^{1/2} (für alle (ξ_{n})_{n} ∈ H^{ℕ} ).

Zur Erinnerung. Seien die Topologien τ,τ̃ auf einem Vektorraum V erzeugt durch Familien von Halbnormen (ρ_{ν})_{ν} bzw. (ρ̃ν̃)ν̃. Es heißt τ̃ stärker / feiner als τ und τ schwächer / gröber als τ̃genau dann, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:

i) τ ⊆ τ̃;

ii) konvergiert ein Netz bezüglich τ̃, so auch bzgl. τ;

iii) für jedes ν existieren ν̃_{1},...,ν̃_{n} und C mit ρ_{ν} ≤ C(ρ̃ν̃_{1} + ...+ ρ̃ν̃_{n}). Satz 4.2. Auf L(H) gilt: Norm-Top. ^{≥} σ-starke Top. ^{≥}_{|∨} starke Top._{|∨} σ-schwache Top. _{≥} schwache Top.

Beweis. Einfache ÜA. Beispiel 4.3. Sei (ξ_{n})_{n∈ℕ} eine Orthonormalbasis in H und S ∈ L(H) der Rechts-Shift ξ_{n} ↦ ξ_{n+1} (n ∈ ℕ).

• S^{∗k} → 0 stark (also auch schwach), denn für jedes ξ = ∑_{n}λ_{n}ξ_{n} gilt:

∥S^{∗k}ξ∥ = ∥∑_{n}λ_{n+k}ξ_{n}∥ = (∑_{n}|λ_{n+k}|^{2})^{1/2} −⟶^{k→∞} 0, weil ∑_{n}|λ_{n}|^{2} < ∞.

• S^{k} ↛ 0 stark, weil ∥S^{k}ξ∥ = ∥ξ∥ für jedes ξ ∈ H; aber:

S^{k} → 0 schwach, denn für ξ,η ∈ H gilt:

|⟨η|S^{k}ξ⟩| = |⟨S^{∗k}η|ξ⟩| ≤ ∥S^{∗k}η∥∥ξ∥ −⟶^{k→∞} 0.

Ende der Vorlesung vom 3.12.

Bezeichne L_{1}(H) die Einheitskugel von L(H). Satz 4.4. i) Auf L_{1}(H) ist σ-starke Top. = starke Top. ⪈ schwache Top. = σ-schwache

Top. ii) L_{1}(H) ist kompakt bzgl. der schwachen (und σ-schwachen) Topologie.

Beweis. i) Einfache Abschätzung, ÜA. ii) Benutze Satz von Tychonoff; ÜA.

Wie vertragen sich die Topologien aus Def. 4.1 mit Multiplikation und Involution?

Satz 4.5. i) Die Involution ist

(a) stetig bzgl. der schwachen und σ-schwachen Top.,

(b) weder stetig bzgl. der starken noch bzgl. der σ-starken Top.

ii) Die Multiplikation ist

(a) getrennt stetig bzgl. aller Top. aus Def. 4.1,

(b) stetig als Abb. L_{1}(H) × L(H) → L(H) bzgl. der folgenden Top.

• “stark”×“stark” auf L_{1}(H) × L(H) und “stark” auf L(H),

• “schwach”×“stark” auf L_{1}(H) × L(H) und “schwach” auf L(H).

Beweis. i) (a) Folgt aus |⟨η|T^{∗}ξ⟩| = |⟨ξ|T η⟩| für alle ξ,η ∈ L(H), T ∈ L(H).

(b) Wähle ONS (ξ_{n})_{n∈ℕ} in H, setze K := {ξ_{n}|n ∈ ℕ}^{⊥} und definiere S ∈ L(H) durch Sξ_{n} = ξ_{n+1} (n ∈ ℕ) und SK = 0. Dann (S^{k})^{∗} → 0 stark, aber S^{k} ↛ 0 (Beispiel 4.3). ii) (a) Leicht.

(b) Konvergiert ein Netz (S_{ν})_{ν} in L_{1}(H) stark gegen ein S und ein Netz (T_{μ})_{μ} in L(H) stark gegen ein T, so gilt für alle ξ ∈ H:

∥S_{ν}T_{μ}ξ − ST ξ∥ ≤ ∥(S_{ν}T_{μ}− S_{ν}T)ξ∥ + ∥(S − S_{ν})T ξ∥

≤ \underbrace{∥S_{ν}∥}_{≤1}\underbrace{∥(T_{μ}− T)ξ∥}_{−⟶^{μ→∞} 0}+\underbrace{∥(S − S_{ν})T ξ∥}_{−⟶^{ν→∞} 0},

also konvergiert (S_{ν}T_{μ})_{ν,μ} stark gegen ST. Zweite Behauptung: ähnlich.

Beispiel 4.6. Die Multiplikation auf L_{1}(H) × L_{1}(H) ist nicht gemeinsam stetig bzgl. der schwachen Topologie: für S aus Bsp. 4.3 gilt S^{k} → 0 schwach, S^{∗l} → 0 schwach, aber S^{∗k}S^{k} = Id.

4.2 von-Neumann-Algebren und der Bikommutantensatz

Wir definieren von-Neumann-Algebren durch folgende algebraische Eigenschaft:

Definition 4.7. Die Kommutante einer Teilmenge M ⊆ L(H) ist die Menge M′:= {S ∈ L(H) | ST = T S für alle T ∈ M}. Eine von-Neumann-Algebra (auf H) ist eine ∗-Unteralgbera M ⊆ L(H), die M = M′′ erfüllt.

Hauptergebnis dieses Abschnitts ist der folgende Bikommutantensatz:

Theorem 4.8 (von Neumann). Für jede ∗-Unteralgebra M ⊆ L(H) sind äquivalent: i) M = M′′; ii) M ist schwach abgeschlossen und Id_{H} ∈ M; iii) M ist σ-stark abgeschlossen und Id_{H} ∈ M. Der Beweis erfordert einige Vorbereitungen. Satz 4.9. Seien M,N ⊂ L(H). Dann gilt:

i) M ⊆ N ⇒ N′⊆ M′, (M ∪ N)′= M′∩ N′, (M^{∗})′= (M′)^{∗}, M′′′= M′.

ii) M′ist eine schwach abgeschlossene Algebra und, falls M = M^{∗}, eine ∗-Algebra. Beweis. i) Nachrechnen. ii) M′Unterraum: klar; M′Algebra: R,S ∈ M′⇒ (RS)T = RT S = T (RS) für alle T ∈ M; M′schwach abgeschlossen: Multiplikation getrennt σ-schwach stetig (Satz 4.5 ii)); Wenn M = M^{∗}, dann M′= (M^{∗})′= (M′)^{∗} nach i). Folgerung 4.10. i) Jede von Neumann-Algebra ist eine C^{∗}-Algebra.

ii) Ist M eine von Neumann-Algebra, so auch M′. Zum Beweis von Theorem 4.8 verwenden wir folgende Notation:

• wir fassen Elemente von H^{ℕ} := ⨁ _{ℕ} H als unendliche Spaltenvektoren mit Einträgen aus H auf;

• wir schreiben Operatoren T ∈ L(H^{ℕ} ) als ℕ × ℕ-Matrizen mit Einträgen T_{ij} ∈ L(H) (i,j ∈ ℕ);

• für jedes T ∈ L(H) bezeichne diag(T) ∈ L(H^{ℕ} ) den Operator (ξ_{n})_{n} ↦ (T ξ_{n})_{n}. Lemma 4.11. Sei M ⊂ L(H).

i) Für jedes S ∈ L(H^{ℕ} ) gilt S ∈ diag(M)′⇔ S_{ij} ∈ M′für alle i,j ∈ ℕ.

ii) diag(M′′) ⊆ diag(M)′′. Beweis. i) Für alle S ∈ L(H^{ℕ} ), T ∈ M gilt:

Sdiag(T) = diag(T)S ⇔ \underbrace{(Sdiag(T))_{ij}}_{S_{ij}T}= \underbrace{(diag(T)S)_{ij}}_{T S_{ij}} für alle i,j.

ii) Für alle T ∈ M′′, S ∈ diag(M)′ gilt S_{ij} ∈ M′ für alle i,j, also T S_{ij} = S_{ij}T, d.h. diag(T)S = Sdiag(T).

Beweis von Theorem 4.8. i) ⇒ ii): Satz 4.9 ii). ii) ⇒ iii): Satz 4.2. iii) ⇒ i): Klar: M ⊆ M′′. Umgekehrt sei T ∈ M′′und U eine σ-starke Umgebung von T. Zeigen: M ∩ U ≠ ∅. Weil M σ-stark abgeschlossen und U beliebig folgt dann T ∈ M. Nach Def. existieren ϵ > 0 und ξ^{k} = (ξ_{n}^{k})_{n} ∈ H^{ℕ} für k = 1,...,N mit

{S ∈ L(H)| ∑_{i} ∥(S − T)ξ_{n}^{k}∥^{2} < ϵ für k = 1,...,N} ⊆ U.

Definiere ζ ∈ H^{ℕ} durch ζ = (ξ_{0}^{1},...,ξ_{0}^{N},ξ_{1}^{1},...,ξ_{1}^{N},ξ_{2}^{1},...,ξ_{2}^{N},...). Dann ist

\{S ∈ L(H)| \underbrace{∑_{i} ∥(S − T)ζ_{n}∥^{2} < ϵ}_{= ∥diag(S − T)ζ∥^{2}}\} ⊆ U.

Setze K = \overline{diag(M)ζ}. Wir zeigen diag(T)ζ ∈ K, dann folgt M ∩ U ≠ 0. Bezeichne P ∈ L(H^{ℕ} ) die Projektion auf K. Dann gilt:

• diag(M)K ⊆ K und wegen M = M^{∗} auch diag(M)K^{⊥} ⊆ K^{⊥} ⇒ P ∈ diag(M)′;

• Lemma 4.11 ⇒ diag(T) ∈ diag(M′′) ⊆ diag(M)′′kommutiert mit P;

• Id_{H} ∈ M ⇒ ζ ∈ K und ζ = Pζ;

• ⇒ diag(T)ζ = diag(T)Pζ = P diag(T)ζ ∈ K.

• ⇒ es gibt ein S ∈ M mit ∥diag(T)ζ − diag(S)ζ∥^{2} < ϵ. Folgerung 4.12. Ist (M_{λ})_{λ} eine Familie von von-Neumann-Algebren auf H, so ist auch ⋂ _{λ}N_{λ} eine von-Neumann-Algebra. Sei M eine von-Neumann-Algebra und Z(M) ihr Zentrum. Offenbar gilt

Z(M) = M ∩ M′;

insbesondere ist Z(M) eine von-Neumann-Algebra. Definition 4.13. Ein Faktor ist eine von-Neumann-Algebra mit trivialem Zentrum ℂId. Bemerkung 4.14. Ist M ein Faktor, so auch M′, weil Z(M) = M ∩ M′= M′′∩ M′= Z(M′).

Ende der Vorlesung vom 9.12.

Faktoren haben keine nichttrivialen von-Neumann-Ideale; genauer gilt:

Theorem 4.15. Sei I (M) die Menge der zweiseitigen schwach abgeschlossenen Ideale von M. Dann ist die Abbildung

{Projektionen in Z(M)}→ I (M), p ↦ pM,

eine Bijektion.

Zum Beweis benutzen wir folgendes Lemma:

Lemma 4.16. Sei M eine von-Neumann-Algebra und p ∈ L(H) eine Projektion. Dann gilt: pH ist invariant bzgl. M ⇔ p ∈ M′.

Beweis von Theorem 4.15. Offenbar ist pM ∈ I (M) für jede Projektion p ∈ Z(M). Die Abbildung p ↦ pM ist injektiv, weil p die Eins in pM ist. Wir beweisen die Surjektivität. Sei I ∈ I (M) und p die orthogonale Projektion auf K := \overline{span}IH. Zeigen: p ∈ I ∩ Z(M) und I = pM:

• p ∈ M′′∩ M′= Z(M) weil MK = \overline{span}MIH = K = \overline{span}M′IH = M′K (Lemma 4.16);

• Sei (u_{ν})_{ν} eine beschränkte approx. Eins von I (Theorem 2.35). Dann ist lim_{ν}u_{ν}aξ = aξ für alle a ∈ I, ξ ∈ H und u_{ν}η = 0 für alle η ∈ K^{⊥}, also konvergiert (u_{ν})_{ν} in L(H) stark gegen p. Aber I ist schwach abgeschlossen ⇒ p ∈ I und pa = a für alle a ∈ I.

4.3 Das Präduale einer von-Neumann-Algebra

Sei H wie zuvor ein Hilbertraum und sei M ⊆ L(H) eine von-Neumann-Algebra.

Definition 4.17. Das Präduale von M ist der Unterraum M_{∗} := {ω ∈ M^{∗} | ω ist σschwach stetig} ⊆ M^{∗}.

Wir bestimmen beschreiben die Funktionale in M_{∗} genauer.

Lemma 4.18. i) Für jedes ξ,η ∈ H ist das Funktional ω_{η,ξ}: M → ℂ, x ↦ ⟨η|xξ⟩, ist schwach stetig und ∥ω_{η,ξ}∥ = ∥η∥∥ξ∥.

ii) Für jedes ξ,η inH ist der Operator t_{η,ξ}: H → H, ζ ↦ η⟨ξ|ζ⟩, ist kompakt und ∥t_{ξ,η}∥ = ∥η∥∥ξ∥.

iii) Für alle η,η′,ξ,ξ′∈ H ist ω_{η,ξ}(t_{η′,ξ′}) = ⟨η|η′⟩⟨ξ′|ξ⟩ = ω_{ξ′,η′}(t_{ξ,η}).

