Seminar “Darstellungen endlicher Gruppen”, Sommersemester 2009

Dr. Thomas Timmermann

(Raum: 415, Tel.: 8332724, Email: timmermt@uni-muenster.de)

24. März 2009

Organisatorisches und Inhalt

Studiengang: (2-Fach)Bachelor und Lehramt

Zeit und Ort: vom 14.4. bis 26.5. dienstags von 8 bis 10 im SR 4 sowie am 9. und 10. Mai (genauere Planung folgt)

Vorbesprechung: am Mittwoch, den 11. Februar 2009, von 10 bis 12 im Hörsaal M4

Inhalt: Endliche Gruppen treten in natürlicher Weise als Symmetriegruppen von geometrischen Figuren auf. Wendet man solche Symmetrien nicht nur auf die Figur, sondern auf den gesamten umgebenden Raum an, erhält man eine Darstellung der Symmetriegruppe. Solche Darstellungen treten in vielen Bereichen der Mathematik, aber auch in der Physik und der Kristallographie auf.

In dem Seminar sollen die Grundzüge der Darstellungstheorie endlicher Gruppen erarbeitet werden. Schwerpunkte sind dabei eine Einführung in die Gruppentheorie, die Veranschaulichung der Theorie an einfachen Beispielen und die Charaktertheorie.

Vorkenntnisse: lineare Algebra

Hinweise zur Vorbereitung

Was ist das Ziel des Seminars? Die Teilnehmer sollen

• sich jeweils ein mathematisches Gebiet mit Unterstützung des Seminarleiters aneignen und

• die wichtigsten Inhalte den anderen Teilnehmern im Rahmen eines Vortrages beibringen.

Wie bereitet man einen Vortrag vor? Der folgende Plan gibt Ihnen ein paar Hinweise:

1. Stoff sichten und durchdringen (ab etwa 3 Wochen vor dem Vortrag)

(a) Inhalt und Literatur für den Vortrag sind jeweils stichpunktartig vorgegeben, sollten aber gleich zu Beginn kurz besprochen werden.

(b) Fragen zum Inhalt können wir je nach Umfang per Email, beim Seminar oder in einer Besprechung klären.

(c) Beachten Sie: Bevor Sie den Zuhörern einen Sachverhalt beibringen können, müssen Sie ihn selbst verstanden haben. Um Fragen beantworten zu können, benötigen Sie eventuell zusätzliches Hintergrundwissen.

2. Stoffauswahl (ab etwa 3 Wochen vor dem Vortrag)

(a) Entwickeln Sie eine hierarchische Gliederung des Vortrags. Dabei hilft folgendes Vorgehen: Fassen Sie das Ziel des Vortrags in zwei bis drei Sätzen zusammen, unterteilen Sie den Vortrag in Abschnitte und fassen Sie das Ziel von jedem Abschnitt wieder in zwei bis drei Sätzen zusammen. Dann gliedern Sie jeden Abschnitt in Definitionen, Beispiele und Sätze, deren Inhalt Sie mit jeweils einem Satz zusammenfassen.

(b) Suchen Sie zur Veranschaulichung des Stoffes — insbesondere von Definitionen, aber auch (zur Anwendung von) Sätzen — nach Beispielen und Gegenbeispielen.

(c) Überdenken Sie die Reihenfolge, in der Sie die Definitionen, Beispiele und Sätze anordnen.

(d) Beschränken Sie sich auf die wesentlichen Kernpunkte des Vortrags und versuchen Sie, diese möglichst gut zu erklären. Überfordern Sie die Zuhörer weder durch zu viele Details wie langwierige Rechnungen noch durch zu viel Stoff.

3. Besprechung der Stoffauswahl (etwa 2 Wochen vor dem Vortrag) Bringen Sie zur Besprechung der Stoffauswahl eine erste schriftliche Gliederung entsprechend der Hinweise in 2(a) mit.

4. Planung des Vortrags (ab etwa 2 Wochen vor dem Vortrag)

(a) Suchen Sie aus, was Sie an die Tafel schreiben — dazu gehören alle Definitionen, Sätze und Beweise sowie die meisten Beispiele. Formulieren Sie dieses dann genau aus und planen Sie das Tafelbild. Weil Anschreiben viel Zeit kostet, sollten Sie auf lange Sätze verzichten und knapp formulieren.

(b) Suchen Sie aus, was Sie nur sagen und nicht anschreiben — dazu gehören Zusammenfassungen, Erläuterungen oder ganz einfache Beispiele. In solchen Schreibpausen können Sie sich von der Tafel lösen, den Zuhörern zuwenden und verhindern, dass der Kontakt zu den Zuhörern abreisst.

