Inhalt ¶

Neben ihren jeweiligen Besonderheiten haben die Teilgebiete der Mathematik zahlreiche Gemeinsamkeiten: Meist

• möchte man eine gewisse Klasse von Objekten (Gruppen, topologische Räume, C*-Algebren, ...) und ihre Abbildungen (Homomorphismen, stetige Abbildungen, *-Homomorphismen, ...) besser verstehen;
• erkennt, dass diese Klasse von Objekten eine ganze Reihe natürlicher Konstruktionen wie die Bildung von Quotienten, Produkte, Limiten etc. mit gewissen universellen Eigenschaften zulässt;
• und assoziiert zu den Objekten verschiedenste Invarianten (Homologiegruppen, K-Gruppen, ....), die eine Klassifikation der Objekte oder zumindest die Beantwortung zahlreicher Fragestellungen ermöglichen.

Die Kategorientheorie untersucht diese strukturellen Aspekte der Mathematik von einem abstrakten Standpunkt aus und bietet eine präzise Sprache, mit Hilfe derer sich augenscheinlich komplexe Sachverhalte klar und übersichtlich darstellen lassen.

Die Vorlesung vermittelt zunächst die Grundbegriffe der Kategorientheorie (Kategorien, Funktoren, natürliche Transformationen, (Ko-)Limiten, darstellbare und adjungierte Funktoren). Dabei werden zahlreiche konkrete Beispiele aus den verschiedensten Gebieten der Mathematik betrachtet. Anschließend folgen je nach Hörerkreis weiterführende Themen (beispielsweise monoidale Kategorien, abelsche Kategorien, abgeleitete Funktoren).

Skript ¶

[DVI] [PDF]

Übungen ¶

• Übungsblatt 11 für den 26.01.2012
• Übungsblatt 10 für den 19.01.2012
• Übungsblatt 9 für den 15.12.2011
• Übungsblatt 8 für den 08.12.2011
• Übungsblatt 7 für den 01.12.2011
• Übungsblatt 6 für den 24.11.2011
• Übungsblatt 5 für den 17.11.2011
• Übungsblatt 4 für den 10.11.2011
• Übungsblatt 3 für den 03.11.2011
  siehe auch “Mehr konkrete Anwendungen des Yoneda-Lemmas"
• Übungsblatt 2 für den 27.10.2011
• Übungsblatt 1 für den 20.10.2011
• Lösung zu Aufgabe 4

Literatur ¶

Die angegebene Literatur ist i.d.R. im Semesterapparat in der Bibliothek zugänglich.

1. M. Barr. Acyclic models, volume 17 of CRM Monograph Series.
   American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.
2. F. Borceux. Handbook of categorical algebra. 1, volume 50 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications.
   Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
   Basic category theory.
3. M. Kashiwara and P. Schapira. Categories and sheaves, volume 332 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences].
   Springer-Verlag, Berlin, 2006.
4. S. Mac Lane. Categories for the working mathematician, volume 5 of Graduate Texts in Mathematics.
   Springer-Verlag, New York, second edition, 1998.