Beweis. Klar: ω_{η,ξ} schwach stetig, t_{ξ,η} kompakt, Gleichung iii), ∥ω_{η,ξ}∥,∥t_{ξ,η}∥ ≤ ∥η∥∥ξ∥. Gleichheit gilt, weil ∥η∥^{2}∥ξ∥^{2} = ⟨η|η⟩⟨ξ|ξ⟩ = ω_{η,ξ}(t_{η,ξ}) ≤ ∥ω_{η,ξ}∥∥t_{η,ξ}∥.

Satz 4.19. i) Für jedes ω ∈ M^{∗} sind äquivalent:

(a) ω = ∑ _{i=1}^{n} ω_{η_{i},ξ_{i}} für gewisse η_{i},ξ_{i} ∈ H (i = 1,...,n);

(b) ω ist schwach stetig;

(c) ω ist stark stetig. ii) Für jedes ω ∈ M^{∗} sind äquivalent:

(a) ω = ∑ _{n=1}^{∞} ω_{η_{n},ξ_{n}} für gewisse (η_{n})_{n},(ξ_{n})_{n} ∈ H^{ℕ} ;

(b) ω ist σ-schwach stetig;

(c) ω ist σ-stark stetig. Beweis. i) (a) ⇒ (b) ⇒ (c): klar.

(c) ⇒ (a): Nach Annahme existieren ξ_{1},...,ξ_{n} ∈ H und δ > 0 so, dass

∥xξ_{i}∥ < δ für i = 1,...,n ⇒ |ω(x)| < 1  (4)

für alle x ∈ M. Insbesondere gilt

xξ_{i} = 0 für i = 1,...,n ⇒ |ω(λx)| < 1 für alle λ ⇒ ω(x) = 0.  (5)

Definiere Φ: M → H^{⊕n} durch x ↦ (xξ_{1},...,xξ_{n}). (5) ⇒ ω faktorisiert über Φ:

\xymatrix{M \ar[rr]^{ω} \ar[dr]_{Φ} &  & ℂ. \\  & Φ(M) \ar@{-->}[ur]_{∃!ψ}}

Satz von Riesz ⇒ Es gibt η_{1},...,η_{n} ∈ H mit ψ(ζ_{1},...,ζ_{n}) = ∑ _{i=1}^{n} ⟨η_{i}|ζ_{i}⟩. ⇒ ω(x) = ψ(Φ(x)) = ∑ _{i=1}^{n} ⟨η_{i}|xξ_{i}⟩ für alle x ∈ M, also ω = ∑ _{i=1}^{n} ω_{η_{i},ξ_{i}}. ii) Ähnlich wie i) mit H^{ℕ} statt H^{⊕n}. Satz 4.20. i) Es gibt eine wohldefinierte Abbildung j: L(H)_{∗} → K (H) mit ∑ _{n=1}^{∞} ω_{η_{n},ξ_{n}} ↦

∑ _{n=1}^{∞} t_{ξ_{n},η_{n}} für alle (η_{n})_{n},(ξ_{n})_{n} ∈ H^{ℕ} . ii) Für jedes schwach stetige Funktional ω auf L(H) existeren endliche ONSe (ξ_{n})_{n},(η_{n})_{n}

und (λ_{n})_{n} in ℂ mit ω = ∑_{n}λ_{n}ω_{η_{n},ξ_{n}} und ∥ω∥ = ∑_{n}|λ_{n}|. iii) L(H)_{∗} = \overline{span}\{ω_{η,ξ} | η,ξ ∈ H\}.

Beweis-Skizze: i) j ist wohldefiniert weil für alle (η_{n})_{n},(ξ_{n})_{n} nach Cauchy-Schwarz gilt

∑_{n=1}^{∞} ∥t_{ξ_{n},η_{n}}∥ ≤ ∑_{n=1}^{∞} ∥ξ_{n}∥∥η_{n}∥ ≤ ∥(ξ_{n})_{n}∥∥(η_{n})_{n}∥,

und weil für alle η′,ξ′∈ H nach Lemma 4.18 iii) gilt

ω_{ξ′,η′}( ∑_{n} t_{ξ_{n},η_{n}}) = ( ∑_{n} ω_{η_{n},ξ_{n}}) (t_{η′,ξ′}).

ii) Sei ω = ∑ _{n=1}^{k} ω_{η_{n},ξ_{n}}, betrachten j(ω)|: span_{n}ξ_{n} → span_{n}η_{n}.

• LA liefert Polarzerlegung j(ω)| = ud mit partieller Isometrie u und diagonalisierbarem Operator d = ∑_{m}λ_{m}t_{ζ_{m},ζ_{m}} für gewisse λ_{m} und ein ONS (ζ_{m})_{m}.

• ⇒ j(ω) = ∑_{m}λ_{m}t_{uζ_{m},ζ_{m}} ⟹^{i)} ω = ∑_{m}λ_{m}ω_{ζ_{m},uζ_{m}}.

• Klar: ∥ω∥ ≤ ∑_{m}|λ_{m}|∥ω_{ζ_{m},u_{ζm}}∥ = ∑_{m}|λ_{m}|.

Umgekehrt: v:= ∑_{m}t_{uζ_{m},ζ_{m}} ist Isometrie \overline{span}_{m}ζ_{m}→ \overline{span}_{m}u_{ζ_{m}}, hat also Norm 1, und Nachrechnen liefert ω(v) = ∑_{m}|λ_{m}|.

iii) Sei ω ∈ \overline{span}\{ω_{η,ξ} | η,ξ ∈ H\}.

• Wähle ω^{1},ω^{2},... ∈ span{ω_{η,ξ} | η,ξ ∈ H} mit ∥ω − ∑ _{i=1}^{l} ω^{i}∥ < 2^{−l} für alle l; beachte: dann ist ∥ω^{l}∥ ≤ 2^{1−l} für alle l > 1.

• Schreibe ω^{l} = ∑ _{n=1}^{k_{l}} λ_{n}^{l}ω_{η_{n}^{l},ξ_{n}^{l}} wie in ii) ⇒ ∑_{l}∑_{n}|λ_{n}^{l}| = ∑_{l}∥ω^{l}∥ < ∞ und

ω = ∑_{l=1}^{∞} ω^{l} = ∑_{l=1}^{∞} ∑_{n} λ_{n}^{l}ω_{η_{n}^{l},ξ_{n}^{l}} ∈ L(H)_{∗} nach Satz 4.19 ii).

Bemerkung 4.21. i) Unter Verwendung des Spektralsatzes für kompakte Operatoren (s. z.B. Conway, §II.7) kann ii) auf σ-schwach stetige Funktionale ausgedehnt werden.

ii) L^{1}(H) := j(L(H)_{∗}) ⊆ L(H) ist die Menge der Spurklasse-Operatoren und ein nicht-abgeschlossenes Ideal. Die Abbildung T r: L^{1}(H) → ℂ, x ↦ (j^{−1} (x))(Id_{H}), heißt Spur und erfüllt T r(xy) = T r(yx) für alle x ∈ L^{1}(H), y ∈ L(H).

Ende der Vorlesung vom 10.12.

Wie zuvor sei H ein Hilbertraum und M ⊆ L(H) eine von-Neumann-Algebra. Der Raum M_{∗} ⊆ M^{∗} heißt “Präduales” von M, weil M (bis auf Iso.) der Dualraum von M_{∗} ist:

Theorem 4.22. Die Abbildung ι_{M}: M → (M_{∗})^{∗}, definiert durch

ι_{M}(x)(ω) = ω(x) für alle ω ∈ M_{∗}, x ∈ M,

ist ein isometrischer Isomorphismus und ein Homöomorphismus bezüglich der σ-schwachen Topologie auf M und der schwach-∗-Topologie auf (M_{∗})^{∗}.

Beweis. Isometrie: Für jedes x ∈ M gilt:

• ∥ι_{M}(x)∥ ≤ ∥x∥ weil |ι_{M}(x)(ω)| = |ω(x)| ≤ ∥x∥∥ω∥ für alle ω ∈ M_{∗};

• ∥ι_{M}(x)∥ ≥ sup_{η,ξ∈H\\{0\}} \underbrace{|ι_{M}(x)(ω_{η,ξ})|}_{= |⟨η|xξ⟩|}/(∥η∥∥ξ∥) = ∥x∥.

Surjektivität: Sei ϕ ∈ (M_{∗})^{∗}.

• Für jedes η ∈ H die Abbildung t_{η}: H → ℂ, ξ ↦ ϕ(ω_{η,ξ}), stetig und von Norm kleiner gleich ∥ϕ∥∥η∥, weil ∥t_{η}(ξ)∥ ≤ ∥ϕ∥∥ω_{η,ξ}∥ = ∥ϕ∥∥η∥∥ξ∥ für alle η ∈ H.

• Satz von Riesz ⇒ es existiert genau ein T (η) ∈ H mit ⟨T (η)|ξ⟩ = ϕ(ω_{η,ξ}) für alle ξ ∈ H und ∥T (η)∥ ≤ ∥ϕ∥∥η∥.

• Die Abbildung T : H → H, η ↦ T (η), ist offenbar linear und ∥T ∥ ≤ ∥ϕ∥. Weiter gilt ϕ(ω_{η,ξ}) = ⟨T η|ξ⟩ für alle η,ξ ∈ H und nach Satz 4.19 iii) ϕ(ω|_{M}) = ω(T^{∗}) für alle ω ∈ L(H)_{∗}.

• Angenommen, T^{∗} ∉ M. Weil M ⊆ L(H) σ-schwach abgeschlossen ist, gäbe es nach Hahn-Banach ein ω ∈ L(H)_{∗} mit ω|_{M} = 0 und ω(T^{∗}) ≠ 0, Widerspruch zu 0 = ϕ(ω|_{M}) = ω(T^{∗}). Also ist T^{∗} ∈ M.

• Zusammenfassend: ϕ(ω) = ω(T^{∗}) = ι_{M}(T^{∗})(ω) für alle ω ∈ M_{∗}.

Homöomorphismus: Tautologisch, weil die σ-schwache Topologie auf M und die schwach- ∗-Topologie auf (M_{∗})^{∗} jeweils durch die natürliche Paarung mit M_{∗} erzeugt werden (d.h. jeweils die schwächsten sind, welche die Paarung mit jedem Funktional aus M_{∗} stetig macht.)

Bemerkung 4.23. Bekannt: l^{∞} (ℕ) ≅ l^{1}(ℕ)^{∗} und l^{1}(ℕ) ≅ c_{0}(ℕ)^{∗}, wobei c_{0}(ℕ) der Banachraum der Nullfolgen sei. Analog: L(H) ≅ (L(H)_{∗})^{∗} ≅ L^{1}(H)^{∗} (obiges Theorem), und die natürliche Abbildung L^{1}(H) ≅ L(H)_{∗} → K (H)^{∗} ein Isomorphismus (s. z.B. Murphy, §4.2).

Das Theorem ist der Schlüssel zur abstrakten Charakterisierung von von-Neumann-Algebren:

Bemerkung 4.24. i) Eine W^{∗}-Algebra ist eine C^{∗}-Algebra A, für die ein Banachraum A_{∗} und ein isometrischer Isomorphismus von Banachräumen A ≅ (A_{∗})^{∗} existiert. Dieser Raum A_{∗} und der Isomorphismus A ≅ (A_{∗})^{∗} sind dannn im Wesentlichen eindeutig (nichttrivial!).

ii) Theorem 4.22 ⇒ Jede von-Neumann-Algebra ist eine W^{∗}-Algebra.

iii) Umgekehrt besitzt jede W^{∗}-Algebra A eine treue Darstellung π: A → L(H), die stetig ist bezüglich der schwach-∗-Topologien, man kann z.B. π als direkte Summe der GNS-Darstellungen zu allen Zuständen in S(A) ∩ A_{∗} wählen.

iv) Für jede C^{∗}-Algebra A ist der Banachraum A^{∗∗} in natürlicher Weise eine W^{∗}- Algebra. Wir skizzieren dies ohne Beweise: Ist π: A → L(H) die universelle GNS-Darstellung von A, so schränkt sich π^{∗}: L(H)^{∗} → A^{∗} zu einer Surjektion L(H)_{∗} → A^{∗} ein, die eine Einbettung π^{∗∗}: A^{∗∗} → (L(H)_{∗})^{∗} ≅ L(H) und damit die C^{∗}-Algebra-Struktur auf A^{∗∗} liefert. Es gilt π^{∗∗}(A^{∗∗}) = π(A)′′.

Die besondere Rolle der σ-schwachen Topologie motiviert folgende Definition:

Definition 4.25. Ein ∗-Homomorphismus zwischen von-Neumann-Algebren heißt normal, wenn er stetig ist bezüglich der jeweiligen σ-schwachen Topologien. Ein Isomomorphismus von von-Neumann-Algebren ist ein normaler ∗-Isomorphismus.

Beispiele 4.26. i) Der ∗-Homomorphismus diag: M → L(H^{ℕ} ), x ↦ diag(x), ist normal (ÜA) und heißt Amplifikation.

ii) Ist K ⊆ H ein invarianter Unterraum, so ist der ∗-Homomorphismus M → L(K), x ↦ x|_{K}, normal (ÜA) und heißt Reduktion.

iii) Ist K ein Hilbertraum und U: H → K unitär, so ist der ∗-Homomorphismus Ad_{U}: M → L(K), x ↦ UxU^{∗}, normal (ÜA) und heißt unitäre Transformation.

Bemerkung 4.27. Mit etwas Aufwand kann man zeigen: Jeder normale ∗-Homomorphismus kann als eine Komposition einer (leicht verallgemeinerten) Amplifikation, Reduktion und unitären Transformation (in dieser Reihenfolge) geschrieben werden.

Satz 4.28. Jeder normale ∗-Isomorphismus von von-Neumann-Algebren ist ein Homöomorphismus bezüglich der σ-schwachen Topologien.

