Kategorientheorie

Wintersemester 2011/12 Universität Münster

Dr. Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de

10. April 2012

Ich bedanke mich bei Jan Ruske und Steffen Tillmann für zahlreiche Hinweise auf Unklarheiten und Fehler.

Inhaltsverzeichnis

I Grundlagen 1

1 Kategorien 1

2 Funktoren 3

3 Natürliche Transformationen 5

II Universelle Eigenschaften 9

4 Einführung 9

5 Darstellbare Funktoren und die Yoneda-Einbettung 12 5.1 Darstellbare Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.2 Das Yoneda-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.3 Die Yoneda-Einbettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.4 Natürlichkeit der Yoneda-Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Adjungierte Funktoren 18 6.1 Definition, Beispiele und Zusammenhang zu Darstellbarkeit . . . . . . 18 6.2 Eins und Koeins einer Adjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7 Limites und Kolimites 25 7.1 Definition und erste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7.2 (Ko-)Limites als Darstellungen von Funktoren . . . . . . . . . . . . . . 31 7.3 Stetigkeit und Kostetigkeit von Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7.4 (Ko-)Limites in Kategorien von Funktoren . . . . . . . . . . . . . . . . 37

III Kategorien mit Zusatzstruktur 40

8 Monoidale Kategorien 40 8.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.2 Monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 8.3 Monaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 8.4 Das universelle Monoid in der Kategorie Δ . . . . . . . . . . . . . . . . 47 8.5 Simpliziale Homologietheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 iii

Teil I

Grundlagen

1 Kategorien

Man studiert einer Klasse von Objekten stets mit den zugehörigen Abbildungen.

Definition 1.1. Eine Kategorie C besteht aus

• einer Klasse Ob(C) von sogenannten Objekten, (wir schreiben auch A ∈ C im Fall A ∈ Ob(C))

• einer Menge Hom(A,B) von sogenannten Morphismen für je zwei A,B ∈ C,

(wir schreiben auch A ⟶^{f} B oder f: A → B im Fall f ∈ Hom(A,B))

• einer Abbildung Hom(B,C) × Hom(A,B) → Hom(A,C), (f,g) ↦ f ∘ g = fg für je drei A,B,C ∈ C,

• einem Morphismus 1_{A}∈ Hom(A,A) für jedes A ∈ C,

die folgende Bedingungen erfüllen:

i) (Assoziativität) für alle Tripel von Morphismen A ⟶^{f} B ⟶^{g} C ⟶^{h} D in C gilt (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f);

ii) (Unitalität) für jeden Morphismus A ⟶^{f} B in C gilt 1_{B}∘ f = f = f ∘ 1_{A}.

Bemerkung 1.2. • Wir unterscheiden zwischen (kleinen) Mengen und (großen) Klassen; kümmern uns aber so wenig wie möglich um mengentheoretische Grundlagen.

• Wir nennen eine Kategorie klein, falls ihre Objekte eine Menge bilden.

• Manchmal lässt man zu, dass die Morphismen zwischen zwei Objekten eine Klasse statt einer Menge bilden, und nennt Kategorien im obigen Sinn lokal-klein.

• Wir nehmen Hom(A,B) ∩ Hom(C,D) = ∅ im Fall (A,B) ≠ (C,D) an (o.B.d.A.).

Wir sprechen von kommutativen Diagrammen in Kategorien, z.B.:

\xymatrix{A \ar[r]^{f} \ar[d]_{k} & B \ar[r]^{g} & C \ar[d]^{h} \\ E \ar[rr]^{l} & & D} kommutiert ⇔ lk = hgf.

Die Welt ist übersät mit Kategorien mathematischer Strukturen:

Beispiele 1.3. Kategorie  Objekte  Morphismen (Set)  Mengen  Abbildungen (Set)_{∗}  Mengen mit  Abbildungen, die das einem fixierten Element fixierte Element bewahren (Ring)  Ringe  Ringhomomorphismen (Top)  top. Räume  stetige Abbildungen (hTop)  top. Räume  Homotopie-Klassen stetiger Abbildungen

Hierbei ist die Verknüpfung von Morphismen jeweils wie gewöhnlich definiert. Definition 1.4. Ein Morphismus A ⟶^{f} B in einer Kategorie heißt Isomorphismus, falls es ein B ⟶^{g} A gibt mit f ∘ g = 1_{B} und g ∘ f = 1_{A}. In dem Fall ist g eindeutig bestimmt und wird mit f^{−1} bezeichnet, und A und B heißen dann isomorph, geschrieben A ≅ B. Spezielle Kategorien entsprechen bekannten mathematischen Strukturen: Beispiele 1.5. Eine kleine Kategorie ...

i) mit genau einem Objekt entspricht einem Monoid (die Morphismen bezüglich der Verknüpfung);

ii) mit genau einem Objekt, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist, ent-

spricht einer Gruppe; iii) mit der Eigenschaft

|Hom(A,B)| ≤ 1 und A ≅ B ⇒ A = B für alle Objekte A,B entspricht einer Halbordnung (die Objekte bezüglich A ≤ B:⇔ |Hom(A,B)| = 1).

Neue Kategorien kann man auf unzählige Arten und Weisen konstruieren: Beispiele 1.6. i) Zu jeder Kategorie C gibt es eine duale Kategorie C^{op} mit

• denselben Objekten: Ob(C^{op}) = Ob(C),

• den umgekehrten Morphismen: Hom_{C^{op}}(A,B) = Hom_{C}(B,A) für alle A,B,

• der umgedrehten Verknüpfung von Morphismen. Jede Definition/Aussage zu Kategorien impliziert eine duale Definition/Aussage.

ii) Zu je zwei Kategorien C,D gibt es eine Produktkategorie C × D mit • Ob(C × D) = Ob(C) × Ob(D),

• Hom((A,B),(E,F)) = Hom_{C}(A,E) × Hom_{D}(B,F),

• der komponentenweisen Verknüpfung von Morphismen. iii) Zu jeder Kategorie C und jedem X ∈ C gibt es eine Kategorie C/_{X}:

• Objekte sind alle Morphismen A ⟶^{f} X;

• Morphismen zwischen A ⟶^{f} X und B ⟶^{g} X sind alle kommutativen Dreiecke

\xymatrix{A \ar[rr]^{h} \ar[dr]_{f} &  & B \ar[dl]^{g} \\  & X,}

mit der offensichtlichen Verknüpfung. Dual dazu gibt es eine Kategorie X/_{C} aller Morphismen X ⟶^{f} A.

2 Funktoren

• Betrachtet man gewissen Objekten zugeordnete – Darstellungen,

– Invarianten (Homologie-Theorie, K-Theorie, …),

– Konstruktionen ((Tensor-)Produkte, Quotienten, …), so induzieren Morphismen der Objekte meist Morphismen der zugeordneten Darstellungen/Invarianten/….

