Prof. Dr. Thomas Timmermann Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

10. Übung “Operatoralgebren”

Seien H, K Hilberträume und M ⊆ L(H) eine von-Neumann-Algebra.

1. Zeige: Ein ∗-Homomorphismus π: M → L(K) ist normal, d.h. stetig bezüglich der σ-schwachen Topologien, genau dann, wenn ω ∘ π σ-schwach stetig ist für jedes ω ∈ L(K)_{∗}.

2. Zeige, dass die folgenden ∗-Homomorphismen normal sind:

(a) die Amplifikation diag: M → L(H^{ℕ} ), x ↦ diag(x);

(b) die Reduktion M → L(K), x ↦ x|_{K}, falls K ⊆ H ein M-invarianter abgeschlossener Unterraum ist;

(c) die unitäre Transformation Ad_{U}: M → L(K), x ↦ UxU^{∗}, wobei U: H → K unitär ist.

3. Sei (ξ_{n})_{n} eine Orthonormalbasis von H und x ∈ L^{1}(H). Zeige:

(a) Die Reihe ∑_{n} t_{ξ_{n},ξ_{n}} konvergiert σ-stark gegen id_{H}.

(b) ∑_{n}⟨ξ_{n}|xξ_{n}⟩ = Tr(x).

(c) L^{1}(H) ⊆ L(H) ist ein zweiseitiges Ideal.

(d) Tr(x^{∗}x) = Tr(xx^{∗}). (Hinweis: Benutze die Polarzerlegung von x.)

Frohe Weihnachten und ein gesundes neues Jahr!