Beweis. Sei π: M → N ein normaler ∗-Isomorphismus von von-Neumann-Algebren. Es genügt zu zeigen: π^{∗}: N_{∗} → M_{∗}, ω ↦ ω ∘ π, ist bijektiv (ÜA). Weil π isometrisch, ist auch π^{∗} isometrisch, insbesondere injektiv. ⇒ π^{∗}(N_{∗}) ⊆ M_{∗} ist vollständig, also ein abgeschlossener Unterraum. ⇒ wäre π^{∗}(N_{∗}) ≠ M_{∗}, so gäbe es nach Hahn-Banach ein x ∈ (M_{∗})^{∗} = M mit x ≠ 0 und 0 = π^{∗}(ω)(x) = ω(π(x)) für alle ω ∈ N_{∗}, im Widerspruch zu π(x) ≠ 0.

4.4 Anwendung der Spektraltheorie auf von-Neumann-Algebren

Ziele:

• Für jede kommutative von-Neumann-Algebra M auf einem separablen Hilbertraum H existiert ein Maßraum (X,μ) mit M ≅ L^{∞} (X,μ).

• Borel-Funktionalkalkül für normale Elemente x einer von-Neumann-Algebra M:

\xymatrix{C(σ(x)) \ar@{^{(}->}[d] \ar[r]^{stetiger Fkt.-Kalkül} & ⟨x,1_{M}⟩_{C^{∗}} \ar@{^{(}->}[d] \\ B(σ(x)) \ar[r]_{Borel-Fkt.-Kalkül} & ⟨x,1_{M}⟩_{vN}}

Grundlagen aus der Maßtheorie Wir beschränken uns auf kompakte Räume; Ergebnisse übertragen sich auf lokal- und σ-kompakte Hausdorff-Räume. Referenz:

[P] G. Pedersen, Analysis Now!, Springer, 1988; Kapitel 6. Sei X ein kompakter Raum und B die Borel-σ-Algebra (=von allen offenen Teilmengen erzeugte σ-Algebra). Ein endliches Maß μ: B → [0,∞) heißt Radon-Maß, falls

μ(B) = sup{μ(K) | K ⊆ B kompakt} für jedes B ∈ B (innere Regularität). Dann gilt

μ(B) = inf{μ(O) | B ⊆ O offen} für jedes B ∈ B (äußere Regularität).

Ende der Vorlesung vom 16.12.

und (M1) L^{∞} (X,μ) ≅ L^{1}(X,μ)^{∗} [P, Satz 6.5.11]; (M2) C(X) ⊂ L^{∞} (X,μ) schwach-∗-dicht [P, Bemerkung 6.5.12]; (M3) C(X) ⊂ L^{p}(X,μ) norm-dicht für 1 ≤ p < ∞ [P, Satz 6.4.11]; (M4) Für jedes stetige positive Funktional ϕ ∈ C(X)_{+}^{∗} existiert genau ein Radon-Maß ν

mit ϕ(f) = ∫_{X}fdν für alle f ∈ C(X) (Satz von Riesz) [P, Satz 6.3.4]; Von Maßräumen zu kommutativen von-Neumann-Algebren

Satz 4.29. Sei X ein kompakter Raum mit Radon-Maß μ und sei m: L^{∞} (X,μ) → L(L^{2}(X,μ)) definiert durch (m(f)ξ)(x) := f(x)ξ(x) für alle ξ ∈ L^{2}(X,μ), x ∈ X,f ∈ L^{∞} (X,μ).

i) m: L^{∞} (X,μ) → m(L^{∞} (X,μ)) ist ein ∗-Isomorphismus und ein Homöomorphismus bezüglich der schwach-∗-Topologien auf L^{∞} (X,μ) und der σ-schwachen Topologie auf L(L^{2}(X,μ)).

ii) m(L^{∞} (X,μ)) ist eine von-Neumann-Algebra und gleich m(C(X))′′.

iii) m(L^{∞} (X,μ))_{∗} ist isometrisch isomorph zu L^{1}(X,μ) ⊆ L^{∞} (X,μ)^{∗} via ω ↦ ω ∘ m.

Beweis. i) ∗-Isomorphismus: einfach. Homöomorphismus: Es genügt, Gleichheit der folgenden Unterräume von L^{∞} (X,μ)^{∗} zu zeigen:

{ω ∘ m | ω ∈ L(L^{2}(X,μ))_{∗}} und L^{1}(X,μ).

“⊆”: Sei ω ∈ L(L^{2}(X,μ))_{∗}. Dann gibt es Folgen (ξ_{n})_{n},(η_{n})_{n} ∈ L^{2}(X,μ)^{ℕ} mit

ω(T) = ∑_{n} ⟨η_{n}|T ξ_{n}⟩ für alle T ∈ L(L^{2}(X,μ)).

Für jedes n liegt h_{n}:= \overline{η_{n}}ξ_{n}(punktweise Multipl.) in L^{1}(X,μ), und ∑_{n}∥h_{n}∥ ≤ ∑_{n}∥η_{n}∥∥ξ_{n}∥ < ∞. Setze h:= ∑_{n}h_{n} ∈ L^{1}(X,μ). Dann ist ω ∘ m ≡ h weil

ω(m(f)) = ∑_{n} ∫_{X} \underbrace{\overline{η_{n}}fξ_{n}}_{=fh_{n}}dμ = ∫_{X}fhdμ für alle f ∈ L^{∞} (X,μ).

“⊇”: Sei h ∈ L^{1}(X,μ). Wähle η,ξ ∈ L^{2}(X,μ) mit \overline{η}ξ = h (punktweise Multipl.). Dann ist h = ⟨η| · ξ⟩ ∘ m weil ∫_{X}fhdμ = ⟨η|m(f)ξ⟩ für alle f ∈ L^{∞} (X,μ). ii) i) und (M2) liefern m(L^{∞} (X,μ)) = \overline{m(C(X))}^{σ-schwach} = m(C(X))′′. iii) Folgt aus i).

In der obigen Situation identifizieren wir L^{∞} (X,μ) mit der von-Neumann-Algebra m(L^{∞} (X,μ)) via m.

Von kommutativen von-Neumann-Algebren zu Maßräumen

Theorem 4.30. Sei X ein kompakter Raum und π: C(X) → L(H) eine Darstellung.

i) Wenn ein zyklischer Vektor ζ für π existiert, dann existieren ein Radon-Maß μ auf X und ein Unitäres U: L^{2}(X,μ) → H mit ζ = U1_{X} und π(f) = U(m(f))U^{∗} für alle f ∈ C(X) sowie Um(L^{∞} (X,μ))U^{∗} = π(C(X))′′. ii) Wenn H separabel und π nichtdegeneriert ist, dann existieren ein Radon-Maß μ

auf X und ein Isomorphismus von von-Neumann-Algebren \overline{π}: L^{∞} (X,μ) → π(C(X))′′⊆ L(H), der das folgende Diagramm kommutativ macht:

\xymatrix{C(X) \ar[rr]^{π} \ar[dr] &  & L(H). \\  & L^{∞} (X,μ) \ar@{-->}[ur]^{\overline{π}}}

iii) Ist H separabel und M ⊆ L(H) eine kommutative von-Neumann-Algebra, so existieren für jede σ-schwach dichte unitale C^{∗}-Unteralgebra A ⊆ M ein Radon-Maß ν auf dem kompakten Raum Y := Ω(A) und ein Isomorphismus von von-Neumann-Algebren L^{∞} (Y,ν) ≅ M.

Beweis. i) Nach (M4) ex. ein endliches Radon-Maß μ mit

⟨ζ|fζ⟩ = ∫_{X}fdμ = ⟨1_{X}|m(f)1_{X}⟩_{L^{2}(X,μ)} für alle f ∈ C(X).

(M3) ⇒ 1_{X} ∈ L^{2}(X,μ) ist zyklisch für m(C(X)).

\underrightarrow{3.6} es gibt ein Unitäres U mit Um(f)1_{X} = π(f)ζ für alle f ∈ C(X). Satz 4.29 ⇒ Um(L^{∞} (X,μ))U^{∗} = Um(C(X))′′U^{∗} = π(C(X))′′. ii) Setze M := π(C(X))′′. Leicht zu sehen: M ist kommutativ. Schritt 1: Zeigen: es existiert ein separierender Vektor ζ für M. Sei (ζ_{ν})_{ν∈I} eine maximale Familie von Einheitsvektoren in H so, dass die Räume H_{ν} := \overline{span}Mζ_{ν} nicht 0 und paarweise orthogonal sind (vgl. Satz 3.4). Maximalität ⇒: H ≅ ⨁ _{ν}H_{ν}. H separabel ⇒ OBdA I ⊂ ℕ. Setze ζ := ∑_{n∈I} 2^{−n} ζ_{n} ∈ H. Ang., xζ = 0 für ein x ∈ M. Dann xζ_{n} = 0 für alle n und somit xH_{n} = xMζ_{n} = Mxζ_{n} = 0 für alle n, also x = 0. Schritt 2: Bezeichne p die Projektion auf K := \overline{span}π(C(X))ζ = \overline{span}Mζ. Nun ist die Einschränkungsabbildung r: M → L(K), x ↦ x|_{K},

• ein normaler ∗-Homomorphismus nach Beispiel 4.26 ii);

• injektiv, weil ζ ∈ K separierend für M ist;

• also ein Isomorphismus von von-Neumann-Algebren nach Satz 4.28.

Anwendung von i) auf die Darstellung r ∘ π: C(X) → L(K) mit zyklischem Vektor ζ liefert die Behauptung. iii) Wende ii) auf die Darstellung C(Ω(A)) ≅ A ↪ L(H) an.

Bemerkung 4.31. In Aussage iii) kann A separabel und somit Y zweit-abzählbar (insb. metrisierbar) gewählt werden.

Spektraltheorem in von-Neumann-Algebren Für jedes x ∈ L(H) bezeichne ⟨x⟩_{vN}⊆ L(H) die von x erzeugte von-Neumann-Algebra. Offenbar ist {x,x^{∗}}′′= ⟨x⟩_{vN}= (⟨x,Id_{H}⟩_{C^{∗}})′′. Für jeden kompakten Raum X ist die Algebra B(X) der Borel-messbaren beschränkten Funktionen X → ℂ eine C^{∗}-Algebra bezüglich der Supremumsnorm. Für jede Borelmenge A bezeichne χ_{A}die charakteristische Funktion.

Satz 4.32. Sei x ∈ L(H) normal und H separabel.

i) Dann existieren ein Maß μ auf σ(x) und ein ∗-Isomorphismus L^{∞} (σ(X),μ) → ⟨x⟩_{vN} von von-Neumann-Algebren so, dass das folgende Diagramm kommutiert:

\xymatrix{C(σ(x)) \ar@{^{(}->}[d] \ar[r]^{f↦f(x)}_{≅} & ⟨x,Id⟩_{C^{∗}} \ar@{^{(}->}[dd] \\ B(σ(x)) \ar[d] \ar@{-->}[dr] \\ L^{∞} (σ(X),μ) \ar[r]_{≅}^{f↦f(x)} & ⟨x⟩_{vN}.}

                                 Ende der Vorlesung vom 17.12.

ii) Der ∗-Homomorphismus B(σ(x)) → ⟨x⟩_{vN} ist eindeutig durch x bestimmt.

iii) Die Abbildung E: {Borelmengen vonσ(x)} → ⟨x⟩_{vN}, A ↦ χ_{A}(x), erfüllt:

(a) E(∅) = 0, E(σ(x)) = Id_{H};

(b) E(A) ist eine Projektion für jede Borelmenge A;

(c) E(A ∩ B) = E(A)E(B) = E(B)E(A) für alle Borelmengen A,B;

(d) für jedes η ∈ H ist die Abbildung E_{η} := ω_{η,η} ∘ E, A ↦ ⟨η|E(A)η⟩, ein Radon-Maß auf X mit ∥E_{η}∥ ≤ ∥η∥^{2};

(e) für alle f ∈ B(σ(x)) gilt

⟨η|f(x)η⟩ = ∫_{σ(x)}fdE_{η} für alle η ∈ H.  (6)

Beweis. i) Folgt aus Theorem 4.30. iii) (a), (b), (c) gilt weil f ↦ f(x) ein ∗-Homomorphismus ist und χ_{∅} = 0, χ_{σ(x)} = 1, χ_{A} Projektion ist, χ_{A∩B} = χ_{A}χ_{B}. (d), (e) Sei η ∈ H. Nach 4.30 ii) existiert ein h_{η} ∈ L^{1}(σ(X),μ) mit

⟨η|f(x)η⟩ = ∫_{σ(x)}fh_{η}dμ  (7)

für alle f ∈ L^{∞} (σ(x),μ), und für jede Borelmenge A gilt

E_{η}(A) = ⟨η|E(A)η⟩ = ⟨η|χ_{A}(x)η⟩ = ∫_{σ(x)}χ_{A}h_{η}dμ,

also ist E_{η} gleich dem Radon-Maß h_{η}μ. Insbesondere folgt (e) aus (7). ii) Für jedes η ∈ H ist E_{η} als Funktional auf C(σ(x)) eindeutig durch die Gleichung (6) bestimmt und unabhängig von μ; somit ist f(x) durch Gleichung (6) für jedes f ∈ B(σ(x)) unabhängig von μ bestimmt.

Definition 4.33. Eine Spektralschar auf einem kompakten Raum X bzgl. H ist eine Abbildung E: {Borelmengen vonX} → {Projektionen in L(H)}, welche die Bedingungen (a)-(d) aus Satz 4.32 iii) erfüllt.

