Prof. Dr. Thomas Timmermann Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

9. Übung “Operatoralgebren”

Sei H ein unendlich-dimensionaler Hilbertraum und L_{1}(H) ⊂ L(H) die Einheitskugel.

1. Beweise Satz 4.3 aus der Vorlesung: Auf L(H) gilt

Norm-Top. ^{≥} σ-starke Top. ^{≥}_{|∨}  starke Top._{|∨} σ-schwache Top. _{≥} schwache Top.

2. Beweise Satz 4.4 aus der Vorlesung:

(a) Auf L_{1}(H) ist σ-starke Top. = starke Top. ⪈ schwache Top. = σschwache Top.

(b) L_{1}(H) ist kompakt bzgl. der schwachen (und σ-schwachen) Topologie. (Hinweis: Benutze den Satz von Tychonoff.)

(c) L_{1}(H) ist abgeschlossen bzgl. aller Topologien aus Def. 4.1. Geht das auch ohne Verwendung von (b)?

3. Zeige: Jede stark konvergente Folge in L(H) ist norm-beschränkt und σstark konvergent. (Hinweis: Satz von Banach-Steinhaus.) Folgt daraus sofort, dass die starke und die σ-starke Topologie auf L(H) gleich sind?

4. In dieser Aufgabe wird gezeigt: Die Multiplikation L(H) × L(H) → L(H) ist bezüglich keiner Wahl von Topologien aus Definition 4.1 stetig. Sei W ⊆ L(H) eine σ-starke Umgebung der 0. Zeige:

(a) Es existiert ζ ∈ H mit sup_{T ∈W} ∥T ζ∥ = ∞. (Hinweis: Satz von Banach-Steinhaus.)

(b) Für jedes ξ ∈ H existieren S ∈ W und λ ∈ ℂ mit Sξ = λζ, λ ≠ 0.

(c) Für jedes ξ ∈ H ist sup_{S,T ∈W} ∥T Sξ∥ = ∞.

(d) Für alle η, ξ ∈ H ist sup_{S,T ∈W} |⟨η|T Sξ⟩| = ∞.

(e) Die Multiplikation L(H) × L(H) → L(H) ist nicht stetig bezüglich der σ-stark×σ-starken Topologie auf L(H)×L(H) und der schwachen Topologie auf L(H).

5. Sei M ⊂ L(H) eine von-Neumann-Algebra, H_{0} ⊂ H eine dichte Teilmenge, (T_{ν})_{ν} eine Netz in M und T ∈ L(H). Zeige: Wenn

lim_{ν}⟨η|T_{ν}ξ⟩ = ⟨η|T ξ⟩ und lim_{ν}⟨η|T_{ν}^{∗}ξ⟩ = ⟨η|T^{∗}ξ⟩ für alle η ∈ H, ξ ∈ H_{0},

dann gilt T ∈ M (Hinweis: Zeige, dass ⟨η|ST ξ⟩ = ⟨η|T Sξ⟩ für alle η, ξ ∈ H und S ∈ M′ gilt).

6. Sei (ξ_{n})_{n∈ℕ} eine Orthonormalbasis von H und T_{n} ∈ L(H) für jedes n ∈ ℕ definiert durch

T_{n}ξ_{2} = 2ξ_{2} − 3ξ_{3}, T_{n}ξ_{n} = −nξ_{2} + \frac{3}{2}nξ_{3}, T_{n}ξ_{i} = 0 für i ≠ 2, n.

Sei T ∈ L(H) definiert durch

T ξ_{2} = 2ξ_{2} − 3ξ_{3},  T ξ_{i} = 0 für i ≠ 2.

(a) Zeige: lim_{n} T_{n}ξ_{i} = T ξ_{i} für alle i.

(b) Sei S ∈ L(H) definiert durch Sξ_{1} = ∑_{n} ξ_{n}/n und Sξ_{i} = ξ_{1}/i für i > 1. Zeige, dass ST_{n} = T_{n}S für alle n ∈ ℕ, aber ⟨ξ_{2}|ST ξ_{1}⟩ ≠ ⟨ξ_{2}|T Sξ_{1}⟩.

(c) Zeige: T gehört nicht zur von-Neumann-Algebra, die von {T_{n} | n ∈ ℕ} erzeugt wird.