Prof. Dr. Thomas Timmermann Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

12. Übung “Operatoralgebren”

Sei H ein Hilbertraum und M ⊆ L(H) ein Faktor.

1. Sei M vom Typ I. Zeige:

(a) Sind p, q ∈ M minimale Projektionen, so sind p und q zueinander äquivalent und pMq hat Dimension 1.

(b) Für jede Projektion p in M existiert eine Familie paarweise orthogonaler minimaler Projektionen (p_{ν})_{ν} mit ∑_{ν} p_{ν} = p. (Hinweis: Lemma von Zorn und Vergleichbarkeitssatz.)

(c) Es existiert eine Indexmenge I und eine Familie partieller Isometrien (v_{μν})_{μ,ν∈I}, deren lineare Hülle in M σ-schwach dicht ist und die für alle μ, ν, κ, λ ∈ I folgende Bedingungen erfüllt:

v_{μν}^{∗} = v_{νμ},  v_{μν}v_{κλ} = δ_{ν,κ}v_{μλ},  ∑_{ν} v_{νν} = 1_{M}.

(Hinweis: Wende (b) auf p = 1 an und verwende dann (a).)

(d) M ≅ L(l^{2}(I)). (Hinweis: Bette l^{2}(I) in H als M-invarianten Unterraum ein.)

(e) Konstruiere eine Dimensionsfunktion auf M.

2. Sei M vom Typ II und sei p ∈ M eine Projektion. Zeige:

(a) Es gibt äquivalente orthogonale Projektionen p_{1}, p_{2} mit p = p_{1} + p_{2}. (Hinweis: Sei (p_{ν,i})_{ν}^{i=1,2} eine maximale Familie paarweise orthogonaler Projektionen mit p ≥ p_{ν,1} ∼ p_{ν,2} ≤ p für alle ν. Ist q := p − ∑_{ν,i} p_{ν,i} nicht 0, so existiert eine Projektion q′ < q mit q′ ≠ 0 und q − q′ ⪯ q′ oder q′ ⪯ q − q′.)

(b) Für jedes n existiert eine Familie paarweise äquivalenter und paarweise orthogonaler Projektionen (p_{k})_{k=1}^{2^{n}} mit ∑_{k=1}^{2^{n}} p_{k} = p.

(c) Ist d eine Dimensionsfunktion auf M, so ist d(M) = [0, d(1_{M})]. (Hinweis: Beachte, dass 1_{M} nicht unbedingt endlich ist.)

3. Sei M vom Typ III und seien p, q ∈ M \ {0} Projektionen. Zeige:

(a) Ist p ∼ q + r für eine zu q orthogonale Projektion r ∈ M, so existiert eine Projektion r′ ∈ M mit r′ < r und p ∼ q + r′.

(b) p ∼ q. (Hinweis: Verwende (a) und das Lemma von Zorn.)