(c) Planen Sie Ihren Vortrag flexibel, damit Sie auf Fragen und eventuelle Zeitknappheit reagieren können. Welche Details wollen Sie auslassen und nur auf Nachfrage erklären? Welche können Sie bei Zeitknappheit weglassen? Setzen Sie die wichtigsten Ergebnisse nicht an den Schluss, sonst kommen diese womöglich wegen Zeitknappheit oder Ermüdung der Zuhörer zu kurz.

(d) Wie können Sie die Zuhörer einbeziehen? Bereiten Sie einfache Verständnisfragen an die Zuhörer vor, etwa zu Beispielen oder im Anschluss an Definitionen.

(e) Wie ordnet sich der Vortrag in das gesamte Seminar ein? Stellen Sie den Bezug zu anderen Vorträgen her.

5. Probevortrag Halten Sie Ihren Vortrag probeweise, am Besten mit Zuhörern!

6. Besprechung des Vortrags (etwa 1 Woche vor dem Vortrag)

Bringen Sie zur Besprechung des Vortrags die genaue Ausarbeitung dessen, was Sie anschreiben und was Sie sagen wollen, mit.

7. Vortrag halten

(a) Sprechen Sie nicht nur an die Tafel, sondern stellen Sie Kontakt zu den Zuhörern her, etwa durch Augenkontakt, Fragen und Schreibpausen (siehe 4(b) und 4(d)), Bezugnahme auf andere Vortragende (siehe 4(e)) und Ermunterung zu Fragen.

(b) Schreiben Sie sorgfältig und sprechen Sie laut und deutlich.

(c) Lassen Sie sich nicht verunsichern und bleiben Sie ruhig. Ein Seminarvortrag ist keine Prüfungssituation! Wenn Sie eine Frage nicht beantworten können, geben Sie das offen zu — dann versuchen wir, die Frage gemeinsam zu beantworten.

Wie verhalten Sie sich als Zuhörer? Sie sollten stets nachfragen, wenn eine Formulierung oder ein Sachverhalt unklar ist oder Ihnen einfach eine Frage auffällt. Dabei brauchen Sie nicht zu befürchten, den Vortragenden “bloßzustellen” — Fehler können jedem passieren, und wenn der Vortragende eine Frage nicht beantworten kann, gilt 7(c). Wonach richtet sich die Bewertung? Sie sollen keine perfekte und glatte Präsentation abliefern, sondern sich bemühen, den anderen Teilnehmern etwas beizubringen. Deswegen werden unter anderem die Vorbereitung des Vortrags, die didaktische Aufbereitung des Stoffes, das Bemühen um den Kontakt zu den Zuhörern, der Umgang mit Fragen und natürlich die fachliche Durchdringung des Stoffes bewertet.

Geplante Vorträge:

1. Gruppen und Homomorphismen 14.4. Patrizia Kutzera Wiederholung der Gruppenaxiome; Beispiele: zyklische Gruppen, Permutationsgruppen, Symmetriegruppen von Figuren, Matrixgruppen, abelsche Gruppen, Vektorräume bzgl. Addition; Wiederholung Gruppenhomomorphismen; Beispiele: innere Automorphismen, Determinante, Signum einer Permutation, evt. Homomorphismen zwischen zyklischen Gruppen; Kern eines Homomorphismus; Wiederholung Untergruppen, Nebenklassen und Normalteiler; Beispiele; Definition von Quotientengruppen und Beweis des Isomorphiesatzes für Homomorphismen

Literatur: Auszüge aus [bogopolski, I.1–I.3] und [simon]

2. Grundlagen zu Darstellungen 21.4. Reinhold Buchmüller Definition von Darstellungen auf einem Vektorraum, Abbildungen und Äquivalenz von Darstellungen (Intertwiner), Unterdarstellungen und irreduziblen Unterdarstellungen; Beispiele: reguläre Darstellung und Gruppenalgebra, Darstellungen von Permutationsgruppen mittels Permutationsmatrizen, Darstellungen der ax + b-Gruppe, Beispiele für invariante Unterräume etc. finden; Lemma von Schur

Literatur: Auszüge aus [simon, II.1–II.4] und [serre, 1.2]

3. Darstellungen von zyklischen Gruppen und Diedergruppen 5.5. Margaretha Wessel Darstellungen von abelschen Gruppen; Darstellungen von zyklischen Gruppen; Beschreibung der Diedergruppe durch Erzeuger und Relationen und als Untergruppe der Permutationsgruppe; Darstellungen der Diedergruppe; evt. Darstellungen von Untergruppen vom Index 2

