Prof. Dr. Thomas Timmermann Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

7. Übung “Operatoralgebren”

1. Sei A eine C^{∗}-Algebra. Zeige:

(a) Für jedes zweiseitige abgeschlossene Ideal I ⊆ A gilt I^{∗} = I. (Hinweis: Verwende eine approximierende Eins für die C^{∗}-Algebra \overline{span} I^{∗}I.)

(b) Für je zwei zweiseitige abgeschlossene Ideale I, J ⊆ A gilt I ∩ J = \overline{span} IJ.

2. Setze die Äquivalenz von Kategorien aus Folgerung 2.12 durch Ausweitung auf größere Klassen von Morphismen fort zu einer Äquivalenz

\xymatrix{\begin{cases}lk. Hausdorff-Räume, \\ stetige Abbildungen \end{cases}\} \ar[d]^{F} \\ _{\begin{cases}kommutative C^{∗}-Algebren, \\ nichtdeg. ∗-Homomorphismen im Sinne von Def. 2.41 \end{cases}\}} \ar[u]^{Ω}}

3. Sei A eine unitale kommutative C^{∗}-Algebra und π: A → L(H) eine zyklische Darstellung. Zeige:

(a) Dann existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß μ auf Ω(A) und ein Unitäres

U: H → L(L^{2}(Ω(A), μ))

mit Uπ(A)U^{∗}f = γ_{A}(a)f (punktweise Multiplikation) für alle a ∈ A, f ∈ L^{2}(Ω(A), μ). (Hinweis: Verwende den Satz von Riesz, s. z.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Appendix C, Theorem C.18.)

(b) Ist π irreduzible, so ist dim H = 1 und π bezüglich der kanonischen Identifikation L(H) ≅ ℂ ein Charakter. (Hinweis: Beweise dies nach Möglichkeit ohne Verwendung des Satzes von Riesz.)

4. Sei A eine C^{∗}-Algebra und seien π: A → L(H) und π′: A → L(H′) Darstellungen mit zyklischen Vektoren ζ ∈ H, ζ′ ∈ H′. Beweise die Äquivalenz folgender Aussagen:

(a) Es existiert ein Intertwiner T ∈ L(H, H′) mit T ζ = ζ′.

(b) Es gibt ein C ≥ 0 mit ω_{ζ′} ≤ Cω_{ζ}, d.h. ω_{ζ′}(a) ≤ Cω_{ζ}(a) für alle a ∈ A_{+}.

5. Bestimme alle zyklischen Vektoren für die Darstellung M: A → L(L^{2}([0, 1], μ)) aus Beispiel 3.3 i) für A = L^{∞}([0, 1], μ) und für A = C([0, 1]).