Prof. Dr. Thomas Timmermann Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

5. Übung “Operatoralgebren”

Sei A eine C^{∗}-Algebra.

1. Sei H ein Hilbertraum und seien p, q ∈ L(H) Projektionen. Zeige: p ≤ q ⇔ pH ⊆ qH.

2. Seien a, b ∈ A_{sa} und ab = ba. Zeige: σ(a+b) ⊆ σ(a)+σ(b), σ(ab) ⊆ σ(a)σ(b).

3. Zeige: Für alle a, b ∈ A_{+} gilt σ(ab) ⊆ [0, ∞).

(Hinweis: Schreibe a = x^{∗}x, b = y^{∗}y mit x, y ∈ A; benutze Übungsblatt 1.)

4. Zeige: Für jedes a ∈ A_{+} existiert genau ein b ∈ A_{+} mit b^{2} = a.

(Bemerkung: Dieses Element b wird mit a^{1/2} bezeichnet.)

5. Sei a ∈ A normal und |a| = (a^{∗}a)^{1/2}. Zeige:

(a) Ist a ∈ A_{sa}, so ist |a| = a^{+} + a^{−}.

(b) Ist a ∈ Inv(A), so existiert genau ein unitäres u ∈ A mit a = u|a|.

(c) Es gibt eine C^{∗}-Algebra B mit einem normalen Element b ∈ B so, dass kein unitäres v ∈ B mit b = v|b| existiert. (Hinweis: Versuche B = C(𝕋), wobei 𝕋 = {z ∈ ℂ : |c| = 1}.)

6. Sei a ∈ Inv(A). Zeige: ∥a∥ = 1 = ∥a^{−1}∥ ⇔ a unitär.