Prof. Dr. Thomas Timmermann Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

4. Übung “Operatoralgebren”

Sei A eine C^{∗}-Algebra

1. Sei a ∈ A. Zeige: Für jedes ϵ > 0 existiert ein δ > 0 so, dass für jedes Element b ∈ A mit ∥b − a∥ < δ gilt, dass σ(b) in der ϵ-Umgebung von σ(a) liegt (d.h. für alle λ ∈ σ(b) existiert ein μ ∈ σ(a) mit |λ − μ| < ϵ).

2. Ist A kommutativ und unital und sind a_{1}, …, a_{n} ∈ A, so ist ⟨a_{1}, …, a_{n}, 1_{A}⟩_{C^{∗}} ∗-isomorph zu C(Ω) für eine kompakte Teilmenge Ω ⊆ ℂ^{n}.

3. Sei X ein kompakter Raum. Zeige:

(a) C(X) ist separabel (d.h. besitzt eine abzählbare dichte Teilmenge) genau dann, wenn die Topologie von X eine abzählbare Basis besitzt.

(b) C(X) = \overline{span}\{p ∈ C(X) | p Projektion\} genau dann, wenn X total unzusammenhängend ist (d.h. keine nichttriviale zusammenhängende Teilmenge besitzt).

4. Sei X ein kompakter Raum und x_{0} ∈ X. Sei B = {(f_{n})_{n∈ℕ} | f_{n} ∈ C(X) und (f_{n}(x_{0}))_{n} konvergiert}. Versehe B mit der (natürlichen) Struktur einer C^{∗}-Algebra und beschreibe das Spektrum von B.

5. Sei A unital. Zeige:

(a) Für jedes a ∈ A_{sa} ist exp(ia) unitär.

(b) Ist u ∈ A unitär und σ(u) nicht der gesamte Einheitskreis in ℂ, so existiert ein a ∈ A_{sa} mit exp(ia) = u.

(c) Es existiert eine unitale C^{∗}-Algebra B mit einem Unitären u ∈ B so, dass u ≠ exp(ib) für alle b ∈ B_{sa}.

6. Sei f ∈ C(ℝ) eine monoton wachsende Funktion und seien a, b ∈ A_{sa} mit ab = ba und a ≤ b. Zeige: f(a) ≤ f(b).

7. Sei A unital. Zeige: Jedes Element von A kann als Linearkombination von vier unitären Elementen geschrieben werden. (Hinweis: Löse das Problem zunächst für alle a ∈ A_{sa} mit ∥a∥ < 1.)

8. Gibt es eine C^{∗}-Algebra A mit Elementen a, b ∈ A_{+}, die ab ∉ A_{+} erfüllen?