Literatur: [serre, 5.1, 5.3] und evt. Auszüge aus [simon, III.11]

4. Zerlegung in irreduzible Darstellungen 9.5. Katharina Hermann Wiederholung: direkte Summe von Vektorräumen und von Darstellungen; Zerlegung einer Darstellung in irreduzible Unterdarstellungen; Beispiel: Zerlegung der regulären Darstellung für zyklische Gruppen, evt. für die Diedergruppen; unitäre Darstellungen; jede Darstellung ist zu einer unitären äquivalent und zweiter Beweis der Zerlegbarkeit in irreduzible Unterdarstellungen

Literatur: Auszüge aus [simon, II.2] und evt. [serre, 1.3 Theorem 1]

5. Duales und Tensorprodukte 9.5. Kristina Laukamp Wiederholung: dualer Vektorraum, duale Abbildung und duale Darstellung, insbesondere für Hilberträume; Diagonalisierbarkeit des Dualen einer diagonalisierbaren Abbildung; Tensorprodukt von Vektorräumen, Abbildungen und Darstellungen; Diagonalisierbarkeit des Tensorproduktes diagonalisierbarer Abbildungen; Assoziativität und Distributivität des Tensorproduktes; Begriff des Darstellungsringes einer Gruppe Literatur: Auszüge aus [brocker, §VII], [serre, 1.5–1.6]

6. Charaktere von Darstellungen 9.5. Veronique Hüntler Wiederholung der Spur einer Matrix und einer linearen Abbildung; Zusammenhang mit Eigenwerten; Charakter einer Darstellung; Beispiele: Charakter einer Permutationsdarstellung, der regulären Darstellung, der Symmetriegruppe eines regelmäßigen Dreiecks, der Darstellungen der Diedergruppen; Charaktere von direkten Summen, Dualen und Tensorprodukten Literatur: [serre, 2.1–2.2]

7. Die Orthogonalitätsrelationen für Charaktere 9.5. Christiane Gardner Literatur: Dieser Vortrag soll recht genau den Abschnitt [fulton, §2.2] wiedergeben.

8. Dimensionssatz 10.5. Anja Brinkhus Literatur: Dieser Vortrag soll recht genau den Abschnitt [simon, §III.4] wiedergeben.

9. Darstellungen kleiner Permutationsgruppen 10.5. Agnes Kansy Bestimmung der irreduziblen Darstellungen von S_{3}, A_{4}, S_{4} und ihrer Charaktere Literatur: [fulton, 2.3] und [miller, S. 89-92]

10. Irreduzible Darstellungen von SU_{2} 12.5. Beate Dust Bestimmung der irreduziblen Darstellungen von SU_{2} und der zugehörigen Charaktere; Zerlegung des Tensorproduktes solcher Darstellung in irreduzible Literatur: [dieck, §II.5 (5.1)-(5.5)]

11. Die Darstellungen der Permutationsgruppen 19.5. Carola Heinrich Young-Tableaus und assoziierte Darstellung der Permutationsgruppe S_{d}; explizite Beschreibung im Fall d = 3; evt. Frobenius-Formel für die Dimension der assoziierten Darstellung Literatur: [fulton, 4.1]

Literatur

[bogopolski] Oleg Bogopolski. Introduction to group theory. EMS Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2008. Translated, revised and expanded from the 2002 Russian original.

[brocker] Theodor Bröcker. Lineare Algebra und analytische Geometrie. Grundstudium Mathematik. [Basic Study of Mathematics]. Birkhäuser Verlag, Basel, 2003. Ein Lehrbuch für Physiker und Mathematiker. [A textbook for physicists and mathematicians].

[dieck] Theodor Bröcker and Tammo tom Dieck. Representations of compact Lie groups, volume 98 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995. Translated from the German manuscript, Corrected reprint of the 1985 translation.

[fulton] William Fulton and Joe Harris. Representation theory, volume 129 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1991. A first course, Readings in Mathematics.

[miller] Willard Miller, Jr. Symmetry groups and their applications. Academic Press, New York, 1972. Pure and Applied Mathematics, Vol. 50.

[serre] Jean-Pierre Serre. Lineare Darstellungen endlicher Gruppen. Akademie-Verlag, Berlin, 1972. In deutscher Sprache aus dem französischen übersetzt und herausgegeben von Günter Eisenreich.

[simon] Barry Simon. Representations of finite and compact groups, volume 10 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.