• Kleine Kategorien bilden selbst eine Kategorie! Was sind die Morphismen? Definition 2.1. Seien C,D Kategorien. Ein (kovarianter) Funktor F : C → D besteht aus Zuordnungen

i) Ob(C) → Ob(D), A ↦ F (A) = FA, und ii) Hom_{C}(A,B) → Hom_{D}(FA,F B), f ↦ F (f) = F f, für alle A,B ∈ C,

die folgende Bedingungen erfüllen:

• für alle A ∈ C gilt F 1_{A}= 1_{FA},

• für alle Morphismen A ⟶^{f} B ⟶^{g} C in C gilt F (g ∘ f) = F (g) ∘ F (f).

Dabei heißt F treu / voll / volltreu, falls die Zuordnungen in ii) jeweils alle injektiv / surjektiv / bijektiv sind. Ein (treuer/...) kontravarianter Funktor F : C → D ist ein (treuer/...) kovarianter Funktor C^{op} → D (bzw. äquivalent C → D^{op}).

Konstruktion 2.2. Funktoren kann man in offensichtlicher Weise verknüpfen und für jede Kategorie gibt es einen Identitäts-Funktor. Daher bilden alle kleinen Kategorien mit ihren Funktoren eine Kategorie (Cat).

Beispiele 2.3. i) Eine Unterkategorie einer Kategorie C ist eine Kategorie B mit

Ob(B)⊆ Ob(C), Hom_{B}(A,B)⊆ Hom_{C}(A,B) für alle A,B ∈ Ob(B).

Der Inklusions-Funktor B → C ist treu. Falls er voll ist, heißt B volle Unterkategorie von C und ist durch die Objekte bereits festgelegt.

ii) Es gibt unzählige “Vergiss-Funktoren”, z.B.

(Top)−−−−−−−→_{die Topologie}^{Vergiss} (Set),
(Ring)−−−−−−−−⟶_{die Multiplikation}^{Vergiss} (Ab)=Kategorie der abelschen Gruppen,
(Ab) −−−−−−−−−−→_{die Kommutativität}^{Vergiss} (Group)=Kategorie der Gruppen.

iii) Die (Ko)Homologiegruppen eines Raumes sind seine Bilder unter Funktoren

H_{n},H^{n}: (Top)→ (Ab)(n ∈ ℕ).

iv) Die offenen Teilmengen eines Raumes X ∈ (Top)bilden bezüglich der Inklusionen eine Kategorie O(X). Ein Funktor O(X)^{op} → (Set) ist eine Prägarbe (von

Mengen) auf X. Beispiel: F (U) = C(U) und F (U ↪ V): C(V) −−⟶^{f↦f|_{U}} C(U).

v) Bezeichne (Vect_{𝕜})die Kategorie der Vektorräume über einem Körper 𝕜.

• Dualisieren von Vektorräumen ist ein kontravarianter Funktor

(Vect_{𝕜})→ (Vect_{𝕜}), \{ \begin{matrix}V & ↦ & V′:= Hom(V,𝕜), \\ (V ⟶^{ϕ} W) & ↦ & (W′−−−−→_{f↦f∘ϕ}^{ϕ′} V′). \end{matrix}

• Tensorprodukt bilden ist ein Funktor (Vect_{𝕜})× (Vect_{𝕜})→ (Vect_{𝕜}).

Ende d. Vorlesung vom 12.10.2011

vi) Bezeichne (Mfg) die Kategorie aller glatten Mannigfaltigkeiten und glatten Abbildungen. Dann gibt es Funktoren

C^{∞} − : (Mfg)^{op} → (Vect_{ℝ}), \{ \begin{matrix}M & ↦ & C^{∞} (M), \\ (M ⟶^{ϕ} N) & ↦ & C^{∞} (N) −−−−→_{f↦f∘ϕ}^{ϕ^{∗}} C^{∞} (M), \end{matrix}

T −: (Mfg) → (Mfg),  \{ \begin{matrix}M & ↦ & T M = ⨆ _{p∈M} T_{p}M ⊆ C^{∞} (M)′, \\ (M ⟶^{ϕ} N) & ↦ & T M −−⟶^{ϕ^{∗}′|_{T M}} T N, \end{matrix}

wobei

T_{p}M = {X ∈ C^{∞} (M)′: X(fg) = X(f)g(p) + f(p)X(g) für alle f,g ∈ C^{∞} (M)}.

Die Relation T (ϕ ∘ ψ) = T ϕ ∘ T ψ entspricht genau der Kettenregel!

3 Natürliche Transformationen

• Was bedeutet “natürlicher Isomorphismus”? (Z.B. bei (X ×Y)×Z ≅ X ×(Y ×Z).)

• Wann sind zwei Kategorien äquivalent? (Isomorphie in (Cat)ist zu strikt.)

• Was sind Morphismen zwischen Funktoren?

Seien C und D Kategorien.

Definition 3.1. Seien C ⇉^{F}_{G} D Funktoren. Eine natürliche Transformation α: F → G

bzw. C [figure: F; G; ⇓α]D ist eine Familie (F C −→^{α_{C}} GC)_{C∈C} von Morphismen in D derart, dass

\xymatrix{F C \ar[r]^{F f} \ar[d]_{α_{C}} & F C′ \ar[d]^{α_{C′}} \\ GC \ar[r]^{Gf} & GC′}

für jeden Morphismus C ⟶^{f} C′in C kommutiert. Ist α_{C} ein Isomorphismus für jedes C ∈ C, so heißt α natürlicher Isomorphismus.

Beispiele 3.2. i) Es gibt eine natürliche Transformation

(Vect_{𝕜}) \xymatrix{1 \ar[d] \\ ⇓ι \\ (−)′′ \ar[u]}(Vect_{𝕜}), ι_{V}: V → V′′= Hom(V′,𝕜), v ↦ (ϕ ↦ ϕ(v)).

Ersetzt man (Vect_{𝕜}) durch die Kategorie (fdVect_{𝕜}) der endlich-dimensionalen Vektorräume, so wird ι ein natürlicher Isomorphismus.

ii) Es gibt eine natürliche Transformation

\xymatrix{(Top_{∗}) \ar[r]^{π_{1}} \ar[d]_{U} & (Group) \ar[d]^{ab} \ar@{=>}[dl] \\ (Top) \ar[r]_{H_{1}} & (Ab),}

wobei

• (Top_{∗})die Kategorie der top. Räume mit fixiertem Basispunkt ist,

• π_{1} bzw. H_{1} die erste Homotopie- bzw. Homologie-Gruppe von X ist,

• ab(G) = G/[G,G] die Abelisierung der Gruppe G ist.