Theorem 4.34. Sei x ∈ L(H) normal. Dann gibt es genau eine Spektralschar E auf σ(x) bzgl. H und genau einen ∗-Homomorphismus Φ: B(σ(x)) → ⟨x⟩_{vN}, geschrieben f ↦ f(x), so dass Gleichung (6) für alle f ∈ B(X) gilt.

Beweis-Skizze.Eindeutigkeit: wie im Beweis von 4.32 ii). Existenz: Schreibe H = ⨁ _{ν}H_{ν} für eine Familie von ⟨x,Id_{H}⟩_{C^{∗}}-invarianten separablen Unterräumen (H_{ν})_{ν}; wähle z.B. jedes H_{ν} zyklisch (Satz 3.4), dann ist H_{ν} separabel weil ⟨x,Id_{H}⟩_{C^{∗}} ⊆ ⟨x⟩_{vN} separabel. Setze σ:= σ(x). Für jedes ν sei x_{ν} = x|_{H_{ν}} ∈ L(H_{ν}), σ_{ν} := σ(x_{ν}), E^{ν} die Spektralschar für x_{ν} und Φ^{ν}: B(σ_{ν}) → ⟨x_{ν}⟩_{vN} der ∗-Hom. aus Theorem 4.30. Wir identifizieren norm-beschränkte Familien in ∏ _{ν}L(H_{ν}) mit Operatoren auf H und definieren

Φ: B(σ(x)) → L(H), f ↦ (Φ^{ν}(f|_{σ_{ν}}))_{ν},
E: {Borelmengen von σ} → L(H), A ↦ Φ(χ_{A}) = (Φ^{ν}(χ_{A∩σ_{ν}}))_{ν}
= (E^{ν}(A ∩ σ_{ν}))_{ν}.

Offenbar gelten die Bedingungen (a)-(c) aus Satz 4.32 iii). Ist η ≡ (η_{ν})_{ν} ∈ H ≅ ⨁ _{ν}H_{ν}, so ist

⟨η|Φ(f)η⟩ = ∑_{ν} ⟨η_{ν}|Φ^{ν}(f)η_{ν}⟩ = ∑_{ν} ∫_{σ_{ν}} fdE_{η_{ν}}^{ν} für alle f ∈ B(σ)  (8)

und insbesondere

E_{η}(A) = ⟨η|Φ(χ_{A})η⟩ = ∑_{ν} E_{η_{ν}}^{ν}(A ∩ σ_{ν}) für jede Borelmenge A ⊆ σ.

Wegen ∑_{ν}∥E_{η_{ν}}^{ν}∥ ≤ ∑_{ν}∥η_{ν}∥^{2} < ∞ ist E_{η} als absolut-summierbare Reihe von Radon-Maßen selbst ein Radon-Maß. Schließlich folgt aus (8)

⟨η|Φ(f)η⟩ = ∑_{ν} ∫_{σ_{ν}} fdE_{η_{ν}}^{ν} = ∫_{σ} fdE_{η} für alle f ∈ B(σ).  (9)

Wegen Φ(Id_{σ}) = x gilt Φ(C(σ)) ⊆ ⟨x,1⟩_{C^{∗}}und aus (9)folgt (ÜA) Φ(B(σ)) ⊆ ⟨x⟩_{vN}.

Als Folgerung erhalten wir, dass jede von-Neumann-Algebra von ihren Projektionen erzeugt wird. Benutzen: Lemma 4.35. Sei x ∈ L(H) normal und E die zugehörige Spektralschar. Dann ist x ∈ \overline{span}\{E(A) | A ⊆ σ(x) Borelmenge\}. Beweis. Es genügt, Id_{σ(x)} in Norm durch Linearkombinationen von charakteristischen Funktionen von Borelmengen zu approximieren; das ist einfach. Folgerung 4.36. Für jede von-Neumann-Algebra M ⊆ L(H) gilt M = \overline{span}\{p ∈ M Projektion}. Beweis. Folt aus obigem Lemma und M = spanM_{sa}. Lemma 4.37. Sei A eine unitale C^{∗}-Algebra und x ∈ A_{sa}, ∥x∥ ≤ 1. Dann existiert u ∈ A unitär mit x = \frac{1}{2}(u + u^{∗}). Beweis. Setze u:= x + i\sqrt{1 − x^{2}} . Dann u^{∗}u = x^{2}+ (1 − x^{2}) = 1 = uu^{∗}. Folgerung 4.38. Für jede unitale C^{∗}-Algebra A gilt A = span{u ∈ A unitär}. Satz 4.39. Sei x ∈ L(H) mit Polarzerlegung x = u|x|. Dann sind u,|x| ∈ ⟨x⟩_{vN}. Beweis. Klar: |x| = (x^{∗}x)^{1/2} ∈ ⟨x⟩_{C^{∗}} ⊆ ⟨x⟩_{vN}. Zeigen: u ∈ ⟨x⟩_{vN}. Folgerung 4.38 angewendet auf ⟨x⟩′_{vN}⇒ hinreichend: für jedes unitäre v ∈ ⟨x⟩′_{vN}ist uv = vu. Aber: |vx| = |x| und vu|x| = u|x|v = uv|x| und Eindeutigkeit der Polarzerlegung für vx ⇒ uv = vu.

Ende der Vorlesung vom 13.1.

4.5 Vergleich von Projektionen und Typen von Faktoren

Zur Erinnerung: Eine von-Neumann-Algebra M ist ein Faktor genau dann, wenn

• ihr Zentrum Z(M) trivial ist: Z(M) = ℂ1_{M}; oder äquivalent nach Theorem 4.15:

• sie keine nichttrivialen schwach abgeschlossenen zweiseitigen Ideale enthält. In der Einführung zu §4 wurde skizziert, dass jede von-Neumann-Algebra als direktes Integral von Faktoren geschrieben werden kann. Wir besprechen nun die Einteilung von Faktoren in drei verschiedene Typen nach Murray und von Neumann. Sei H ein Hilbertraum, M ⊆ L(H) eine von-Neumann-Algebra und

P (M) := {Projektionen in M}.

Lemma 4.40. Für alle p,q ∈ P (M) gilt: p ≤ q ⇔ pH ⊆ qH.

Beweis. “⇒”: Für alle ξ ∈ pH gilt nach Satz 2.25: 0 ≤ ⟨ξ|(q−p)ξ⟩ = ⟨ξ|qξ⟩−⟨ξ|pξ⟩≤ ∥ξ∥(∥qξ∥ − ∥ξ∥) ≤ 0, also ∥qξ∥ = ∥ξ∥ und somit ξ = qξ ∈ qH. “⇐”: Offenbar ist q − p die Projektion auf qH ∩ pH^{⊥} und somit positiv.

Wir führen nun auf P (M) eine Äquivalenzrelation ein, die partielle Isometrien benutzt.

Lemma. Für jedes v ∈ L(H) sind die folgenden Aussagen äquivalent:

i) v^{∗}v ist eine Projektion.

ii) vv^{∗} ist eine Projektion.

iii) v = vv^{∗}v.

Beweis. i) ⇔ ii): Ein selbstadjungierter Operator x ist eine Projektion genau dann, wenn σ(x) ⊆ {0,1}, und nach ÜA 4 von Blatt 1 ist σ(vv^{∗}) ∪ {0} = σ(v^{∗}v) ∪ {0}.

i) ⇒ iii): Ist v = u|v| die Polarzerlegung, so gilt |v| = (v^{∗}v)^{1/2} = (v^{∗}v)^{3/2} und somit v = u|v| = u|v|v^{∗}v = vv^{∗}v. iii) ⇒ i): v^{∗}v = v^{∗}(vv^{∗}v) = (v^{∗}v)^{2}.

Definition 4.41. Ein v ∈ L(H) heißt partielle Isometrie, falls es die obigen Bedingungen erfüllt. Zwei Projektionen p,q ∈ P (M) heißen (Murray-von-Neumann)-äquivalent, geschrieben p ∼ q, falls p = vv^{∗} und q = v^{∗}v für ein v ∈ M; in dem Fall schreiben wir p ∼^{v} q.

Bemerkung 4.42. Ist p ∼^{v} q, so ist nach obigem Lemma v eine partielle Isometrie und v = vv^{∗}v = pv = vq.

Satz 4.43. i) ∼ ist eine Äquivalenzrelation auf P (M).

ii) Sind (p_{ν})_{ν}, (q_{ν})_{ν} Familien paarweise orthogonaler Projektionen in M und p_{ν} ∼^{v_{ν}}

q_{ν} für alle ν, so ist ∑_{ν}p_{ν} ∑_{ν}v_{ν} ; ∼ ∑_{ν}q_{ν} (Summen konvergieren bzgl. starker Op.- Topologie).

Beweis. i) Transitivität: p_{1} ∼^{v_{1}} p_{2} ∼^{v_{2}} p_{3} ⇒ p_{1} ∼^{v_{1}v_{2}}p_{3}; Symmetrie: p ∼^{v} q ⇒ q ∼^{v^{∗}} p; Refle-

xivität: p ∼^{p} p.

ii) Klar.

Nun führen wir auf P (M)/_{∼} eine Ordnungsrelation ein:

Definition 4.44. Für p,q ∈ P (M) schreiben wir p ⪯^{(v)}q, falls p ∼^{(v)}q_{0} ≤ q für ein q_{0} ∈ P (M) (und v ∈ M).

Satz 4.45. ⪯ induziert eine Ordnung auf den Äquivalenzklassen P (M)/_{∼}. Beweis. ⪯ ist transitiv: p_{1} ⪯^{v_{1}} p_{2} ⪯^{v_{2}} p_{3} ⇒ p_{1} ⪯^{v_{1}v_{2}}p_{3}. Bleibt zu zeigen: p ⪯ q, p ⪰ q ⇒ p ∼ q. Sei also p ∼^{u} q_{1} ≤ q und q ∼^{v} p_{1} ≤ p. Setze w:= (uv)^{∗} und

p_{0} := p, p_{2n}:= w^{n}w^{∗n}, p_{2n+1} := w^{n}p_{1}w^{∗n}, (n ≥ 1).

Klar: p_{n} ≥ p_{n+1} für alle n. Setze p_{∞} := ⋀ _{n}p_{n}. Dann gilt:

p_{0}_{≀} ^{=} p_{∞}_{||} ^{+} (p_{0}− p_{1}) ^{+}_{≀}  (p_{1}− p_{2})_{||}  ^{+} (p_{2}− p_{3}) ^{+}_{≀}  (p_{3}− p_{4})^{+}_{||}  ···, p_{1} _{=} p_{∞} _{+} (p_{2}− p_{3}) _{+} (p_{1}− p_{2}) _{+} (p_{4}− p_{5}) _{+} (p_{3}− p_{4})_{+} ···.

Wichtiges Ergebnis: Theorem 4.46 (Vergleichbarkeitssatz). Ist M ein Faktor und p,q ∈ P (M), so gilt p ⪯ q oder q ⪯ p, d.h. P (M)/_{∼} ist durch ⪯ total/linear geordnet. Zum Beweis benutzen wir: Lemma 4.47. Für alle p,q ∈ P (M) sind die folgenden Aussagen äquivalent:

i) pMq ≠ 0.

ii) q ≥ q_{1} ∼ p_{1} ≤ p für gewisse p_{1},q_{1} ∈ P (M) \ {0}. Beweis. ii) ⇒ i): Falls q ≥ q_{1} ∼^{v} p_{1} ≤ p für gewisse p_{1},q_{1},v ≠ 0, so ist v = pvq ∈ pMq.

i) ⇒ ii): Falls x ∈ pMq\{0} mit Polarzerlegung x = u|x|, so ist u ∈ M partielle Isometrie

(Satz 4.39) und p ≥ uu^{∗} ∼^{u} u^{∗}u ≤ q.

Beweis von Theorem 4.46. Sei ((p_{ν},v_{ν},q_{ν}))_{ν} eine maximale Familie so, dass (p_{ν})_{ν} und (q_{ν})_{ν} jeweils paarweise orthogonal Projektionen sind und p ≥ p_{ν} ∼^{v_{ν}} q_{ν} ≤ q für alle ν. Setze p′:= p − ∑_{ν}p_{ν} und q′:= q − ∑_{ν}q_{ν}. Maximalität ⇒ es gibt keine p_{0},q_{0} ∈ P (M) \ {0} mit p′≥ p_{0} ∼ q_{0} ≤ q′ \underrightarrow{4.47} p′Mq′= 0 ⇒ (p′) := \overline{span}^{w}Mp′M und (q′) := \overline{span}^{w}Mq′M erfüllen (p′)(q′) = 0 M Faktor \underrightarrow{4.15} (q′) = 0 oder (p′) = 0 ⇒ q′= 0 oder p′= 0

⇒ p = ∑_{ν}p_{ν} ∑_{ν}v_{ν} ; ∼ ∑_{ν}q_{ν} ≤ q oder analog q ⪯ p.

Wir klassifizieren nun die Ordnungsstruktur auf P (M)/_{∼}: Definition 4.48. Ein p ∈ P (M) \ {0} heißt • minimal, wenn es in P (M) \ {0} minimal bzgl. ≤ ist;

• endlich/unendlich :⇔ es gibt kein/ein q ∈ P (M) mit q < p und q ∼ p;

• rein unendlich :⇔ es gibt keine endliche Projektion q mit 0 ≠ q ≤ p. Beachte: Jede minimale Projektion ist endlich. Definition 4.49. Ein Faktor M heißt

• von Typ I :⇔ M enthält eine nichttriv. minimale Projektion;

• von Typ II :⇔ M enthält keine nichttriv. minimale Projektion, aber eine endliche Projektion;

• von Typ III :⇔ M enthält keine endliche Projektion. Der folgende schwierige Hauptsatz über Faktoren klassifiziert die Ordnungsstruktur auf P (M)/_{∼}: Theorem 4.50. Sei M ein Faktor.

i) Es gibt eine Abbildung d: P (M) → [0,∞] (Dimensionsfunktion), die folgende Bedingungen erfüllt:

(a) p ∼ q ⇔ d(p) = d(q) für alle p,q ∈ P (M);

(b) d(p) ≠ 0 für alle p ≠ 0;

(c) d(∑_{ν}p_{ν}) = ∑_{ν}d(p_{ν}) für jede Familie paarweise orthog. Projektionen (p_{ν})_{ν}.

