Prof. Dr. Thomas Timmermann Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

2. Übung “Operatoralgebren”

1. Sei A eine Algebra und a ∈ A. Zeige: R_{a}(λ) − R_{a}(μ) = (μ − λ)R_{a}(μ)R_{a}(λ) für alle λ, μ ∈ ρ_{A}(a).

2. Sei ℂ[[X]] die Algebra der formalen Potenzreihen ∑_{n=0}^{∞} a_{n}X^{n} (wobei a_{0}, a_{1}, … ∈ ℂ) mit der Multiplikation

( ∑_{n=0}^{∞} a_{n}X^{n})( ∑_{n=0}^{∞} b_{n}X^{n}) = ∑_{n=0}^{∞} ( ∑_{k=0}^{n} a_{k}b_{n−k})X^{n}.

Ein Gewicht auf ℕ ist eine Abbildung ω: ℕ → (0, ∞) mit

ω(0) = 1 und ω(m + n) ≤ ω(m)ω(n) für alle m, n ∈ ℕ.

(a) Nenne Beispiele von Gewichten.

(b) Zeige: für jedes Gewicht ω ist die Menge

l^{1}(ω) := { ∑_{n=0}^{∞} a_{n}X^{n} | ∑_{n=0}^{∞} ω(n)|a_{n}| < ∞} ⊂ ℂ[[X]]

eine Unteralgebra und eine Banachalgebra bezüglich einer natürlichen Norm (welcher?).

3. Zeige: Der Raum C^{(n)}([0, 1]) = {f ∈ C([0, 1]) | f ist n-mal stetig differenzierbar auf (0, 1) und f^{(1)}, …, f^{(n)} sind stetig auf [0, 1] fortsetzbar} ist eine Algebra bezüglich der punktweisen Operationen und eine Banachalgebra bezüglich der Norm

∥f∥_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}∥f^{(k)}∥_{∞} (f ∈ C^{(n)}([0, 1])).

4. Sei A eine Algebra mit einer Norm, bezüglich derer A vollständig und die Multiplikation A × A → A, (a, b) ↦ ab, stetig ist. Zeige:

(a) Für jedes a ∈ A ist die Abbildung L_{a}: Ã → Ã, b̃ ↦ ab̃, beschränkt bezüglich der durch ∥(λ, a)∥ := |λ| + ∥a∥ definierten Norm auf Ã.

(b) Die Zuordnung ∥a∥_{L} := ∥L_{a}∥ (a ∈ A) definiert eine Norm auf A.

(c) (A, ∥ · ∥_{L}) ist eine Banachalgebra.

(d) Hat A eine Eins, so ist (A, ∥ · ∥_{L}) eine unitale Banachalgebra.

Bemerkung: Der Homomorphismus A → L(Ã), a ↦ L_{a}, heißt die reguläre Darstellung von A. Ist A unital, so kann man A statt Ã verwenden.

5. Sei A eine unitale Banachalgebra und rad(A) der Schnitt aller maximalen Linksideale von A. Zeige:

(a) Ist I ⊆ A ein maximales Linksideal und a ∉ I, so existiert ein b ∈ A mit 1_{A} − ba ∈ I.

(b) rad(A) = {a ∈ A | 1_{A} − ba ∈ Inv(A) für alle b ∈ A}.

(c) Für jedes a ∈ rad(A) gilt σ_{A}(a) = {0} (d.h. a ist quasi-nilpotent).

(d) Bestimme rad(A) für A = M_{n}(ℂ) und A = {a ∈ M_{n}(ℂ) | a_{ij} = 0 falls i < j} ⊂ M_{n}(ℂ) (n ∈ ℕ).