Konstruktion 3.3. Man prüft leicht folgende Aussagen:

• Natürliche Transformationen kann man verknüpfen:

\xymatrix{C \ar[r]^{F} \ar[r]^{⇓α}_{⇓β}|{G} \ar[r]_{H} & D} liefert C \xymatrix{F \ar[d] \\ ⇓β∘α \\ H \ar[u]}D, wobei (β ∘ α)_{C} = β_{C}∘ α_{C}.

• Für jeden Funktor F ist 1_{F} := (1_{F C})_{C∈C}: F → F eine natürliche Transformation.

• Die Funktoren bilden bezüglich der natürlichen Transformationen eine Kategorie [C,D]. Insbesondere ist dadurch Isomorphie von Funktoren erklärt.

• Eine natürliche Transformation ist genau dann ein natürlicher Isomorphismus, wenn sie ein Isomorphismus in [C,D] ist.

Beispiele 3.4. i) Sei X ein topologischer Raum und O(X) die Halbordnung der offenen Teilmengen als Kategorie (Beispiel 2.3 iv)). Dann ist [O(X)^{op},(Set)] die Kategorie der Prägarben auf X. ii) Sei G eine Gruppe, aufgefasst als Kategorie (Beispiel 1.5 ii)). Dann ist [G,(Vect_{𝕜})]

die Kategorie aller Darstellungen von G; siehe Übung. Wann sind zwei Kategorien im “wesentlichen gleich”? Definition 3.5. Zwei Kategorien C,D heißen

• isomorph, falls Funktoren C ⇄^{F}_{G} D existieren mit GF = 1_{C} und F G = 1_{D}; wir schreiben dann C ≅ D und G = F^{−1} ;

• äquivalent, falls Funktoren C ⇄^{F}_{G} D und natürliche Isomorphismen η: 1_{C} → GF, ϵ: F G → 1_{D} existieren; wir schreiben dann C ≃ D und nennen F (bzw. (F,G,η,ϵ)) eine Äquivalenz.

Satz 3.6. Ein Funktor F : C → D ist eine Äquivalenz genau dann, wenn er i) volltreu (auf Morphismen) und ii) im wesentlichen surjektiv auf Objekten ist, d.h. ∀D ∈ D∃C ∈ C : F (C) ≅ D.

Beweis. “⇒” ÜA. “⇐” Definition von G: D → C und ϵ: F G → 1_{D}: Wähle

i) für jedes Objekt D ∈ D ein GD ∈ C mit einem Isomorphismus ϵ_{D}: F (GD) → D (nutze ii) oben und ein Auswahlaxiom für Familien);

ii) für jeden Morphismus D ⟶^{g} D′in D das Bild GD −→^{Gg} GD′so, dass

\xymatrix{D \ar[r]^{g} & D′ \\ F (GD) \ar[u]^{ϵ_{D}} \ar[r]^{F (Gg)} & F (GD′) \ar[u]_{ϵ_{D′}}}

kommutiert (nutze, dass F voll ist). Definition von η: Für jedes C ∈ C

• ist ϵ_{F C}: F GF C → F C ein Isomorphismus

• setzen wir η_{C}:= F^{−1} ϵ_{F C}^{−1}(nutze, dass F volltreu).

Für jeden Morphismus C ⟶^{f} C′kommutiert

\xymatrix{C \ar[r]^{f} \ar[d]_{η_{C}} & C′ \ar[d]^{η_{C′}} \\ GF C \ar[r]^{GF f} & GF C′,}

weil das Bild unter F kommutiert und F treu ist. Beispiel 3.7. i) Sei 𝕜 ein Körper und (Mat_{𝕜})die Kategorie mit

• Ob((Mat_{𝕜})) = ℕ,

• Hom(n,m) = alle m × n-Matrizen über 𝕜,

• Verknüpfung = Matrixmultiplikation. Dann existiert eine Äquivalenz

F: (Mat_{𝕜})→ (fdVect_{𝕜}),  \{ \begin{matrix}n & ↦ & 𝕜^{n}, \\ A & ↦ & (x ↦ Ax). \end{matrix}

ii) Sei (Monoid)die Kategorie aller Monoide und 𝔐 ⊂ (Cat)die volle Unterkategorie aller Kategorien C mit genau einem Objekt X_{C} ∈ C. Dann existiert eine Äquivalenz

F: 𝔐 → (Monoid),  \{ \begin{matrix}C & ↦ & Hom(X_{C},X_{C}), \\ (F : C → D) & ↦ & F |_{Hom(X_{C},X_{C})}. \end{matrix}

iii) Es gibt Äquivalenzen

(affine Schemata) ≃ (unitale, kommutative Ringe)^{op},
(kompakte topologische Räume) ≃ (unitale, kommutative C^{∗}-Algebren)^{op}.

Lemma 3.8. Äquivalenz von Kategorien ist eine Äquivalenzrelation. Beweis. ÜA; benutze nachfolgende Konstruktion 3.9 i), ii).

Ende d. Vorlesung vom 19.10.

Natürliche Transformationen kann man auf zwei Arten verknüpfen: • “vertikal” wie in Konstruktion 3.3 und

• “horizontal” wie folgt:

Konstruktion 3.9. i) Seien B ⟶^{G} C [figure: F; F′; ⇓α]D ⟶^{H} E gegeben. Dann ist (a) α_{G}= ( F (GB) −−→^{α_{GB}} F′(GB))_{B∈B} eine natürliche Transformation B \xymatrix{F G \ar[d] \\ ⇓α_{G} \\ F′G \ar[u]}D;

(b) Hα = ( H(F C) −−→^{Hα_{C}} H(F C′))_{C∈C} eine natürliche Transformation C \xymatrix{HF \ar[d] \\ ⇓Hα \\ HF′ \ar[u]}E.

ii) Seien C [figure: F; F′; ⇓α]D [figure: H; H′; ⇓β]E natürliche Transformationen. Dann sind die natürlichen

Transformationen

[figure: ⇓β_{F}; H; ⇓Hα; H; C; F; F′; F; H′; ⇓H′α; E; und; C; F; F′; F′; H; ⇓β_{F′}; E; H′; H′]  (1)

gleich, denn für jedes C ∈ C kommutiert

\xymatrix{HF C \ar[r]^{Hα_{C}} \ar[d]_{β_{F C}} & HF′C \ar[d]^{β_{F′C}} \\ H′F C \ar[r]_{H′α_{C}} & H′F′C.}

Wir bezeichnen die natürliche Transformation in (1) mit β • α. Insbesondere kann man (Cat)nicht nur als Kategorie auffassen, sondern als

• 2-Kategorie mit 2-Zellen (nat. Transformationen) zusätzlich zu den 0-Zellen (Kategorien) und 1-Zellen (Funktoren), oder

• als angereicherte Kategorie, bei der Hom(C,D) für jedes C,D nicht ein Objekt in (Set), sondern in (Cat)ist.