(d) p ist endlich ⇒ d(p) < ∞. d ist bis auf positive Vielfache eindeutig durch (a)-(d) bestimmt.

ii) Bis auf Skalierung von d gilt: (a) M ist Typ I ⇔ d(P (M)) = {0,1,...,α} für ein α ∈ ℕ ∪ {∞};

(b) M ist Typ II ⇔ d(P (M)) = [0,α] für ein α ∈ {1,∞};

(c) M ist Typ III ⇔ d(P (M)) = {0,∞}. iii) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) 1_{M} ist endlich.

(b) Jede Projektion in M ist endlich.

(c) Es existiert ein Zustand τ auf M, der eine Spur (d.h. τ(xy) = τ(yx) für alle x,y ∈ M) und treu (d.h. τ(x^{∗}x) > 0 falls x ≠ 0) ist.

(d) Es existiert genau ein Zustand τ auf M mit obigen Eigenschaften. Gelten diese Aussagen, so ist d := τ|_{P (M)}eine Dimensionsfunktion.

Bemerkung 4.51. In der Übung wird gezeigt: Jeder Faktor vom Typ I ist isomorph zu L(K) für einen Hilbertraum K.

5 Gruppenalgebren und verschränkte Produkte

Wir ordnen jeder Gruppe und jeder Gruppenwirkung auf einem Raum drei Operatoralgebren zu:

• eine universelle C^{∗}-Algebra mit guten funktoriellen Eigenschaften,

• eine reduzierte C^{∗}-Algebra als Bild der universellen C^{∗}-Algebra unter einer regulären Darstellung, die leichter zu studieren ist,

• eine von-Neumann-Algebra als Abschluss der reduzierten C^{∗}-Algebra. Nutzen der Zuordnungen:

• interessante Beispiele von Operatoralgebren, insbesondere von Faktoren der verschiedenen Typen;

• interessantes Wechselspiel zwischen Operatoralgebren und dynamischen Systemen;

• Invarianten für die Operatoralgebren (z.B. K-Theorie) liefern Invarianten für – Gruppen (Stichwort Baum-Connes-Vermutung),

– Gruppenwirkungen und ermöglichen z.T. Klassifikation (z.B. von Homöo-

morphismen der Cantormenge).

Zur Vereinfachung beschränken wir uns auf diskrete Gruppen.

5.1 Gruppenalgebren

Sei G eine diskrete Gruppe. Lemma 5.1. Der freie Vektorraum ℂG (mit Basis G) ist eine ∗-Algebra und die Vervollständigung l^{1}(G) ist eine Banach-∗-Algebra bezüglich der Operationen

∑_{x∈G}a_{x}x · ∑_{y∈G}b_{y}y = ∑_{x,y∈G}\underbrace{a_{x}xb_{y}y}_{=a_{x}b_{y}xy}= ∑_{z∈G} ∑_{xy=z}a_{x}b_{y}z,

( ∑_{x∈G}a_{x}x)^{∗} = ∑_{x∈G}(a_{x}x)^{∗} = ∑_{x∈G} \overline{a_{x}}x^{−1} = ∑_{x∈G} \overline{a_{x^{−1}}}x.

Beweis. Übungsaufgabe.

Definition 5.2. Eine Darstellung von G in einer unitalen C^{∗}-Algebra A ist ein Homomorphismus von G in die Gruppe der unitären Elemente von A.

Für jeden Hilbertraum H gilt also:

{unitäre Darstellungen von G aufH} = {Darstellungen von G inL(H)}.

Wir konstruieren eine universelle Darstellung von G in einer unitalen C^{∗}-Algebra, die eine Vervollständigung von l^{1}(G) und ℂG ist: für jedes f ∈ l^{1}(G) sei ∥f∥_{1} die l^{1}-Norm von f und

∥f∥_{u}:= sup{∥π(f)∥ | A unitale C^{∗}-Algebra,
π: l^{1}(G) → A unitaler ∗-Homomorphismus}.

Lemma 5.3. i) ∥ · ∥_{u} ist eine Norm auf l^{1}(G) und erfüllt für alle f,g ∈ l^{1}(G):

∥f∥_{u} ≤ ∥f∥_{1}, ∥fg∥_{u} ≤ ∥f∥_{u}∥g∥_{u}, ∥f^{∗}∥_{u} = ∥f∥_{u}, ∥f^{∗}f∥_{u} = ∥f∥_{u}^{2}.

ii) Bezeichne (C^{∗}(G),∥ · ∥_{u}) die Vervollständigung von (l^{1}(G),∥ · ∥_{u}). Dann setzen sich die Multiplikation und Involution von l^{1}(G) auf C^{∗}(G) stetig fort und versehen C^{∗}(G) mit der Struktur einer C^{∗}-Algebra, sodass die kanonische Abbildung l^{1}(G) → C^{∗}(G) ein ∗-Homomorphismus wird.

iii) Jeder unitale ∗-Homomorphismus π von l^{1}(G) in eine unitale C^{∗}-Algebra A faktorisiert über C^{∗}(G):

\xymatrix{l^{1}(G) \ar[rr]^{π} \ar@{-->}[dr] &  & A. \\  & C^{∗}(G) \ar@{-->}[ur]}

iv) Jede Darstellung π von G in einer unitalen C^{∗}-Algebra A faktorisiert über l^{1}(G) und C^{∗}(G):

\xymatrix{G \ar[r]^{π} \ar[d] & A. \\ l^{1}(G) \ar[r] & C^{∗}(G) \ar@{-->}[u]}

Beweis. i) Folgt daraus, dass für jeden unitalen ∗-Homomorphismus π von l^{1}(G) in eine unitale C^{∗}-Algebra A gilt: i) für jedes x ∈ G ist π(x) unitär, also von Norm 1, und somit ∥π(f)∥ ≤ ∑_{x}∥f(x)π(x)∥ =

∑_{x}|f(x)| = ∥f∥_{1};

ii) ∥π(fg)∥ ≤ ∥π(f)∥∥π(g)∥, ∥π(f^{∗})∥ = ∥π(f)∥, ∥π(f^{∗}f)∥ = ∥π(f)∥^{2}.

ii), iii) Folgt direkt aus i). iv) Ist π eine Darstellung von G in A, so faktorisiert π über l^{1}(G) nach dem Argument (a) in i) und über C^{∗}(G) nach iii).

Definition 5.4. C^{∗}(G) heißt die volle/universelle C^{∗}-Algebra von G.

Aus den universellen Eigenschaften von C^{∗}(G) folgt:

Satz 5.5. i) Ist ϕ: H → G ein Homomorphismus diskreter Gruppen, so existiert genau ein ∗-Homomorphismus Φ: C^{∗}(H) → C^{∗}(G), der folgendes Diagramm kommutativ macht:

\xymatrix{H \ar[d] \ar[r]^{ϕ} & G \ar[d] \\ C^{∗}(H) \ar@{-->}[r] & C^{∗}(G).}

ii) Es gibt eine Bijektion

{nichtdegenerierte Darstellungen von C^{∗}(G)} ⇆ {unitäre Darstellungen von G},
π ↦ π|_{G}.

Beweis. i) Folgt aus Lemma 5.3 iv). ii) Injektivität von π ↦ π|_{G} folgt aus \overline{span}G = C^{∗}(G); Surjektivität folgt aus Lemma 5.3 iv).

Wir assoziieren zu G nun eine reduzierte C^{∗}-Algebra und eine von-Neumann-Algebra mit Hilfe der linksregulären Darstellung λ: G → L(l^{2}(G)), gegeben durch

λ(x)∑_{y} a_{y}y = ∑_{y} a_{y}xy = ∑_{z} a_{x^{−1} z}z für alle x ∈ G,∑_{y} a_{y}y ∈ l^{2}(G).

Bezeichne λ: C^{∗}(G) → L(l^{2}(G)) die zugehörige Darstellung.

Definition 5.6. Die reduzierte Gruppen-C^{∗}-Algebra und die Gruppen-von-Neumann-Algebra von G sind C_{r}^{∗}(G) := \overline{λ(C^{∗}(G))}bzw. LG:= C_{r}^{∗}(G)′′⊆ L(l^{2}(G)).

Wir benötigen die rechtsreguläre Darstellung ρ: G → L(l^{2}(G)), gegeben durch

ρ(x)∑_{y} a_{y}y = ∑_{y} a_{y}yx^{−1} = ∑_{z} a_{zx}z für alle x ∈ G,∑_{y} a_{y}y ∈ l^{2}(G),

und die zugehörige Darstellung ρ: C^{∗}(G) → L(l^{2}(G)).

Satz 5.7. i) ρ(C^{∗}(G))′′und λ(C^{∗}(G))′′kommutieren.

ii) Das Einselement e ∈ G ⊆ l^{2}(G) ist zyklisch und separierend für λ(C^{∗}(G))′′und ρ(C^{∗}(G))′′.

iii) Die Abbildung C_{r}^{∗}(G) ⊆ LG → l^{2}(G), a ↦ ae, ist injektiv.

iv) Der Zustand τ: LG → ℂ, f ↦ ⟨e|fe⟩, ist eine Spur, d.h. τ(ab) = τ(ba) für alle a,b ∈ LG.

Beweis. i) Klar: λ(x)ρ(y) = ρ(y)λ(x) für alle x,y ∈ G; wegen C^{∗}(G) = \overline{span}G folgt Behauptung.

Ende der Vorlesung vom 20.01.

ii) Zyklisch: weil λ(ℂG)e,ρ(ℂG)e ⊆ l^{2}(G) dicht. Separierend: ist a ∈ λ(C^{∗}(G))′′und ae = 0, so folgt al^{2}(G) = \overline{span}aρ(C^{∗}(G))e = \overline{span}ρ(C^{∗}(G))ae = 0, also a = 0. Analog für ρ. iii) Weil e separierend ist. iv) Für alle x,y ∈ G gilt τ(xy) = ⟨e|xye⟩ = δ_{e,xy}= δ_{e,yx}= ⟨e|yx⟩ = τ(yx); Behauptung folgt nun aus Linearität und C^{∗}(G) = \overline{span}G.

Bemerkung 5.8. Es gilt sogar λ(C^{∗}(G))′= ρ(C^{∗}(G))′′; der Beweis erfordert Hilbert-Algebren und ist aufwendig.

5.2 Verschiedene Beispiele und Resultate

Wir skizzieren nun einige grundlegende Fragen und Techniken für Gruppenalgebren.

Beispiele von Faktoren Gruppenalgebren liefern Beispiele von Faktoren:

Theorem 5.9. Für jede unendliche diskrete Gruppe G sind äquivalent:

i) LG ist ein Faktor.

ii) Jede Konjugationsklasse von G außer {e} ist unendlich.

Gelten diese Bedingungen, so ist LG ein Faktor vom Typ II.

Beweis. Vorbereitung: Sei a ∈ LG. Dann gilt

a ∈ Z(LG) ⟸===⇒^{λ(G)′′=LG} a= λ(x)aλ(x^{−1} ) für alle x ∈ G
⟸=⇒^{5.7 iii)} ae = λ(x)aλ(x^{−1} )e für alle x ∈ G

= λ(x)aρ(x)e = λ(x)ρ(x)ae Ist ae = ∑_{y}a_{y}y, so ist λ(x)ρ(x)ae = ∑_{y}a_{y}xyx^{−1} , also

a ∈ Z(LG)⇔ a_{y} = a_{xyx^{−1}} für alle x,y ∈ G.

“i) ⇒ ii)”: Gäbe es eine endliche Konjugationsklasse C ≠ {e}, so wäre ∑_{x∈C}λ(x) ∈ Z(LG) \ ℂ1 und somit LG kein Faktor. “ii) ⇒ i)”: Ist a ∈ Z(LG), so ist ae eine l^{2}-Funktion und konstant auf jeder Konjugati-

onsklasse ⇒ ae = ce für ein c ∈ ℂ ==⟹^{5.7 iii)} a = c1.

Gelten i), ii), so ist LG ein unendlich-dimensionaler Faktor mit endlicher Spur, also nach Theorem 4.50 und ÜA 1 von Blatt 12 vom Typ II. Für n ≥ 1 bezeichne F_{n} die freie Gruppe mit n Erzeugern. Folgerung 5.10. LF_{n} ist ein Faktor für jedes n ≥ 2. Ein zentrales offenes Problem ist die Frage:

Gilt n ≠ m ⟹^{L} F_{n} ≠ LF_{m}?

Mittels K-Theorie kann man zeigen:

n ≠ m ⇒ C^{∗}(F_{n}) ≠ C^{∗}(F_{m}),C_{r}^{∗}(F_{n}) ≠ C_{r}^{∗}(F_{m}).

Projektionen in Gruppenalgebren Eine wichtige Vermutung von Kadison und Kaplansky besagt, dass für jede torsionsfreie diskrete Gruppe G die C^{∗}-Algebra C_{r}^{∗}(G) keine nichttrivialen Projektionen enthält. Beachte: Hat x ∈ G die Ordnung n < ∞, so ist

\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} λ(x^{k}) ∈ C_{r}^{∗}(G)

eine Projektion. Es gilt: Satz 5.11. C_{r}^{∗}(F_{2}) besitzt keine Projektion außer 0 und 1. Der Beweis erfordert K-Theorie; wir beweisen folgenden einfacheren Satz: Satz 5.12. C^{∗}(F_{2}) besitzt keine Projektion außer 0 und 1. Beweis. Grundidee: Wir betten C^{∗}(F_{2}) in eine C^{∗}-Algebra A ein, die keine Projektionen außer 0 und 1 besitzt. Schritt 1: Seien

• x,y die Erzeuger von F_{2}, • π: C^{∗}(F_{2}) → L(H) eine treue Darstellung,

• u:= π(x) und v:= π(y),

• A:= {f ∈ C([0,1];L(H)) | f(0) ∈ ℂId_{H}}.

