Prof. Dr. Thomas Timmermann Zimmer: 221 – Tel.: 943 2770 – Email: Thomas.Timmermann@mathematik.uni-regensburg.de

13. Übung “Operatoralgebren”

1. Zeige:

(a) Jeder Untergruppe einer diskreten mittelbaren Gruppe ist mittelbar.

(b) Ist G eine diskrete Gruppe und N ⊆ G ein Normalteiler, dann gilt: G ist mittelbar genau dann, wenn N und G/N mittelbar sind.

(c) Ist G eine diskrete Gruppe und (G_{k})_{k} ein monoton wachsendes Netz von mittelbaren Untergruppen mit G = ⋃_{k} G_{k}, so ist G mittelbar. (Hinweis: Wähle erst für jedes k ein Mittel m_{k} auf G_{k} und dann einen schwach-∗-Häufungspunkt der Zustände f ↦ m_{k}(f|_{G_{k}}) auf l^{∞}(G).)

2. Seien A und B zwei C^{∗}-Algebren und A ⊙ B ihr algebraisches Tensorprodukt, versehen mit der natürlichen ∗-Algebra-Struktur. Zeige:

(a) Es gibt eine Norm ∥ · ∥_{u} auf A ⊙ B mit

∥x∥_{u} = sup{∥π(x)∥ | C ist eine C^{∗}-Algebra,

π: A ⊙ B → C ein ∗-Homomorphismus}

für alle x ∈ A ⊙ B.

(b) Es gibt genau eine C^{∗}-Algebra-Struktur auf der Vervollständigung A ⊗_{u} B von A ⊙ B bezüglich ∥ · ∥_{u}, bezüglich derer die kanonische Abbildung A ⊙ B → A ⊗_{u} B ein ∗-Homomorphismus ist.

(c) Gilt A = C^{∗}(G) und B = C^{∗}(H) für diskrete Gruppen H und G, so existiert genau ein Isomorphismus von C^{∗}-Algebren C^{∗}(H)⊗_{u}C^{∗}(G) ≅ C^{∗}(H×G) mit λ(x)⊙λ(y) ↦ λ((x, y)) für alle x ∈ G, y ∈ H. (Hinweis: Benutze die universellen Eigenschaften der jeweiligen C^{∗}-Algebren.)

3. Sei G eine diskrete Gruppe und m: C_{0}(G) → L(l^{2}(G)) die Multiplikationsdarstellung, gegeben durch

(m(f)ξ)(x) = f(x)ξ(x) für alle f ∈ C_{0}(G), ξ ∈ l^{2}(G), x ∈ G.

Bestimme für alle x, y ∈ G den Operator m(δ_{x})λ(y) und zeige:

\overline{span} C_{0}(G)C_{r}^{∗}(G) = K(l^{2}(G)).