Teil II

Universelle Eigenschaften

4 Einführung

“Universelle Eigenschaften” bilden den Kern der Kategorientheorie und der Konzepte • darstellbare Funktoren (§5),

• adjungierte Funktoren (§6),

• Limiten und Kolimiten (§7),

• Kan-Erweiterungen, Enden, …

Als Beispiel betrachten wir zunächst freie Gruppen.

Beispiel 4.1. • Definition: Eine freie Gruppe auf einer Menge X ist eine Gruppe F mit einer Abbildung ι: X → F und der “universellen Eigenschaft”, dass jede Abbildung ϕ von X in eine Gruppe G eindeutig zu einem Homomorphismus ϕ̄: F → G fortsetzbar ist:

\xymatrix{X \ar[r]^{ϕ} \ar[dr]_{ι} & G \\  & F \ar@{-->}[u]_{ϕ̄}}

• Existenz: Allgemein bekannt.

Ist ι: X → F eine freie Gruppe auf X, so enthält F für alle x,y,... ∈ X Elemente

ι(x),ι(y),...,  ι(x)^{−1} ,ι(y)^{−1} ,...,  ι(x)^{±1} ι(y)^{±1} ι(x)^{±1} ,···,

und jede Abbildung ϕ: X → G wird dann eindeutig fortgesetzt durch

ι(x_{1})^{±1} ··· ι(x_{n})^{±1} ↦ ϕ(x_{1})^{±1} ··· ϕ(x_{n})^{±1} für alle x_{1},...,x_{n} ∈ X.

Sei W die Menge aller Wörter der Form

x_{1}^{±1} ··· x_{n}^{±1} mit n ∈ ℕ = {0,1,...},x_{1},...,x_{n} ∈ X.  (2)

Das Aneinanderhängen von Wörtern macht W zu einem Monoid. Bezeichne ∼ die Äquivalenzrelation, die durch

w · x^{±1} · x^{∓1} · w′∼ ww′ für alle w,w′∈ W,x ∈ X

erzeugt wird. Dann ist F X := W /_{∼} mit der induzierten Verknüpfung eine Gruppe und bezüglich der kanonischen Abbildung ι: X → W → W /_{∼} eine freie Gruppe auf X.

• Eindeutigkeit: Universelle Eigenschaften charakterisieren Objekte bis auf kanonische Isomorphie. Seien zwei freie (abelsche) Gruppen auf X gegeben:

\xymatrix{ & F′ \\ X \ar[ur]^{ι′} \ar[dr]_{ι} \\  & F}

Die universelle Eigenschaft beider Gruppen liefert ῑ′: F → F′und ῑ: F′→ F.

\xymatrix{ & F \\ X \ar[ur]^{ι} \ar[r]^{ι′} \ar[dr]_{ι} & F′ \ar@{-->}[u]_{ῑ} \\  & F \ar@{-->}[u]_{ῑ′} \ar@{.>}[uu]_{1_{F}}}

Die Verknüpfung ῑ∘ῑ′: F → F ist eine Fortsetzung von ι: X → F, ebenso 1_{F}: F → F. Nach Definition folgt ῑ∘ῑ′= 1_{F}. Analog zeigt man ῑ′∘ῑ= 1_{F′}.

Beispiel 4.2. Ersetzen wir oben (Group)durch (Ab), so erhalten wir:

• Definition: freie abelsche Gruppen auf einer Menge X — analog wie oben;

• Eindeutigkeit: analog wie oben;

• Existenz, abstrakt: Ist G eine abelsche Gruppe und ϕ: X → G eine Abbildung, so

erhalten wir

\xymatrix{X \ar[r]^{ϕ} \ar[dr] \ar[d]_{ι} & G \\ F X \ar@{-->}[ur] \ar[r] & ab(F X) \ar@{.>}[u]}

Somit ist X → ab(F X) = F X/[F X,F X] eine freie abelsche Gruppe.

• Existenz, konkret: Die Menge ℤ^{(X)} aller Abbildungen von X nach ℤ mit endlichem Träger, versehen mit der komponentenweiser Addition und der Abbildung X → ℤ^{X}, x ↦ δ_{x} (Kronecker-Delta).

Weitere Beispiele “frei erzeugter Objekte” bzw. adjungierter Funktoren (§6): Beispiele 4.3. • das freie Monoid X^{∗}, der freie 𝕜-Vektorraum 𝕜X, die freie 𝕜-Algebra

𝕜⟨X⟩, der Polynomring 𝕜[X],… einer Menge X;

• die Grothendieck-Gruppe eines kommutativen Monoids, die Tensoralgebra eines Vektorraumes, der Quotientenkörper eines Integritätsbereichs, die Vervollständigung eines metrischen Raumes, …

Weitere Beispiele für Objekte mit universellen Eigenschaften ((Ko-)Limiten, §7):

Beispiele 4.4. i) Das Produkt X × Y zweier Mengen X,Y ist die universelle Menge mit Projektionen p_{X},p_{Y} nach X,Y — jedes Paar von Abbildungen f_{X}: Z → X, f_{Y}: Z → Y faktorisiert darüber:

\xymatrix{ &  & X \\ Z \ar[urr]^{f_{X}} \ar[drr]_{f_{Y}} \ar@{-->}[r] & X × Y \ar@{-->}[ur]_{p_{X}} \ar[dr]^{p_{Y}} \\  &  & Y}

Analoges gilt für das Produkt von Gruppen, topologischen Räumen, …

ii) Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ϕ: G → H ist der universelle Homomorphismus, dessen Verknüpfung mit ϕ trivial ist — jeder Homomorphismus ψ: K → G, für den ϕ ∘ ψ trivial ist, faktorisiert über kerϕ:

\xymatrix{K \ar[rr]^{ψ} \ar@{-->}[dr] &  & G \ar[r]^{ϕ} \ar[r]_{triv} & H \\  & kerϕ \ar@{^{(}->}[ur]}

5 Darstellbare Funktoren und die Yoneda-Einbettung

5.1 Darstellbare Funktoren

Beispiel 5.1. i) Für jede Menge C gibt es eine Bijektion

P (C) := {Teilmengen von C} ≡ {Abbildungen C → {0,1}} = Hom(C,{0,1}).

ii) Für jeden unitalen Ring R gibt es eine Bijektion

G(R) := {invertierbare Elemente} ≡ Hom(ℤ[X,X^{−1} ],R),
f(Z) ↤ f,

und für jede unitale C^{∗}-Algebra A gibt es eine Bijektion

U(A) := {unitäre Elemente in A}≡ Hom(C(𝕋),A),
f(1_{𝕋} ) ↤ f.