Schritt 2: Wähle einen Zweig “ln” des Logarithmus und setze a:= ln(u)/i, b:= ln(v)/i (Borel-Funktionalkalkül in L(H)). Weil u,v unitär sind, sind a,b selbstadjungiert und u = exp(ia), v = exp(ib). Definiere

U: [0,1] → L(H), t ↦ exp(ita),  Y: [0,1] → L(H), t ↦ exp(itb).

Dann gilt

U(0)= Id_{H} = V (0),  U(t),V (t)unitär für alle t ∈ [0,1],

also U,V ∈ A unitär. Somit existiert eine Darstellung F_{2} → A mit x ↦ U, y ↦ V, und ein entsprechender ∗-Homomorphismus π̃: C^{∗}(F_{2}) → A. Wegen U(1) = u, V (1) = v kommutiert

\xymatrix{F_{2} \ar[rr]^{x↦u,y↦v} \ar[dr]_{x↦U,y↦V} &  & L(H), & also auch & C^{∗}(F_{2}) \ar[rr]^{π} \ar@{-->}[dr]_{π̃} &  & L(H). \\  & A \ar[ur]_{f↦f(1)} &  &  &  & A \ar[ur]_{f↦f(1)}}

Also ist π̃ injektiv. Schritt 3: Ist p ∈ C^{∗}(F_{2}) eine Projektion, so auch p̃:= π̃(p) und p̃(t) für jedes t ∈ [0,1]. Wegen p̃(0) ∈ ℂId_{H} folgt p̃(0) ∈ {0,Id_{H}}. Für jede Projektion q ≠ p̃(0) ist dann ∥q − p̃(0)∥ = 1. Weil t ↦ p̃(t) norm-stetig ist, folgt p̃(t) = p̃(0) für alle t ∈ [0,1]. Also ist p̃trivial und somit auch p.

Mittelbarkeit Der folgende Begriff ist von großer Bedeutung:

Definition 5.13. Ein Mittel auf G ist Zustand m auf l^{∞} (G), der links-invariant ist in folgendem Sinn: m(f(x·)) = m(f) für alle f ∈ l^{∞} (G),x ∈ G, wobei f(x·) gegeben ist durch y ↦ f(xy). Eine diskrete Gruppe G heißt mittelbar, wenn sie ein Mittel besitzt.

Es gibt sehr viele nicht offensichtlich äquivalente Charakterisierungen von Mittelbarkeit:

Theorem 5.14. Für jede abzählbare diskrete Gruppe G sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) G ist mittelbar. ii) (Følner) Es gibt eine Folge von endlichen Teilmengen (S_{n})_{n} von G mit der Eigen-

schaft |xS_{n}ΔS_{n}|/|S_{n}| −⟶^{n→∞} 0 für alle x ∈ G, wobei “Δ” die symmetrische Differenz bezeichnet.

iii) λ: C^{∗}(G) → C_{r}^{∗}(G) ist ein Isomorphismus.

Satz 5.15. ℤ ist mittelbar.

Beweis. Für n ∈ ℕ sei m_{n} ∈ S(l^{∞} (ℤ)) gegeben durch

m_{n}(f) = \frac{1}{2n + 1} ∑_{k=−n}^{n} f(n) für alle f ∈ l^{∞} (ℤ).

Weil S(l^{∞} (ℤ)) schwach-∗-kompakt ist (Satz 3.15), hat (m_{n})_{n}einen schwach-∗-Häufungspunkt m. Für jedes f ∈ l^{∞} (ℤ), x ∈ ℤ gilt

m_{n}(f) − m_{n}(f(x + ·)) −⟶^{n→∞} 0,

also m(f) = m(f(x + ·)).

Bemerkung 5.16. Analog beweist man die Implikation ii) ⇒ i) in Theorem 5.14.

Ende der Vorlesung vom 21.01.

Satz 5.17. Jede abelsche Gruppe ist mittelbar.

Beweis-Skizze.Sei G eine abelsche Gruppe. Dann wirkt G auf dem schwach-∗-kompakten und konvexen Zustandsraum S(l^{∞} (G)) durch affin-lineare Homöomorphismen Ψ_{x} (x ∈ G), wobei

Ψ_{x}(ϕ)(f) = ϕ(f(x^{−1} ·)) für alle x ∈ G,ϕ ∈ S(l^{∞(G)}),f ∈ l^{∞} (G).

Fixpunktsatz von Markov-Kakutani (Conway §V Theorem 10.1) ⇒ es existiert ein m ∈ S(l^{∞} (G)) mit Ψ_{x}(m) = m für alle x ∈ G; dieses m ist ein Mittel auf G.

Bemerkung 5.18. Mittelbare diskrete Grquppen sind u.a. abgeschlossen unter der Bildung von Untergruppen, Quotienten, Erweiterungen, endlichen Produkten, monoton wachsenden Vereinigungen und direkten Limites und beinhalten z.B. alle auflösbaren Gruppen; s. Übung.

Sei m ein Zustand auf l^{∞} (G). Für jedes A ⊆ G setzen wir m_{∗}(A) := m(χ_{A}), wobei χ_{A}die charakt. Funlktion von A ist. Dann ist m_{∗} endlich additiv: sind A_{1},...,A_{n}⊆ G paarweise disjunkt, so ist

m_{∗}(A_{1}∪ ··· ∪ A_{n}) = m(χ_{A_{1}∪··· ∪A_{n}}) = m(χ_{A_{1}}) + ··· + m(χ_{A_{n}}) = m_{∗}(A_{1}) + ··· + m_{∗}(A_{n}).

Ist m ein Mittel, so gilt m_{∗}(xA) = m_{∗}(A) für jedes A ⊆ G und, falls G unendlich ist, m_{∗}({x}) = 0 für jedes x ∈ G (ÜA) sowie allgemeiner m_{∗}(A) = 0 für jedes endliche A ⊆ G.

Satz 5.19. F_{2} ist nicht mittelbar.

Beweis. Seien x,y die Erzeuger von F_{2}, sodass F_{2} die Menge der reduzierten Worte in x,y,x^{−1} ,y^{−1} ist. Für w ∈ F_{2} bezeichne E_{w} ⊂ F_{2} die Menge der reduzierten Worte, die mit w anfangen. Wäre m ein Mittel auf F_{2}, so wäre

1 = m_{∗}(F_{2}) = m_{∗}({e}) + m_{∗}(E_{x}) + m_{∗}(E_{x^{−1}}) + m_{∗}(E_{y}) + m_{∗}(E_{y^{−1}})

= \underbrace{m_{∗}(x^{−1} E_{x}) + m_{∗}(E_{x^{−1}})}_{=m_{∗}(F_{2})}+\underbrace{m_{∗}(y^{−1} E_{y}) + m_{∗}(E_{y^{−1}})}_{=m_{∗}(F_{2})}

= m_{∗}(F_{2}) + m_{∗}(F_{2}) = 2.

Folgerung 5.20. λ: C^{∗}(F_{2}) → C_{r}^{∗}(F_{2}) ist kein Isomorphismus.

Bemerkung 5.21. Man kann zeigen: C_{r}^{∗}(F_{2}) ist einfach, d.h. besitzt kein nichttrivialen zweiseitigen normabgeschlossenen Ideale. Andererseits ist C^{∗}(F_{2}) nicht einfach, z.B. ist der Kern der trivialen Darstellung, die von F_{2} → {1} ⊆ ℂ induziert wird, ein nichttriviales Ideal.

5.3 Verschränkte Produkte

Sei G eine diskrete Gruppe und A eine C^{∗}-Algebra.

Definition 5.22. Eine Wirkung einer diskreten Gruppe G auf einer C^{∗}-Algebra (von-Neumann-Algebra) A ist ein Homomorphismus von G in die Gruppe Aut(A) der (σschwach stetigen) Automorphismen von A.

Beispiel 5.23. i) Sei UM(A) die Gruppe der unitären Elemente von M(A), versehen mit der Multiplikation und aufgefasst als diskrete Gruppe. Dann ist für jedes u ∈ UM(A) die Abbildung Ad_{u}: A → A, a ↦ uau^{∗}, ein Automorphismus von A und die Abbildung u ↦ Ad_{u} eine Wirkung von UM(A) auf A.

ii) Ist U: G → UM(A) eine Darstellung von G in M(A), so ist die Abbildung α: G → Aut(A), x ↦ Ad_{U(x)}, eine Wirkung von G auf A.

iii) Ist X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum und ϕ eine Linkswirkung von G auf X durch Homöomorphismen, so ist α: G → Aut(C_{0}(x)), x ↦ α_{x}:= (ϕ_{x^{−1}})^{∗}, eine Wirkung von G auf C_{0}(X); im Detail ist (α_{x}(f))(y) = f(ϕ(x^{−1} )y) für alle x ∈ G, f ∈ C_{0}(X), y ∈ X.

Sei nun α: x ↦ α_{x} eine Wirkung von G auf A.

Definition 5.24. Eine Darstellung von α in einer C^{∗}-Algebra B besteht aus einem nichtdegenerierten ∗-Homomorphismus π: A → M(B) und einer Darstellung U: G → UM(B) mit U(x)π(a) = π(α_{x}(a))U(x), d.h. Ad_{U(x)}(π(a)) = π(α_{x}(a)) für alle x ∈ G,a ∈ A.

Nun konstruieren wir eine universelle Darstellung von α. Wir setzen A[G] := ⨁ _{x∈G}A und schreiben Elemente a = (a_{x})_{x∈G} ∈ A[G] als endliche Summen: a = ∑_{x}a_{x}x.

Satz 5.25. i) Der Raum A[G] trägt genau eine ∗-Algebra-Struktur mit

ax · by= aα_{x}(b)xy, (ax)^{∗}= α_{x^{−1}}(a^{∗})x^{−1}  für alle x,y ∈ G,a,b ∈ A.

und eine Norm

∥ · ∥_{u}: f ↦ ∥f∥_{u} = sup{∥π(f)∥ | B eine C^{∗}-Algebra,

π: A[G] → B ein ∗-Homomorphismus},

welche sich zu einer C^{∗}-Algebra-Struktur auf der Vervollständigung A⋊_{α,u} G von A[G] bzgl. ∥ · ∥_{u} fortsetzen.

ii) Die Abbildungen A → A⋊_{α,u} G, a ↦ ae_{G}, und G → M(A⋊_{α,u} G), x ↦ 1x, bilden eine Darstellung von α in A⋊_{α,u}G (ist A nicht unital, so muss 1x passend definiert werden).

iii) Ist (π,U) eine Darstellung von α in eine C^{∗}-Algebra B, so existiert genau ein nichtdegenerierter ∗-Homomorphismus π ⋊ U: A ⋊_{α,u} G → M(B), der folgende Diagramme kommutativ macht:

[figure: A; π; M(B),; A ⋊_{α,u} G; π⋊U; G; U; M(B).; M(A ⋊_{α,u} G); π⋊U]

Beweis. Ähnlich wie der Beweis von 5.1, 5.3.

Definition 5.26. A⋊_{α,u} G heißt das universelle/volle verschränkte Produkt von A und G bezüglich α.

Wir übergehen die funktoriellen Eigenschaften des vollen verschränkten Produkts, die aus der universelle Eigenschaft folgen, und konstruieren nun ein reduziertes verschränktes Produkt. Für jeden Hilbertraum H definieren wir einen Hilbertraum

l^{2}(G;H) := {(ξ_{x})_{x∈G} ∈ ∏_{x∈G}H | ∑_{x} ∥ξ_{x}∥^{2} < ∞}

mit innerem Produkt ⟨(ξ_{x})_{x}|(η_{x})_{x}⟩ := ∑_{x}⟨ξ_{x}|η_{x}⟩ für alle (ξ_{x})_{x},(η_{x})_{x} ∈ l^{2}(G;H). Für jedes x ∈ G haben wir eine kanonische Einbettung ϵ_{x}: H → l^{2}(G;H) so, dass

(ξ_{x})_{x}= ∑_{x} ϵ_{x}ξ_{x}, ϵ_{y}^{∗}(ξ_{x})_{x}= ξ_{y}, ϵ_{y}^{∗}ϵ_{x}= δ_{y,x}Id_{H} für alle (ξ_{x})_{x} ∈ l^{2}(G;H),x,y ∈ G.

Lemma 5.27. Sei π: A → L(H) eine Darstellung. Dann existiert eine Darstellung (π_{α},λ_{H}) von α auf l^{2}(G;H) mit

π_{α}(a)ϵ_{x}ξ = ϵ_{x}π(α_{x^{−1}}(a))ξ, λ_{H}(y)ϵ_{x}ξ= ϵ_{yx}ξ für alle a ∈ A,x,y ∈ G,ξ ∈ H.

Beweis. Existenz von π_{α},λ_{H}: einfach; diese bilden Darstellung von α: für alle x,y ∈ G, a ∈ A gilt

λ_{H}(y)π_{α}(a)ϵ_{x} = λ_{H}(y)ϵ_{x}π(α_{x^{−1}}(a)) = ϵ_{yx}π(α_{x^{−1}}(a)) = ϵ_{yx}π(α_{x^{−1} y^{−1}}(α_{y}(a))) = π_{α}(α_{y}(a))λ_{H}(y)ϵ_{x}.

