Prof. Dr. Thomas Timmermann Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

1. Übung “Operatoralgebren”

1. Sei A eine unitale Algebra und a ∈ Inv(A). Zeige: σ_{A}(a^{−1}) = σ_{A}(a)^{−1}.

2. Sei A eine Algebra und a ∈ A nilpotent, d.h. a^{n} = 0 für ein n ∈ ℕ. Zeige: Dann ist σ_{A}(a) = 0.

3. Sei A eine Algebra und e ∈ A idempotent, d.h. e^{2} = e. Zeige:

(a) σ_{A}(e) ⊆ {0, 1}. (Hinweis: Für λ ∉ {0, 1} hat λ − e ein Inverses der Form λ^{−1} − μe mit μ ∈ ℂ.)

(b) e = 1_{A} falls σ_{A}(e) = {1}.

4. Sei A eine Algebra und a, b ∈ A. Zeige:

(a) Hat 1 − ab ein Inverses c ∈ A, so hat 1 − ba das Inverse 1 + bca.

(b) σ_{A}(ab) ∪ {0} = σ_{A}(ba) ∪ {0}.

5. Sei A eine unitale Algebra und Ã ihre Unitalisierung.

(a) Zeige: (1, −1_{A})^{2} = (1, −1_{A}) und (1, −1_{A})(0, a) = 0 in Ã für alle a ∈ A.

(b) Sei B = ℂ ⊕ A als Algebra, d.h. in B gilt (λ, a)(μ, b) = (λμ, ab) für alle λ, μ ∈ ℂ und a, b ∈ A. Zeige: Ã ≅ B als Algebren.

6. Sei A eine Algebra und a ∈ A. Zeige: σ_{A}(a) ∪ {0} = σÃ(a). (Hinweis: Fallunterscheidung nach Unitalität von A).

7. Sei (X, μ) ein Maßraum (z.B. X = [0, 1] und μ = Lebesgue-Maß) und A = L^{∞}(X, μ). Zeige: Für jedes a ∈ A ist

ρ_{A}(a) = {λ ∈ ℂ | ∃ϵ : |λ − a(x)| > ϵ für μ-fast alle x ∈ X}.

8. Sei A eine Banachalgebra. Zeige: Die Unitalisierung Ã, versehen mit der durch ∥(λ, a)∥ := |λ| + ∥a∥ (λ ∈ ℂ, a ∈ A) definierten Norm, ist eine Banachalgebra.