Diese Bijektionen sind Komponenten natürlicher Isomorphismen zwischen Funktoren.

Sei C eine Kategorie. Jedes X ∈ C liefert Funktoren

H^{X}:= Hom(X,−): C → (Set), \{ \begin{matrix}C & ↦ & Hom(X,C), \\ (C ⟶^{f} C′) & ↦ & ( Hom(X,C) −−⟶_{g↦f∘g}^{f_{∗}} Hom(X,C′)), \end{matrix}

und

H_{X}:= Hom(−,X): C^{op} → (Set), \{ \begin{matrix}C & ↦ & Hom(C,X), \\ (C ⟶^{f} C′) & ↦ & ( Hom(C′,X) −−⟶_{g↦g∘f}^{f_{∗}} Hom(C,X)). \end{matrix}

Funktoren C^{op} → (Set) beziehungsweise C → (Set) nennt man auch Prägarben bzw. Diagramme auf C.

Definition 5.2. Ein Funktor F : C → (Set)bzw. F : C^{op} → (Set)heißt darstellbar, falls F ≅ H^{X} bzw. F ≅ H_{X} für ein X ∈ C. Eine Darstellung von F ist die Wahl eines solchen Isomorphismus.

Ende d. Vorlesung vom 26.10.2011

Typisches Vorgehen: Man charakterisiert ein gewünschtes Objekt X in C, indem sagt, wie H^{X} oder H_{X} aussehen soll.

Beispiel 5.3. Sei X eine Menge. Für jede Gruppe G bezeichne |G| die zugrundeliegende Menge. Dann gibt es einen Funktor

F^{X}: (Group)→ (Set), \{ \begin{matrix}G & ↦ & Hom(X,|G|), \\ (G ⟶^{π} H) & ↦ & (Hom(X,|G|) ⟶^{π_{∗}} Hom(X,|H|)) \end{matrix}

Ist F^{X} darstellbar? Ja. Sei ι: X → ⟨X⟩ eine freie Gruppe auf X. Dann haben wir

• für jede Gruppe G eine Bijektion

α_{G}: F^{X}G→ Hom(⟨X⟩,G), ϕ ↦ Fortsetzung ϕ̄ in \xymatrix{X \ar[r]^{ϕ} \ar[dr]_{ι} & G, \\  & ⟨X⟩ \ar@{-->}[u]_{ϕ̄}}

• für jeden Gruppenhomomorphismus G ⟶^{π} H ein kommutatives Diagramm

\xymatrix{F^{X}G \ar[r]^{F^{X}π} \ar[d]_{α_{G}} & F^{X}H \ar[d]^{α_{H}} \\ Hom(⟨X⟩,G) \ar[r]^{π_{∗}} & Hom(⟨X⟩,H),}

weil für jedes ϕ ∈ F^{X}G, also jede Abbildung ϕ: X → G, die Bilder

(α_{H} ∘ F^{X}π)(ϕ)) = α_{H}(π ∘ ϕ) = \overline{π ∘ ϕ},  (π_{∗}∘ α_{G})(ϕ) = π ∘ ϕ̄

Fortsetzungen von π ∘ ϕ: X → H und somit gleich sind:

\xymatrix{X \ar[r]^{ϕ} \ar[dr]_{ι} & G \ar[r]^{π} & H \\  & ⟨X⟩ \ar[u]_{ϕ̄} \ar[ur]_{\overline{π∘ϕ}}}

Beispiel 5.4. Seien X,Y ∈ C. Dann gibt es einen Funktor

H_{X}× H_{Y}: C → (Set), \{ \begin{matrix}Z ↦ H_{X}(Z) × H_{Y}(Z) = \{Diagramme \begin{matrix}& & Z \\ & ↙ & & ↘ \\ X & & & & Y \end{matrix}\} \\ (Z ⟶^{f} Z′) ↦ H_{X}(f) × H_{Y}(f). \end{matrix}

Ist dieser darstellbar? Das hängt von C ab:

• Ja, falls z.B. C = (Set),(Group),(Top); ein darstellendes Objekt ist dann X × Y;

• Nein, falls z.B. C = (fGroup)^{op}, wobei (fGroup)die Kategorie aller endlichen Gruppen ist (später ÜA in §7).

5.2 Das Yoneda-Lemma

Wir kommen nun zum Kern dieses Kapitels:

Frage Wie sehen zu gegebenem F : C^{op} → (Set)und X ∈ C die natürlichen Transformationen von H_{X} zu F aus?

Zentrale Idee Jede Transformation α: H_{X} → F ist bereits durch α_{X} bestimmt!

Beweis: Sei Y ∈ C. Worauf bildet α_{Y}: Hom(Y,X) → F Y einen Morphismus Y ⟶^{f} X ab? Die Antwort liefert das kommutative Diagramm

[figure: 1_{X}; f; Hom(X,X); f^{∗}; α_{X}; Hom(Y,X); α_{Y}; F X; F f; F Y; α_{X}(1_{X}); (F f)(α_{X}(1_{X})) = α_{Y}(f).]  (3)

Theorem 5.5 (Yoneda-Lemma). Für jedes X ∈ C und F : C^{op} → (Set)ist

Y_{X,F}: Hom(H_{X},F) → F X, α ↦ α_{X}(1_{X}),

bijektiv. Das Theorem folgt leicht aus folgendem Lemma: Lemma 5.6. Sei x ∈ F X. Definiere für jedes Y ∈ C

x̃_{Y}: Hom(Y,X) = H_{X}(Y) → F Y, (Y ⟶^{f} X) ↦ (F f)(x).

Dann ist x̃= (x̃_{Y})_{Y ∈C}eine natürliche Transformation von H_{X} nach F. Beweis. Für jeden Morphismus Y ⟶^{g} Y′in C kommutiert

[figure: f; f ∘ g; Hom(Y′,X); g^{∗}; x̃_{Y′}; Hom(Y,X); x̃_{Y}; F Y′; F g; F Y; F f(x); F g(F f(x)) = F (f ∘ g)(x)]

Beweis von Theorem 5.5. Die Abbildungen α ↦ α_{X}(1_{X}) und x̃ ↤ x sind zueinander invers:

• für jedes α ∈ Hom(H_{X},F) gilt α = { \atop α_{X}(1_{X})} nach (3);

• für jedes x ∈ F X gilt x̃_{X}(1_{X}) = (F 1_{X})(x) = 1_{F X}(x) = x. Bemerkung 5.7. Eine Darstellung von einem Funktor F : C^{op} → (Set)ist also gegeben durch ein X ∈ C und ein Element x ∈ F X mit der Eigenschaft, dass für jedes Y ∈ C die Abbildung Hom(Y,X) → F Y, (Y ⟶^{f} X) ↦ (F f)(x), bijektiv ist. Beispiel 5.8. Der Potenzmengen-Funktor

P: (Set)^{op} → (Set), \{ \begin{matrix}X & ↦ & P (X), \\ (X ⟶^{f} Y) & ↦ & f^{−1} , \end{matrix}

ist darstellbar: Eine Darstellung ist gegeben durch {0,1} ∈ (Set)und

{1} ∈ P ({0,1}).