Ende der Vorlesung vom 27.01.09

Nach Satz 5.25 iii) erhalten wir eine Darstellung π_{α} ⋊ λ_{H}: A ⋊_{α,u} G → L(l^{2}(G;H)).

Definition 5.28. Ist π: A → L(H) die universelle GNS-Darstellung von A, so heißt π_{α} ⋊ λ_{H} die linksreguläre Darstellung und A ⋊_{α,r} G := \overline{(π_{α} ⋊ λ_{H})(A ⋊_{α,u} G)} das reduzierte verschränkte Produkt von α. Ist A eine von-Neumann-Algebra und π: A → L(H) die identische Darstellung, so heißt A ¯⋊_{α}G:= (π_{α} ⋊ λ_{H})(A ⋊_{α,u} G)′′das von-Neumann-verschränkte Produkt von α. In beiden Fällen identifizieren wir nun A mit π_{α}(A) via π_{α} und G mit λ_{H}(G) via λ_{H}.

Bemerkung 5.29. Ohne Beweis zitieren wir:

i) Ist G mittelbar, so ist π_{α} ⋊ λ_{H}: A ⋊_{α,u} G → A ⋊_{α,r} G ein Isomorphismus.

ii) Für alle treuen Darstellung π: A → L(H) sind die C^{∗}-Algebren \overline{(π_{α} ⋊ λ_{H})(A ⋊_{α,u} G)} zueinander isomorph.

Wir betrachten nun den von-Neumann-Fall; analoge Aussagen gelten für das reduzierte verschränkte Produkt im C^{∗}-Fall. Sei ϵ_{x}: H → l^{2}(G;H) für jedes x ∈ G wie zuvor.

Satz 5.30. i) Es gibt eine injektive lineare Abbildung A ¯⋊_{α}G → ∏ _{x∈G}A, w ↦ ([w]_{x})_{x}:= (ϵ_{e}^{∗}wϵ_{x^{−1}})_{x}, und für alle a ∈ A, x,y ∈ G, a ∈ A, w ∈ A ¯⋊_{α}G gilt

[ay]_{x}= aδ_{x,y}, [aw]_{x}= a[w]_{x}, [wa]_{x}= [w]_{x}α_{x}(a), [yw]_{yx}= α_{y}([w]_{x}), [wy]_{xy}= [w]_{x}.

ii) Die Abbildung E: A ¯⋊_{α}G → A, w ↦ [w]_{e}, ist linear, positiv, kontraktiv, σ-schwach stetig und treu in dem Sinn, dass E(w^{∗}w) ≠ 0 für alle w ≠ 0. iii) Ist τ ein (treuer) σ-schwach stetiger Spurzustand auf A und α-invariant (d.h. τ ∘

α_{x}= τ für alle x ∈ G), so ist τ∘E ein (treuer) σ-schwach stetiger Spurzustand auf A ¯⋊_{α}G.

Beweis. i) Für alle a,x,y wie oben gilt ϵ_{e}^{∗}(ax)ϵ_{y^{−1}} = ϵ_{e}^{∗}aϵ_{xy^{−1}} = aδ_{x,y}. Weil T ↦ ϵ_{e}^{∗}T ϵ_{y} σ-schwach stetig ist, folgt [A ¯⋊_{α}G]_{y} ⊆ A. Injektivität von w ↦ ([w_{x}])_{x} folgt ähnlich wie im Beweis von 5.7. Die Gleichungen für [w]_{x} folgen aus den Definitionen, z.B.

ϵ_{e}^{∗}awϵ_{x^{−1}} = aϵ_{e}^{∗}wϵ_{x^{−1}},  ϵ_{e}^{∗}waϵ_{x^{−1}} = ϵ_{e}^{∗}wϵ_{x^{−1}}α_{x}(a).

ii) Klar: E ist linear, positiv, kontraktiv, σ-schwach stetig. E ist treu, weil w ↦ ([w]_{x})_{x} injektiv und

E(ww^{∗}) = ϵ_{e}^{∗}ww^{∗}ϵ_{e} = ϵ_{e}^{∗}w\underbrace{( ∑_{x} ϵ_{x}ϵ_{x}^{∗})}_{Id_{l^{2}(G;H)}}w^{∗}ϵ_{e} = ∑_{x} [w]_{x}[w]_{x}^{∗}

für alle w ∈ A ¯⋊_{α}G. iii) Klar: τ ∘ E ist (treuer) σ-schwach stetiger Zustand. τ ∘ E ist Spur, weil

(τ ∘ E)( \underbrace{ax · by}_{=aα_{x}(b)xy}) = \underbrace{τ(aα_{x}(b))}_{=τ(α_{x}(b)a)}δ_{x,y^{−1}} = τ(bα_{x^{−1}}(a))δ_{x,y^{−1}} = (τ ∘ E)(by · ax).

für alle a,b ∈ A, x,y ∈ G.

Beispiele von Faktoren Nachtrag: Ist α eine Wirkung von G auf einer C^{∗}-Algebra/von-Neumann-Algebra A, so ist

A^{α} := {a ∈ A | α_{x}(a) = a für alle x ∈ G}

eine C^{∗}-Algebra/von-Neumann-Algebra, die Fixpunktalgebra von α. Sei

• X ein lokalkompakter σ-kompakter Raum mit einem Radon-Maß μ und A = L^{∞} (X,μ) ⊆ L(L^{2}(X;μ)) (vgl. §4.4),

• ϕ eine Wirkung von G auf X mittels messbarer Abbildungen, die Nullmengen auf Nullmengen abbilden (d.h. ϕ_{x∗}μ ∼ μ für alle x ∈ G).

Dann erhalten wir eine Wirkung

α: G → Aut(A), α_{x}(f) := f ∘ ϕ_{x^{−1}} für alle x ∈ G,f ∈ A = L^{∞} (X,μ).

Lemma 5.31. Es gilt i) ⇔ ii) sowie iii) ⇔ iv) für folgende Aussagen: i) V ⊆ X messbar und μ(ϕ_{x}(V)ΔV) = 0 für alle x ∈ G ⇒ μ(V) = 0 oder μ(X \V) = 0; ii) A^{α} = ℂ1_{X}; iii) x ∈ G\{e} und V ⊆ X messbar sowie μ(V) ≠ 0 ⇒ ∃ U ⊆ V mit μ(ϕ_{x}(U)∩U) = 0; iv) x ∈ G \ {e} und f ∈ A sowie f ≠ 0 ⇒ ∃ g ∈ A mit fg ≠ fα_{x}(g).

Beweis. Übungsaufgabe. Definition 5.32. ϕ heißt ergodisch bzw. frei, wenn i), ii) bzw. iii), iv) gelten. Satz 5.33. Sei ϕ frei. Dann gilt: Z(A ¯⋊_{α}G) = A^{α}; insbesondere ist A ¯⋊_{α}G ein Faktor genau dann, wenn ϕ ergodisch ist. Beweis. Sei w ∈ A ¯⋊_{α}G. Wegen A ¯⋊_{α}G = (AG)′′gilt w ∈ Z(A ¯⋊_{α}G) ⇔ w ∈ (A′∩ G′). Nach Satz 5.30 i) gilt

w ∈ A′ ⇔ ∀x ∈ G∀f ∈ A: [wf]_{x} = [fw]_{x}, d.h.[w]_{x}α_{x}(f) = [w]_{x}f,  (10)
w ∈ G′ ⇔ ∀x ∈ G∀y ∈ G: [wy]_{x} = [yw]_{x}, d.h.[w]_{xy^{−1}} = α_{y}([w]_{y^{−1} x}).  (11)

Weil ϕ frei ist, folgt: w ∈ Z(A ¯⋊_{α}G) ⇔ [w]_{x} = 0 für x ≠ e (10) und w = [w]_{e} ∈ A^{α} (11). Bemerkung 5.34. Ist ϕ frei und ergodisch und G unendlich, so gilt:

i) existiert ein ϕ-invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß ν auf X mit ν ≡ μ, so is w ↦ ∫_{X}[w]_{e}dν ein Spurzustand auf A ¯⋊_{α}G und A ¯⋊_{α}G vom Typ II;

ii) existiert kein ϕ-invariantes Maß ν auf X mit ν ≡ μ, so ist A ¯⋊_{α}G vom Typ III. Beispiele 5.35. Die folgenden Gruppenwirkungen liefern einen Faktor A ¯⋊_{α}G vom Typ

I: (X,μ) = ℤ/nℤ mit Zählmaß, G = ℤ/nℤ wirkt durch Translation;

II: (X,μ) = 𝕋 mit Haar-Maß, G = ℤ wirkt durch irrationale Rotation; III: (X,μ) = ℝ mit Lebesgue-Maß, G = Gruppe der affinen Transformationen.

Die Rotationsalgebren Die Rotationsalgebra zu θ ∈ [0,1] ist B_{θ} := A ¯⋊_{α}G für

A= C(𝕋), G= ℤ, α = Drehung um θ, d.h.α_{k}(f) = f(e^{−2πikθ} ·) für alle k ∈ ℤ,f ∈ A.

Die Elemente u = Id_{𝕋} ∈ A ⊆ B_{θ} und v = 1 ∈ ℤ ⊆ B_{θ} erfüllen:

⟨u,v⟩_{C^{∗}}= B_{θ},  u,vunitär,  vu = α_{1}(u)v = e^{−2πikθ} uv.

Man kann zeigen: B_{θ} ist die universelle C^{∗}-Algebra mit diesen Relationen. Diese C^{∗}- Algebren sind ein zentrales Beispiel in der nichtkommutativen Geometrie und haben u.a. folgende Eigenschaften:

Ende der Vorlesung vom 28.01.09

θ  Zentrum  Spurzustand  Projektionen
0  uv = vu ⇒ B_{θ} = Z(B_{θ}),  w ↦ ∫_{𝕋^{2}} wd_{μ}  0,1
Ω(B_{0}) ≅ 𝕋^{2} via χ ↦ (χ(u),χ(v))  bel. W.-Maß μ
≠ 0, B_{θ} ≅ M_{n}(𝕋), Z(B_{θ}) ≅ C(𝕋) w ↦ ∫_{𝕋} T r(w)dμ haben bel. Spur in
rational  bel. W-Maß μ k/n für k = 0,...,n
irrational Z(B_{θ}) = ℂ1 (ähnlich wie in 5.33)  w ↦ ∫_{𝕋} [w_{e}] haben bel. Spur in
B_{θ} ist einfach  eindeutig  ℤ + ℤθ ∩ [0,1]

Satz 5.36. Für irrationales θ ist B_{θ} einfach und besitzt genau einen Spurzustand.

Beweis-Idee: Definition ⇒ B_{θ} = \overline{span}\{u^{a}v^{b} | a,b ∈ ℤ\}. Für x ∈ {u,v} und n ∈ ℕ definiere Φ_{x}^{n}: B_{θ} → B_{θ} durch

b ↦ \frac{1}{2n + 1} ∑_{k=−n}^{n} x^{k}bx^{−k}.

Dann gilt für alle a,b ∈ ℤ

Φ_{u}^{n}(u^{a}v^{b}) = u^{a}v^{b} \frac{1}{2n + 1} ∑_{k=−n}^{n} θ^{kb} −−⟶^{n→∞} u^{a}δ_{b,0} = E(u^{k}v^{l})

und analog

Φ_{v}^{n}(u^{a}δ_{b,0}) −−⟶^{n→∞} δ_{a,0}δ_{b,0} = τ(u^{a}v^{b})1.

Ist I ⊆ B_{θ} ein abg. zweiseitiges Ideal und b ∈ I, 0 < b, so ist Φ_{x}^{n}(b) ∈ I für alle n und 0 < τ(b) ∈ I ∩ ℂ1, also I = B_{θ}. Ist σ ein Spurzustand, so gilt σ = σ ∘ Φ_{x}^{n} und σ(u^{a}v^{b}) = σ(1)τ(u^{a}v^{b}), also σ = τ.

6 K-Theorie für C^{∗}-Algebren — ein Ausblick

Definition von K_{0} Sei A eine C^{∗}-Algebra, M_{∞} (A) die ∗-Algebra aller endlichen Matrizen über A und P_{∞} (A) ⊆ M_{∞} (A) die Menge aller Projektionen. Für jedes k fassen wir M_{k}(A) als ∗-Unteralgebra von M_{∞} (A) auf und setzen P_{k}(A) := M_{k}(A) ∩ P_{∞} (A).

Satz 6.1. Sei A unital. Dann sind für alle p,q ∈ M_{∞} (A) folgende Aussagen äquivalent:

i) p,q sind Murray-von Neumann-äquivalent: q = vv^{∗} und p = v^{∗}v für ein v ∈ M_{∞} (A);

ii) p,q sind unitär äquivalent: p,q ∈ P_{k}(A) für ein k und q = upu^{∗} für ein unitäres u ∈ M_{k}(A);

iii) p,q sind homotop: p,q ∈ P_{k}(A) für ein k und p, q durch einen norm-stetigen Pfad in P_{k}(A) verbunden werden können.

Beweis-Skizze.i) ⇒ ii): Ist vv^{∗} = q, v^{∗}v = p in M_{k}(A), so ist u:= ( \begin{matrix}v & (1 − q)^{1/2} \\ (1 − p)^{1/2} & v^{∗} \end{matrix} ) ∈

M_{2k}(A) unitär und q = upu^{∗}. ii) ⇒ iii): Ist q = upu^{∗} in M_{k}(A), so sind

[0,1] ∋ t ↦ r_{t}:= ( \begin{matrix}cos \frac{π}{2}t & −sin \frac{π}{2}t \\ sin \frac{π}{2}t & cos \frac{π}{2}t \end{matrix} ) ,  [0,1] ∋ t ↦ u_{t}:= r_{t}( \begin{matrix}1 \\ & u \end{matrix}) r_{t}^{∗}

stetige Pfade von Unitären und [0,1] ↦ p_{t}:= u_{t}pu_{t}^{∗} ein stetiger Pfad von Projektionen mit p_{0} = p und p_{1} = upu^{∗} = q. iii) ⇒ ii): Nach Annahme existieren Projektionen p = p_{0},...,p_{n} = q mit ∥p_{l−1} −p_{l}∥ <

1. OBdA also ∥q − p∥ < 1. Nun folgt Behauptung aus folgendem Lemma.

Lemma 6.2. Sind p,q ∈ P_{k}(A) und ∥p − q∥ < 1, so sind p und q unitär äquivalent.

