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8. Übung “Operatoralgebren”

Achtung: Das Blatt hat 2 Seiten.

Sei A eine C^{∗}-Algebra.

1. Sei τ eine Spur auf A (d.h. ein positives Funktional mit τ(ab) = τ(ba) für alle a, b ∈ A) und π: A → L(H) eine zugehörige GNS-Darstellung mit zyklischem Vektor ζ. Zeige:

(a) Es existiert eine konjugiert-lineare isometrische Bijektion J: H → H mit Jπ(a)ζ = π(a)^{∗}ζ für alle a ∈ A.

(b) Es existieren eine C^{∗}-Algebra A^{op} und ein Banachraum-Isomorphismus A → A^{op}, a ↦ a^{op}, mit a^{op} · b^{op} = (ba)^{op} und (a^{op})^{∗} = (a^{∗})^{op} für alle a, b ∈ A.

(c) Die Abbildung τ^{op}: A^{op} → ℂ, a^{op} ↦ τ(a), ist eine Spur, und die Abbildung π^{op}: A^{op} → L(H), a^{op} ↦ Jπ(a)^{∗}J, ist eine GNS-Darstellung für τ^{op} mit zyklischem Vektor ζ.

(d) Für alle a, b ∈ A gilt π(a)π^{op}(b^{op}) = π^{op}(b^{op})π(a).

2. Sei n ∈ ℕ, ω ein positives Funktional auf der C^{∗}-Algebra A := M_{n}(ℂ) und π: A → L(H) eine zugehörige GNS-Darstellung mit zyklischem Vektor ζ. Wir nehmen an, dass π treu ist, und bezeichnen mit Tr: A → ℂ die normalisierte Spur. Zeige:

(a) Es gibt eine positive invertierbare Matrix δ ∈ A mit ω(a) = Tr(aδ) für alle a ∈ A.

(b) Für jedes t ∈ ℝ ist die Abbildung σ_{t}: A → A, a ↦ δ^{it}aδ^{−it}, ein ∗- Isomorphismus, und für alle s, t ∈ ℝ gilt σ_{s} ∘ σ_{t} = σ_{st}.

(c) Für jedes a ∈ A besitzt die Abbildung ℝ → A, t ↦ σ_{t}(a), genau eine komplex differenzierbare Fortsetzung ℂ → A, z ↦ σ_{z}(a).

(d) Es gilt ω(aa^{∗}) = ω(σ_{−i/2}(a)^{∗}σ_{−i/2}(a)) für alle a ∈ A.

(e) Es existiert eine konjugiert-lineare isometrische Bijektion J: H → H so, dass die Abbildung π^{op}: A^{op} → L(H), a^{op} ↦ Jπ(a)^{∗}J, eine GNS-Darstellung mit zyklischem Vektor ζ für die Abbildung ω^{op}: A^{op} → ℂ, a^{op} ↦ ω(A), ist.

3. Beweise Folgerung 3.18: Ist A kommutativ, so ist jede irreduzible Darstellung von A eindimensional und es gilt Ω(A) = P S(A).

4. Sei π: A → L(H) eine irreduzible Darstellung. Zeige:

(a) Für jedes abgeschlossene Ideal I ⊆ A gilt entweder I ⊆ ker π oder π|_{I}: I → L(H) ist irreduzibel.

(b) ker π ist ein Primideal, d.h. falls I_{1}, I_{2} ⊆ A Ideale sind und I_{1}I_{2} ⊆ ker π, so gilt I_{1} ⊆ ker π oder I_{2} ⊆ ker π.

5. Sei H ein Hilbertraum mit einer Orthonormalbasis (ξ_{i})_{i∈I}. Für jedes i, j ∈ I sei e_{ij} ∈ K(H) definiert durch e_{ij}ξ_{l} = ξ_{i}δ_{l,j} für alle l ∈ I. Ferner sei π: K(H) → L(K) eine irreduzible Darstellung. Zeige:

(a) \overline{span}\{e_{ij} | i, j ∈ I\} = K(H).

(b) dim π(e_{ii})K = 1 für jedes i ∈ I.

(c) Es existiert ein Unitäres U: H → K mit π(x) = UxU^{∗} für alle x ∈ K(H), und dieses Unitäre U ist eindeutig bis auf Multiplikation mit komplexen Zahlen von Betrag 1.