Die natürliche Transformation ˜{1}: H_{{0,1}} → P ist gegeben durch

˜{1}_{Y}: Hom(Y,{0,1}) → P (Y), (Y ⟶^{f} {0,1}) ↦ (P f)({1}) = f^{−1} ({1}) ⊆ Y.

Ersetzen wir C durch C^{op}, erhalten wir entsprechende Aussagen in [C,(Set)]. Beispiel 5.9. Sei X eine Menge und ι: X → ⟨X⟩ eine freie Gruppe auf X. Dann ist eine Darstellung von F^{X}: (Group)→ (Set)gegeben durch ⟨X⟩ und

ι ∈ F^{X}⟨X⟩ = Hom(X,|⟨X⟩|).

Die natürliche Transformation ι̃: H^{⟨X⟩}→ F^{X} ist gegeben durch

ι̃_{G}: Hom(⟨X⟩,G)→ F^{X}G = Hom(X,|G|),

(⟨X⟩ ⟶^{ϕ} G)↦ (F^{X}ϕ)(ι) = ϕ_{∗}ι = ϕ ∘ ι = ϕ|_{X},

also das Inverse von α: F^{X} → H^{⟨X⟩}in Beispiel 5.3.

5.3 Die Yoneda-Einbettung

Als Anwendung erhalten wir die Yoneda-Einbettung H_{•}: C → [C^{op},(Set)]. Lemma 5.10. Jeder Morphismus X ⟶^{f} Y in C liefert eine natürliche Transformation H_{f} : H_{X} → H_{Y}, gegeben durch

(H_{f})_{Z} = f_{∗}: H_{X}(Z) = Hom(Z,X) → Hom(Z,Y) = H_{Y}(Z),
(Z ⟶^{g} X)↦ (Z ⟶^{g} X ⟶^{f} Y)  für jedes Z ∈ C.

Wir beweisen dieses Lemma nicht (ist einfach); es wird aus Lemma 5.13 folgen. Lemma 5.11. Die folgenden Zuordnungen bilden einen Funktor:

H_{•}: C → [C^{op},(Set)], \{ \begin{matrix}X & ↦ & H_{X}, \\ (X ⟶^{f} Y) & ↦ & H_{f} . \end{matrix}  (4)

Beweis. Für jedes X ∈ C gilt H_{1_{X}} = ((1_{X})_{∗})_{Z∈C} = 1_{H_{X}}. Für alle Morphismen X ⟶^{f} Y ⟶^{g} Z in C gilt H_{g}∘ H_{f} = (g_{∗}∘ f_{∗})_{Z∈C} = H_{g∘f} Theorem 5.12 (Yoneda-Einbettung). Der Funktor (4) ist volltreu. Lemma 5.13. Für jeden Morphismus X ⟶^{f} Y in C gilt H_{f} = Y_{X,H_{Y}}^{−1}(f):

Hom(H_{X},H_{Y})⟵−−^{Y_{X,H_{Y}}^{−1}} H_{Y}(X) = Hom(X,Y),
H_{f} = f̃ ⟵−− f.

Beweis. Für jedes Z ∈ C ist f̃_{Z} gegeben durch

(f̃)_{Z}: H_{X}(Z) = Hom(Z,X)→ Hom(Z,Y) = H_{Y}(Z),

(Z ⟶^{g} Y)↦ (H_{Y}(g))(f) = g^{∗}(f) = f ∘ g.

Beweis von Theorem 5.12. Folgt unmittelbar aus Lemma 5.13 und Theorem 5.5.

Ende d. Vorlesung vom 02.11.2011

5.4 Natürlichkeit der Yoneda-Abbildung

Die Abbildung Y_{X,F} im Yoneda-Lemma 5.5 ist natürlich bezüglich X ∈ C und F ∈ [C^{op},(Set)]. Die exakte Formulierung erfordert folgende Funktoren: Lemma 5.14. Für alle Kategorien A,B,D gibt es Funktoren

Hom: D^{op}× D → (Set), \{ \begin{matrix}(X,Y) & ↦ & Hom(X,Y), \\ (f,g) & ↦ & f^{∗}∘ g_{∗} = g_{∗}∘ f^{∗}, \end{matrix}

und

ev: A × [A,B] → B, \{ \begin{matrix}(A,F) & ↦ & F (A), \\ (A,F) −⟶^{(g,β)} (A′,F′) & ↦ & [figure: F (A′); β_{A′}; F (A); F g; β_{A}; F′(A′).; F′(A); F′g] \end{matrix}

Beweis. Einfache ÜA. Theorem 5.15. Die Familie Y = (Y_{X,F})_{(X,F)}ist ein natürlicher Isomorphismus

[figure: [C^{op},(Set)]^{op}× [C^{op},(Set)]; Hom; Y; C^{op}× [C^{op},(Set)]; H_{•}^{op}×1; ev; (Set).]

Beweis. Für jeden Morphismus (X,F) −⟶^{(g,β)} (X′,F′) in C^{op}× [C^{op},(Set)] kommutiert

[figure: α; β ∘ α ∘ H_{g}; Hom(H_{X},F); (H_{g})^{∗}∘β_{∗}; Y_{X,F}; Hom(H_{X′},F′); Y_{X′,F′}; F (X); F′g∘β_{X}; F′(X′),; α_{X}(1_{X}); (F′(g)β_{X}α_{X})(1_{X}); = (β_{X′}α_{X′})(g) = (β_{X′}α_{X′}H_{X}(g))(1_{X}),]

weil H_{X} ⟶^{α} F ⟶^{β} F′eine natürliche Transformation ist.

