Prof. Dr. Thomas Timmermann Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

3. Übung “Operatoralgebren”

Achtung: Das Blatt hat zwei Seiten und die Aufgaben sind diesmal anspruchsvoller.

1. Sei A eine unitale Banachalgebra und a ∈ A. Zeige:

(a) Für alle λ ∈ ρ_{A}(a), λ′ ∈ ℂ gilt (λ−λ′)(λ−a)^{−1} = 1−(λ′ −a)(λ−a)^{−1}.

(b) Für jedes λ ∈ ℂ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

i. Es gibt eine Folge (λ_{n})_{n} in ρ_{A}(a) mit λ_{n} ⟶^{n→∞} λ und ∥(λ_{n} −

a)^{−1}∥ ⟶^{n→∞} ∞.

ii. λ ∈ ∂σ_{A}(a) (wobei ∂X den Rand einer Menge X bezeichne).

(c) Ist B eine unitale Banachalgebra und A ↪ B eine unitale Einbettung (d.h. ein isometrischer Homomorphismus), so gilt ∂σ_{A}(a) ⊆ ∂σ_{B}(a).

Nach Satz 1.8 gilt σ_{B}(a) ⊆ σ_{A}(a), und nach (c) kann beim Übergang von A zu B das Spektrum von a nur dadurch kleiner werden, dass es Löcher bekommt.

2. Sei X ein kompakter Raum, V die Menge aller abgeschlossenen Teilmengen von X und I die Menge aller abgeschlossenen Ideale von C(X).

(a) Zeige: Die folgenden Abbildungen sind zueinander inverse Bijektionen:

I → V, I ↦ ⋂_{f∈I} f^{−1}({0}), und V → I, V ↦ {f ∈ C(X) | f|_{V} ≡ 0}.

(b) Beschreibe den Schnitt und die Vereinigung von Mengen mittels der zugeordneten Ideale.

3. Die Bijektion Ω(A) ≅ Max_{m}(A) für eine kommutative Banachalgebra A (Satz 1.38) gilt i.a. nicht für nichtkommutative Banachalgebren:

(a) Sei B eine Banachalgebra und X ein kompakter Raum. Zeige: Der Raum C(X; B) der stetigen Funktionen von X nach B ist eine Banachalgebra bezüglich der punktweise definierten Operationen und der Norm f ↦ ∥f∥ := sup_{x∈X} ∥f(x)∥.

(b) Wir betrachten M_{2}(ℂ) als Banachalgebra (siehe Beispiel 1.11 vi)) und setzen A := C([0, 1]; M_{2}(ℂ)). Zeige: Ω(A) = ∅ und Max_{m}(A) ≅ [0, 1].

4. Sei A eine Banachalgebra. Konstruiere direkt eine natürliche Bijektion zwischen Max_{m}(A) und Max_{m}(Ã) \ {A}.

5. Beweise die Surjektivität von δ_{X}: X → Ω(C_{0}(X)) für den Fall, dass X lokalkompakt und Hausdorffsch ist (s. Satz 1.33).

6. Sei A eine kommutative Banachalgebra und für jede endliche Teilmenge X ⊂ A sei U_{X} := {I ∈ Max_{m}(A) | X ⊈ I}. Zeige:

(a) {U_{X} | X ⊂ A endlich} ist eine Basis für eine Topologie auf Max_{m}(A).

(b) Die Bijektion Ω(A) → Max_{m}(A), ω ↦ ker ω, ist stetig.

(c) Für A = A(D) ist die Topologie auf Max_{m}(A) nicht Hausdorffsch und die obige Bijektion kein Homöomorphismus. (Hinweis: Hilft der Identitätssatz der Funktionentheorie?)