Vorkenntnisse ¶

Grundkenntnisse in Topologie, Maßtheorie und C*- beziehungsweise von Neumann-Algebren

Inhalt ¶

Klassisch versteht man unter einem dynamischen System einen Zustandsraum (glatt/topologisch/messbar/…) mit einer gegebenen Zeitentwicklung (diskret/kontinuierlich/…). Von großem Interesse ist dabei das Langzeitverhalten: Nähert sich das System asymptotisch gewissen Grenzzuständen an? gibt es periodisch wiederkehrende Zustände? Wird in gewissem Sinn jeder Zustand einmal angenommen?

Solche klassische dynamische Systeme – genauer, topologische oder messbare mit diskreter Zeitentwicklung – werden im ersten Teil der Vorlesung behandelt. Im Vordergrund stehen dabei klassische Rekurrenz- und Ergodizitätssätze und einfache, aber überraschende Anwendungen auf die Zahlentheorie.

Im zweiten Teil der Vorlesung betrachten wir allgemeiner dynamische Systeme als Wirkungen von Gruppen auf Räumen oder Algebren und untersuchen zugeordnete Operatoralgebren wie verschränkte Produkte. Mögliche Schwerpunkte für diesen Teil der Vorlesung sind die Konstruktion von Faktoren aller Typen, der Begriff der Orbitäquivalenz oder Gruppoide.

Literatur ¶

Die angegebene Literatur ist i.d.R. im Semesterapparat in der Bibliothek zugänglich.

• M. Brin and G. Stuck. Introduction to dynamical systems. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
• M. G. Nadkarni. Basic ergodic theory. Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher. [Birkhäuser Advanced Texts: Basel Textbooks]. Birkhäuser Verlag, Basel, second edition, 1998.
• M. Pollicott and M. Yuri. Dynamical systems and ergodic theory, volume 40 of London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
• M. Takesaki. Theory of operator algebras. II, volume 125 of Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer-Verlag, Berlin, 2003. Operator Algebras and Non-commutative Geometry, 6.
• J. Tomiyama. Invitation to C* -algebras and topological dynamics, volume 3 of World Scientific Advanced Series in Dynamical Systems. World Scientific Publishing Co., Singapore, 1987.
• P. Walters. An introduction to ergodic theory, volume 79 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1982.