6 Adjungierte Funktoren

6.1 Definition, Beispiele und Zusammenhang zu Darstellbarkeit

Idee Adjunktion zwischen Funktoren ist analog zur Adjunktion linearer Abbildungen. Wiederholung Jede lineare Abbildung zwischen 𝕜-Vektorräumen f: V → W besitzt eine duale oder adjungierte Abbildung f′: W′→ V′, welche

i) folgende Gleichung erfüllt:

⟨ϕ|f(v)⟩ = ⟨f′(ϕ)|v⟩ für alle v ∈ V,ϕ ∈ W′,

wobei ⟨·|·⟩ jeweils die natürliche Paarung bezeichnet; oder äquivalent ii) folgendes Diagramm kommutativ macht:

\xymatrix{W′× V \ar[r]^{f′×1_{V}} \ar[d]_{1_{W′}×f} & V′× V \ar[d]^{⟨·|·⟩} \\ W′× W \ar[r]_{⟨·|·⟩} & 𝕜.}  (5)

Übertragung auf Funktoren: Definition 6.1. Seien C ⇄^{F}_{G} D Funktoren. Man nennt

• F links-adjungiert zu G,

• G rechts-adjungiert zu F,

geschrieben F ⊣ G oder C [figure: F; G; ⊥]D, falls

i) (intuitiv) es für alle X ∈ C, Y ∈ D Bijektionen

Hom_{D}(F X,Y)≅ Hom_{C}(X,GY)  (6)

gibt, die natürlich bezüglich X ∈ C und Y ∈ D sind, oder äquivalent ii) (formal) das Diagramm

\xymatrix{C^{op}× D \ar[r]^{F ×1_{D}} \ar[d]_{1_{C^{op}}×G} & D^{op}× D \ar[d]^{Hom} \\ C^{op}× C \ar[r]_{Hom} & (Set)}

bis auf einen natürlichen Isomorphismus kommutiert, also die Funktoren

Hom(F ·, ·): C^{op}× D −−−→^{F ×1_{D}} D^{op}× D −−→^{Hom} (Set)

und

Hom(·,G·): C^{op}× D −−−−→^{1_{C^{op}}×G} C^{op}× C −−→^{Hom} (Set)

natürlich isomorph sind. Wir schreiben in dem Fall die Bijektionen (6) als ϕ ↦ ϕ̄ und ψ̄ ↤ ψ, und nennen die Wahl eines solchen natürlichen Isomorphismus eine Adjunktion zwischen F und G. Zahlreiche “universelle” Konstruktionen — alle aus Beispiel 4.3 — sind Links-Adjungierte zu Vergiss-Funktoren. Beispiele 6.2. Es gibt Adjunktionen

i)  (Set) [figure: freie Gruppe ; X ↦ ⟨X⟩; Vergiss-Funktor |G| ↤ G; ⊥](Group),  Hom(⟨X⟩,G)≅ Hom(X,|G|),

ii) ( \begin{matrix}metrische \\ Räume \end{matrix}) [figure: Vervollständigung X ↦ \overline{X}; Inklusion; ⊥]( \begin{matrix}vollständige \\ metrische \\ Räume \end{matrix}) ,  Hom(\overline{X},Y)≅ Hom(X,Y),

iii)  (Vect_{𝕜})[figure: Tensor-Algebra V ↦ T V = ⨁ _{n}V^{⊗n}; Vergiss-Funktor U; ⊥](Alg_{𝕜}),  Hom(T V,A)≅ Hom(V,UA),

iv)  (Group) [figure: Gruppenring ; G ↦ ℤG; multipl. Gruppe R^{×} ↤ R; ⊥](Ring_{1}),  Hom(ℤG,R)≅ Hom(G,R^{×}),

(Group) [figure: G↦C^{∗}(G); U(A)↤A; ⊥](C^{∗}-Alg_{1}),  Hom(C^{∗}(G),A)≅ Hom(G,U(A)),

v)  (Top)[figure: Stone-Čech-Kompakt. X ↦ X̂; Inklusion; ⊥] ( \begin{matrix}kompakte \\ Hausdorff- \\ Räume \end{matrix}) ,  Hom(X̂,Y)≅ Hom(X,Y).

Hier ist der links-adjungierte Funktor • auf Objekten durch gewisse universelle Eigenschaften definiert,

• auf Morphismen durch die universelle Eigenschaft definierbar; z.B. wird in i) X ↦ ⟨X⟩ zu einem Funktor fortgesetzt mittels

\xymatrix{X \ar[r]^{f} \ar[dr] & X′ \ar[r] & ⟨X′⟩. \\  & ⟨X⟩ \ar[ur]_{⟨f⟩}}

Allgemeines Prinzip der obigen Beispiele: Adjungierbarkeit von Funktoren folgt aus “punktweiser Darstellbarkeit”, ähnlich wie bei Hilberträumen die Adjungierbarkeit linearer Abbildungen aus dem Riesz’schen Darstellungssatz folgt. Proposition 6.3. Sei F : C → D ein Funktor. Dann sind die folgenden Aussagenäquivalent:

i) F besitzt ein Rechts-Adjungiertes G: D → C ii) Für jedes Y ∈ D ist der Funktor Hom(F ·,Y): C^{op} → (Set)darstellbar.

Ende d. Vorlesung vom 08.11.2011

Beweis. i) ⇒ ii): Für jedes Y ist Hom(F ·,Y) ≅ Hom(·,GY) = H_{GY}. ii) ⇒ i): Definition von G auf Objekten: Wähle für jedes Y ∈ D eine Darstellung

α_{Y}: H_{GY}= Hom(·,GY) ⟶^{≅} Hom(F ·,Y).

Definition von G auf Morphismen: Jeder Morphismus Y ⟶^{g} Y′in D liefert eine natürliche Transformation

\xymatrix{H_{GY}= Hom(·,GY) \ar@{-->}[d]_{α_{Y′}^{−1}∘g_{∗}∘α_{Y}=H_{Gg}} \ar[r]^{α_{Y}} & Hom(F ·,Y) \ar[d]^{g_{∗}} \\ H_{GY′}= Hom(·,GY′) & Hom(F ·,Y′), \ar[l]^{α_{Y′}^{−1}}}  (7)

welche nach der Theorem 5.12 die Form H_{Gg} für genau ein Gg ∈ Hom(GY,GY′) hat. G wird ein Funktor: Folgt einfach aus der Konstruktion. Natürlichkeit: Die Bijektionen Hom(X,GY) ≅ Hom(F X,Y) sind natürlich bezüglich

• X wegen Natürlichkeit der α_{Y},

• Y wegen Kommutativität von (7).

Ähnlich kann man die Existenz eines links-adjungierten Funktors charakterisieren.

Bemerkung 6.4. Sei C [figure: F; G; ⊥]D eine Adjunktion. Fasst man

• F als Funktor C^{op} → D^{op} und

• G als Funktor D^{op} → C^{op} auf,

so tauschen F und G die Rollen (Rechts-/Links-Adjungiertes zu sein): Man erhält natürliche Bijektionen

Hom_{D^{op}}(Y,F X) = Hom_{D}(F X,Y) ≅ Hom_{C}(X,GY) = Hom_{C^{op}}(GY,X)

für alle X ∈ C, Y ∈ D, also eine Adjunktion D^{op} [figure: G; F; ⊥]C^{op}.

