Prof. Dr. Thomas Timmermann Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

6. Übung “Operatoralgebren”

Achtung: (a) Das Blatt hat 2 Seiten. (b) Bitte nicht vom langen Text vor den Aufgaben 4-7 abschrecken lassen — vieles davon ist eine einfache Erweiterung des

Vorlesungsstoffes.

1. Zeige: Die Algebra A = {(a_{ij})_{i,j} ∈ M_{n}(ℂ) | a_{ij} = 0 für i ≥ j} ⊂ M_{n}(ℂ) der strikt oberen Dreiecksmatrizen hat bzgl. keiner Norm eine approximative Eins.

2. Beweise Aussage ii) von Satz 2.40.

Sei A eine C^{∗}-Algebra. Ein Hilbert-C^{∗}-Modul über A ist ein Banachraum E mit einer sesquilinearen Abbildung E × E → A, (ξ, η) ↦ ⟨ξ|η⟩, und einer bilinearen Abbildung E × A → E, (ξ, a) ↦ ξa, die folgende Bedingungen erfüllen:

⟨ξ|η⟩^{∗} = ⟨η|ξ⟩,  ⟨ξ|ηa⟩ = ⟨ξ|η⟩a,  ∥ξ∥^{2} = ∥⟨ξ|ξ⟩∥,  ⟨ξ|ξ⟩ ≥ 0

für alle ξ, η ∈ E und a ∈ A. Für die Bearbeitung einiger Teilaufgaben wird die folgende Cauchy-Schwarz-Un-gleichung benötigt: ∥⟨ξ|η⟩∥^{2} ≤ ∥ξ∥^{2}∥η∥^{2} für alle ξ, η ∈ E. Leider können wir diese mit den bisherigen Mitteln noch nicht beweisen. Seien E, F Hilbert-C^{∗}-Module über A. Zwei Abbildungen T: E → F und S: F → E heißen adjungiert, falls ⟨ξ|T η⟩_{F} = ⟨Sξ|η⟩_{E} für alle ξ ∈ F, η ∈ E. Wir bezeichnen mit L_{A}(E, F) die Menge der Abbildungen von E nach F, zu denen eine adjungierte Abbildung von F nach E existiert, und setzen L_{A}(E) := L_{A}(E, E).

4. Zeige:

(a) (ξa)b = ξ(ab) für alle ξ ∈ E, a, b ∈ A.

(b) lim_{ν} ξu_{ν} = ξ für jede approximative Eins (u_{ν})_{ν} von A und alle ξ ∈ E.

(c) Jedes abgeschlossene Linksideal von A ist in natürlicher Weise ein Hilbert-C^{∗}-Modul über A.

5. Übertrage Theorem 2.38 ii), iii) von M(A) auf L_{A}(E, F) und zeige, dass L_{A}(E) in natürlicher Weise eine C^{∗}-Algebra und L_{A}(E, F) in natürlicher Weise ein Hilbert-C^{∗}-Modul über L_{A}(E) ist.

6. (a) Zeige: Für alle ξ ∈ F, η ∈ E sind die folgenden Abbildungen adjungiert: |ξ⟩⟨η|: E → F, ζ ↦ ξ⟨η|ζ⟩, und |η⟩⟨ξ|: F → E, ζ ↦ η⟨ξ|ζ⟩.

Sei K_{A}(E, F) := \overline{span}\{|ξ⟩⟨η| : ξ ∈ F, η ∈ E\}. Zeige:

(b) L_{A}(F)K_{A}(E, F)L_{A}(E) = K_{A}(E, F); insbesondere ist K_{A}(E) := K_{A}(E, E) ein abgeschlossenes Ideal in L_{A}(E).

(c) L_{A}(A) = M(A) und K_{A}(A) = L(A) ≡ A.

(d) Für jedes ξ ∈ E ist die Abbildung L_{ξ}: A → E, a ↦ ξa, ein Element von L_{A}(A, E), und K_{A}(A, E) = {L_{ξ} | ξ ∈ E}.

7. Sei E ein Hilbert-C^{∗}-Modul über C(X), wobei X ein kompakter Raum ist. Konstruiere eine Familie von Hilberträumen (E_{x})_{x∈X} und eine Einbettung j: E → ∏_{x∈X} E_{x}. (Hinweis: Betrachte für jedes x ∈ X die Sesquilinearform E × E → ℂ, (ξ, η) ↦ ⟨ξ|η⟩(x).)