Prof. Dr. Thomas Timmermann Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

11. Übung “Operatoralgebren”

Achtung: Das Blatt hat 2 Seiten.

Sei H ein Hilbertraum.

1. Sei u ∈ L(H) unitär. Zeige:

(a) Es existiert ein h ∈ ⟨u⟩_{vN} mit exp(ih) = u.

(b) Es existiert eine norm-stetige Abbildung v: [0, 1] → ⟨u⟩_{vN} mit v(0) = id_{H}, v(1) = u und v(t) unitär für alle t ∈ [0, 1].

2. Sei M ⊆ L(H) eine kommutative von-Neumann-Algebra und Ω(M) ihr Spektrum, definiert wie in §1.4. Zeige:

(a) Ist J ⊆ M ein σ-schwach abgeschlossenes Ideal, so ist {χ ∈ Ω(M) | χ|_{J} ≡ 0} ⊆ M gleichzeitig abgeschlossen und offen.

(b) Ist I ⊆ M ein norm-abgeschlossenes Ideal, so ist {x ∈ M | xI = 0} ein σ-schwach abgeschlossenes Ideal.

(c) Ω(M) ist ein Stone-Raum, d.h. der Abschluss jeder offenen Teilmenge von Ω(M) ist offen. (Hinweis: Benutze (b) und (a).)

3. Sei x ∈ L(H) selbstadjungiert und E seine Spektralschar. Zeige:

(a) x ist kompakt genau dann, wenn für jedes ϵ > 0 die Räume E((−∞, −ϵ]∩ σ(x))H und E([ϵ, ∞) ∩ σ(x))H endlich-dimensional sind.

(b) Für jedes λ ∈ σ(x) ist E({λ}) die Projektion auf den Teilraum {η ∈ H | xη = λη}.

(c) Ist H unendlich-dimensional und x kompakt, so existieren eine Nullfolge (λ_{n})_{n} von Eigenwerten von x und eine Folge (p_{n})_{n} von paarweise orthogonalen Projektionen von Rang 1 mit x = ∑_{n} λ_{n}p_{n}.

4. Seien x, y ∈ L(H) normal und (x, y) ∈ L(H⊕H) gegeben durch (x, y)(η, ξ) = (xη, yξ) für alle (η, ξ) ∈ H ⊕ H. Ferner sei

C_{x} := ⟨x, 1⟩_{C^{∗}},  C_{y} := ⟨y, 1⟩_{C^{∗}},  C_{x,y} := ⟨(x, y), 1⟩_{C^{∗}}.

Zeige:

(a) σ((x, y)) = σ(x) ∪ σ(y).

(b) Ist σ(x)∩σ(y) = ∅, so existieren f, g ∈ C(σ(x, y)) mit f((x, y)) = (x, 0) und g((x, y)) = (0, y).

(c) Enthält σ(x)∩σ(y) ein Element λ, so existieren genau ein χ ∈ Ω(C_{x,y}) mit χ((x, y)) = λ und genau zwei χ ∈ Ω(C_{x} ⊕ C_{y}) mit χ((x, y)) = λ.

(d) Es gilt C_{x,y} = C_{x} ⊕ C_{y} genau dann, wenn σ(x) ∩ σ(y) = ∅.

5. Sei (λ_{n})_{n} eine dichte Folge im Einheitskreis S^{1} ⊆ ℂ, sei (ξ_{n})_{n∈ℤ} die kanonische Basis von l^{2}(ℤ) und seien x, y ∈ L(l^{2}(ℤ)) gegeben durch xξ_{n} = ξ_{n+1} und yξ_{n} = λ_{n}ξ_{n} für alle n ∈ ℤ. Zeige:

(a) x und y sind unitär und σ(x) = S^{1} = σ(y).

(b) ⟨(x, y), 1⟩_{C^{∗}} ≅ C(S^{1}) und ⟨x, 1⟩_{C^{∗}} ⊕ ⟨y, 1⟩_{C^{∗}} ≅ C(S^{1}) ⊕ C(S^{1}).

(c) Es gibt kein a ∈ L(H) mit ay = xa außer a = 0.

(d) ⟨(x, y)⟩′_{vN} = ⟨x⟩′_{vN} ⊕ ⟨y⟩′_{vN}.

(e) ⟨(x, y)⟩_{vN} = ⟨x⟩_{vN} ⊕ ⟨y⟩_{vN}.