Beweis-Skizze.Wir rechnen in M_{k}(A). Setze

v:= \frac{1}{2}(1 + \underbrace{(2q − 1)}_{Spiegelung an kerq} \underbrace{(2p − 1)}_{Spiegelung an kerp}) etwa Drehung von kerq auf kerp

⇒ v invertierbar weil ∥v − 1∥ ≤ ···≤ ∥p − q∥ < 1 und qv = ···= 2qp = ···= vp ⇒ v^{∗}v und |v| kommutiert mit p ⇒ u:= v|v|^{−1} unitär und upu^{∗} = q.

Wir nennen zwei Projektionen p,q ∈ P_{∞} (A) äquivalent und schreiben p ∼ q, wenn sie die obigen Bedingungen i)–iii) erfüllen. Man prüft leicht nach:

Lemma 6.3. i) V (A) := P_{∞} (A)/_{∼} ist eine kommutative Halbgruppe bezüglich [p]+

[q] := [( \begin{matrix}p \\ & q \end{matrix}) ].

ii) Die Menge der Äquivalenzklassen von V (A) × V (A) bezüglich der Relation

([p],[q]) ∼ ([p′],[q′]) ⇔ [p] + [q′] + [r] = [p′] + [q] + [r] für ein [r] ∈ V (A)

ist eine abelsche Gruppe bzgl. der komponentenweisen Addition.

Definition 6.4. Ist A unital, so heißt die Gruppe in ii) die einhüllende/universelle/Grothendieck-Gruppe von A und wird mit K_{0}(A) bezeichnet. Wir schreiben Elemente [([p],[q])] ∈ K_{0}(A) als [p] − [q].

Sei ϕ: A → B ein unitaler ∗-Homomorphismus von unitalen C^{∗}-Algebren und ϕ_{∞} : M_{∞} (A) → M_{∞} (B) def. durch (a_{ij})_{i,j} ↦ (ϕ(a_{ij}))_{i,j}. Dann sieht man leicht:

ϕ_{∗}: K_{0}(A) → K_{0}(B), [p] − [q] ↦ [ϕ_{∞} (p)] − [ϕ_{∞} (q)]

ist ein Gruppenhomomorphismus.

Definition 6.5. Für eine beliebige C^{∗}-Algebra A ist K_{0}(A) := ker(K_{0}(Ã) ⟶^{e_{∗}} K_{0}(ℂ)), wobei e: Ã= ℂ ⊕ A → ℂ, (λ,a) ↦ λ.

Beispiele 6.6. i) A = ℂ: Für alle p,q ∈ P_{∞} (ℂ) gilt p ∼ q ⇔ dim(imgp) = dim(imgq); haben Isomorphismen

V (ℂ)→ ℕ, [p] ↦ dim(imgp), K_{0}(ℂ) → ℤ, [p] − [q] ↦ dim(imgp) − dim(imgq).

ii) A = K (l^{2}(ℕ)): analog wie i);

iii) A = L(l^{2}(ℕ)):ähnlich wie i) erhalten wir Isomorphismus V (A) → ℕ∪{∞}, [p] ↦ dimimgp, aber K_{0}(A) = 0 weil l + ∞ = k + ∞ für alle l,k ∈ ℕ ∪ {∞}.

Ende der Vorlesung vom 03.02.09

K_{0} wird zu einem Funktor von C^{∗}-Algebren in die abelschen Gruppen: Für ϕ: A → B haben wir

[figure: K_{0}(A); ⊆; ϕ_{∗}|; K_{0}(Ã); ϕ_{∗}; K_{0}(ℂ).; K_{0}(B); ⊆; K_{0}(B̃)]

Typische Anwendung von K_{0}:

Theorem 6.7 (Elliott). Seien A und B approximativ endlich-dimensionale (kurz: AF) unitale C^{∗}-Algebren, d.h. A = ⋃ _{k}A_{k} und B = ⋃ _{k}B_{k} für endlich-dimensionale C^{∗}-Unter-algebren ℂ1_{A}⊆ A_{1} ⊆ A_{2} ⊆ ···⊆ A und ℂ1_{B} ⊆ B_{1} ⊆ B_{2} ⊆ ···⊆ B. Dann ist die Abbildung

{IsomorphismenA → B} → {IsomorphismenK_{0}(A) → K_{0}(B)}, ϕ ↦ ϕ_{∗}

bijektiv, insbesondere gilt: A ≅ B ⇔ K_{0}(A) ≅ K_{0}(B).

Beziehung zu anderen K-Theorien Algebraische K-Theorie: Für jede unitale Algebra A definiert man

K_{0}^{alg}(A) :=universelle Gruppe zur Halbgruppe

({endlich erzeugte projektive A-Moduln},⊕)

und für jede unitale C^{∗}-Algebra A existiert ein Isomorphismus

K_{0}(A) → K_{0}^{alg}(A), [p] − [q]↦ [pA^{k}] − [qA^{k}]
für p,q ∈ P_{k}(A).

Topologische K-Theorie: Für jeden kompakten Raum X definiert man

K^{0}(X) :=universelle Gruppe zur Halbgruppe

({komplexe Vektorbündel über X},⊕)

und es existiert ein Isomorphismus

K_{0}(C(X)) → K^{0}(X), [p] − [q]↦ [ ⨆_{x∈X}p(x)ℂ^{k}]− [ ⨆_{x∈X}q(x)ℂ^{k}]
für p,q ∈ P_{k}(C(X)) ≡ C(X;P_{k}(ℂ)).

K_{1} und die 6-Term-Sequenz Sei A eine C^{∗}-Algebra und

• Ũ_{∞}(A) := U({ \atop M_{∞} (A)}) die Gruppe der unitären Elemente der Unitalisierung { \atop M_{∞} (A)};

• Ũ_{k}(A) = Ũ_{∞}(A) ∩ (M_{k}(A) + ℂ1) ≡ U({ \atop M_{k}(A)}) (eine Untergruppe) für alle k ∈ ℕ;

somit ist Ũ_{∞}(A) = ⋃ _{k} Ũ_{k}(A).

Definition 6.8. Wir nennen Unitäre u,v ∈ Ũ_{∞}(A) homotop und schreiben u ∼ v, wenn es ein k und einen stetigen Pfad [0,1] ∋ t ↦ u_{t} ∈ Ũ_{k}(A) gibt mit u_{0} = u und u_{1} = v. Wir setzen K_{1}(A) := Ũ_{∞}(A)/_{∼}.

Man prüft leicht:

Lemma 6.9. i) K_{1}(A) ist eine kommutative Gruppe bezüglich der Operation [u] + [v] := [uv].

ii) Ist ϕ: A → B ein ∗-Homomorphismus von C^{∗}-Algebren, so existiert ein Gruppenhomomorphismus ϕ_{∗}: K_{1}(A) → K_{1}(B), [u] ↦ [ϕ_{∞} (u)].

Ein wichtiges Hilfsmittel zur Berechnung der K-Theorie von C^{∗}-Algebren ist:

Theorem 6.10. Sei I ⟶^{ι} A ⟶^{π} B eine kurze exakte Sequenz von C^{∗}-Algebren und ∗-Homo-morphismen, d.h. ι ist injektiv, π surjektiv und imgι = kerπ. Dann existiert eine exakte Sequenz von Gruppenhomomorphismen (d.h. das Bild des vorhergehenden ist der Kern des nachfolgenden Homomorphismus)

\xymatrix{K_{0}(I) \ar[r]^{ι_{∗}} & K_{0}(A) \ar[r]^{π_{∗}} & K_{0}(B) \ar[d]^{δ} \\ K_{1}(B) \ar[u]^{∂} & K_{1}(A) \ar[l]^{π_{∗}} & K_{1}(I), \ar[l]^{ι_{∗}}}

wobei δ und ∂ folgende definierende Bedingungen erfüllen:

δ: Jedes Element von K_{0}(B) kann geschrieben werden als [p] − [q] mit p,q ∈ P_{l}(B̃) und p ≡ 1_{k}≡ q modM_{∞} (B) für ein k ≤ l. Für solch ein Element [p]−[q] und alle h,g ∈ M_{l}(Ã)_{sa} mit π_{∞} (h) = p, π_{∞} (g) = q gilt δ([p]−[q]) = [exp(−2πih)exp(2πig)].

∂: Ist u ∈ Ũ_{k}(B) und w ∈ Ũ_{2k}(A) mit π_{∞} (w) = ( \begin{matrix}u \\ & u^{∗} \end{matrix}) (so ein w existiert stets);

dann ist π_{∞} (w^{∗}1_{k}w) = 1_{k}, also π_{∞} (w^{∗}1_{k}w) ∈ P_{k}(Ĩ), und es gilt ∂[u] = [w1_{k}w^{∗}] − [1_{k}] ∈ K_{0}(I).

Beispiel 6.11. Für A = ℂ,L(H),K (H) (H beliebiger Hilbertraum) ist K_{1}(A) = {[1]} trivial, denn für alle k ∈ ℕ gilt:

i) A = ℂ: Ũ_{k}(A) = U( \underbrace{M̃_{k}(ℂ)}_{≅ M_{k}(ℂ)⊕ℂ} ) ≡ U_{k}(ℂ) × 𝕋 ist pfad-zusammenhängend;

ii) A = L(H): Ũ_{k}(A) ≡ U(L(H^{⊕k})) × 𝕋 ist pfad-zusammenhängend (s. Ü-Blatt 11, Aufgabe 1);

iii) A = K (H): Für jedes u ∈ Ũ_{k}(A) existiert ein λ ∈ 𝕋 mit u − λ1_{k} ∈ M_{k}(K (H)) ≅ K (H^{⊕k}) ⇒ 0 einziger HP von σ(u − λ1_{k}) ⇒ σ(u) ≠ 𝕋 =======⟹^{Funktionalkalkül} u ∼ 1_{k}.

Ist dimH = ∞ und I = K (H), A = L(H), B = A/I (Calkin-Algebra), so folgt aus Theorem 6.10: K_{0}(B) = 0, K_{1}(B) ≅ ℤ, Erzeuger von K_{1}(B) für H = l^{2}(ℕ): einseitiger Shift-Operator.

Homotopie-Invarianz von K

Definition 6.12. Zwei ∗-Homomorphismen ϕ,ψ: A → B heißen homotop, geschrieben ϕ ∼_{h} ψ, wenn ein ∗-Homomorphismus H: A → C([0,1];B) existiert (genannt Homoto-

pie) mit H_{0} = ϕ, H_{1} = ψ, wobei H_{t}: A ⟶^{H} C([0,1];B) −−−−→^{f↦f(t)} B für t ∈ [0,1]. A und B heißen homotopie-äquivalent, geschrieben A ∼_{h} B, wenn ∗-Homomorphismen Φ: A → B und Ψ: B → A existieren mit Ψ ∘ Φ ∼_{h} Id_{A}und Φ ∘ Ψ ∼_{h} Id_{B}.

Man sieht leicht:“Homotopie” von ∗-Homomorphismen und von C^{∗}-Algebren sindÄquivalenzrelationen und K_{0}, K_{1} sind homotopie-invariant:

ϕ ∼_{h} ψ ⇒ ϕ_{∗} = ψ_{∗}: K_{0,1}(A) → K_{0,1}(B),  A ∼_{h} B ⇒ K_{0,1}(A) ≅ K_{0,1}(B).

Ausblick

• Höhere K-Gruppen: Für jedes n ≥ 1 definiert man Funktoren K′_{n}: A ↦ K_{0}(C_{0}(ℝ^{n};A)) (“höhere K-Gruppen”) und einen natürlichen Isomorphismus K_{1} → K′_{1}.

• Bott-Periodizität: Es gibt einen Isomorphismus K_{0}(ℂ) → K′_{2}(ℂ) = K_{0}(C_{0}(ℝ^{2})), [1] ↦, der zu einer natürlichen Transformation K′_{n} → K′_{n+2} fortgesetzt werden kann; d.h. im Wesentlichen gibt es nur 2 K-Gruppen K_{0}, K_{1}. Man betrachtet K(A) := K_{0}(A) ⊕ K_{1}(A) als ℤ/2-graduierte Gruppe.

• KK-Theorie: Kasparov hat ℤ/2-graduierte bivariante KK-Gruppen KK(A,B) für C^{∗}-Algebren A,B definiert und (unter milden Annahmen an A,B,C) ein Produkt KK(A,B) × KK(B,C) → KK(A,C) so, dass man eine Kategorie KK erhält: Objekte sind separable C^{∗}-Algebren und die Menge der Morphismen zwischen A,B ist KK(A,B). Es gilt K(A) = KK(ℂ,A).

• Wichtige Probleme/Anwendungen:

– Berechnung von K(C_{r}^{∗}(G)) für Gruppen G mit Methoden der algebraischen Topologie (⇒ Baum-Connes-Vermutung);

– Indextheorie (⇒ Verallgemeinerungen des Satzes von Atiyah und Singer);

– Klassifikation von Klassen von C^{∗}-Algebren mit K(K)-Theorie ähnlich wie in Theorem 6.7 (⇒ Elliott-Programm).