6.2 Eins und Koeins einer Adjunktion

Sei C [figure: F; G; ⊥]D eine Adjunktion. Wir untersuchen nun die natürlichen Bijektionen

\xymatrix{Hom(F X,Y) \ar[r]^{f↦\overline{f}} & Hom(X,GY) \ar[l]^{\overline{g}↤g}} (X ∈ C,Y ∈ D).  (8)

Wie beim Yoneda-Lemma sind diese Abbildungen wegen ihrer Natürlichkeit eindeutig bestimmt durch ihre Wirkung auf Identitäten von Objekten:

• Argument 1 — direkt:

[figure: 1_{F X}; f; Hom(F X,F X); f_{∗}; Hom(F X,Y); Hom(X,GF X); (Gf)_{∗}; Hom(X,GY); η_{X}:= \overline{1_{F X}}; (Gf) ∘ η_{X} = f̄.]

• Argument 2 — Rückführung auf Yoneda-Lemma: Für alle X ∈ C, Y ∈ D ist die Abbildung

H_{GY}(X) = Hom(X,GY) −−→^{g↦\overline{g}} Hom(F X,Y)

Komponente einer natürlichen Transformation H_{GY} → Hom(F ·,Y), also nach Theorem 5.5 gegeben durch

g ↦ \overline{g} = Hom(F ·,Y)(g)(\overline{1_{GY}}) = (F g)^{∗} \underbrace{\overline{1_{GY}}}_{=:ϵ_{Y}} = ϵ_{Y}∘ F g.

Proposition 6.5. i) Die Familien η:= (\overline{1_{F X}})_{X∈C} und ϵ:= (\overline{1_{GY}})_{Y ∈D} sind natürliche Transformationen η: 1_{C} → GF und ϵ: F G → 1_{D}.

ii) Für alle Morphismen F X ⟶^{f} Y und X ⟶^{g} GY sind \overline{f} und \overline{g} gegeben durch

X −→^{η_{X}} GF X ⟶^{Gf} GY und F X −→^{F g} F GY ⟶^{ϵ_{Y}} Y.

Beweis. ii) Bereits gezeigt. i) Zeigen wir nur für ϵ; für η dann analog. Für jeden Morphismus Y ⟶^{g} Y′in D kommutiert

\xymatrix{F GY \ar[r]^{F Gg} \ar[d]_{ϵ_{Y}} & F GY′ \ar[d]^{ϵ_{Y′}} \\ Y \ar[r]_{g} & Y′,}

weil das folgende Diagramm kommutiert:

[figure: ϵ_{Y}; 1_{GY}; Hom(F GY,Y); g_{∗}; Hom(GY,GY); (Gg)_{∗}; Hom(F GY,Y′); Hom(GY,GY′); g ∘ ϵ_{Y}= ϵ_{Y′}∘ F Gg; Gg]

Definition 6.6. Man nennt η die Eins und ϵ die Koeins der Adjunktion C [figure: F; G; ⊥]D.

Beispiel 6.7. Betrachte (Set) [figure: ⟨·⟩; |·|; ⊥](Group)aus Beispiel 6.2 i).

Für jede Menge X ist die Eins η_{X}: X → |⟨X⟩| die Einbettung in die zugrundeliegende Menge der freien Gruppe (als Erzeuger). Für jede Gruppe G entspricht die Koeins ϵ_{G}: ⟨|G|⟩ → G unter der Bijektion

Hom_{(Group)}(⟨|G|⟩,G) ≡ Hom_{(Set)}(|G|,|G|)

der Identität 1_{|G|}, ist also deren Fortsetzung zu einem Homomorphismus:

⟨|G|⟩

ϵ_{G}

Ausmultiplizieren

[figure]

G,

\underbrace{g_{1}^{±1} ...g_{n}^{±1}}

formales Wort

[figure] \underbrace{g_{1}^{±1} ··· g_{n}^{±1} .}

Produkt in G

Welche Eigenschaften von ϵ und η entsprechen der Tatsache, dass die Abbildungen (8) zueinander invers sind?

Proposition 6.8. Die folgenden Diagramme kommutieren:

\xymatrix{F \ar[rr]^{1_{F}} \ar[dr]_{F η} &  & F, & G \ar[rr]^{1_{G}} \ar[dr]_{η_{G}} &  & G. \\  & F GF \ar@{-->}[ur]_{ϵ_{F}} &  &  & GF G \ar@{-->}[ur]_{Gϵ}} (Dreiecks-Identitäten)

Beweis. Für alle X ∈ C,Y ∈ D gilt

• für F GY ⟶^{ϵ_{Y}} Y die Gleichung 1_{GY}= \overline{\overline{1_{GY}}}= \overline{ϵ_{Y}}= Gϵ_{Y}∘ η_{GY};

• für X −→^{η_{X}} GF X die Gleichung 1_{F X}= \overline{\overline{1_{F X}}}= \overline{η_{X}} = ϵ_{F X}∘ F η_{X}.

Beispiel 6.9. Seien C,D partielle Ordnungen, betrachtet als Kategorien (Beispiel 1.5), d.h.

|Hom(X,X′)| = \{ \begin{matrix}1, & X ≤ X′, \\ 0, & sonst \end{matrix} für alle X,X′∈ C bzw. X,X′∈ D,

Eine Galois-Verbindung zwischen C und D ist eine Adjunktion C [figure: F; G; ⊥]D^{op}; siehe

Blatt 5, Aufgabe 3. Die Eins und Koeins entsprechen dann den Relationen

X≤ GF (X) für alle X ∈ C,  F G(Y)≤ Y für alle Y ∈ D.

Beispiel: Sei 𝕜 ein Körper und n ∈ ℕ. Dann gibt es eine Adjunktion

P (𝕜^{n}) [figure: J; V; ⊥]P (𝕜[X_{1},...,X_{n}])^{op},

wobei die Potenzmengen jeweils als Kategorie bezüglich der Inklusionen betrachtet werden und • für jedes X ⊆ 𝕜^{n} das Bild J(X) = {p ∈ 𝕜[X_{1},...,X_{n}] : p|_{X} = 0} das Ideal der auf

X verschwindenden Polynome ist,

• für jede Teilmenge Y ⊆ 𝕜[X_{1},...,X_{n}] das Bild V (Y) = ⋂ _{p∈Y} p^{−1} (0) die gemein-

same Nullstellenmenge ist. Die Dreiecksidentitäten besagen JV J = J und V JV = V. Umgekehrt bestimmen natürliche Transformationen η,ϵ mit obiger Eigenschaft stets eine Adjunktion: Proposition 6.10. Seien C ⇄^{F}_{G} D Funktoren und 1_{C} ⟶^{η} GF, F G ⟶^{ϵ} 1_{D} natürliche Transformationen, die die Dreiecks-Identitäten erfüllen. Dann formen die Abbildungen

\xymatrix{Hom(F X,Y) \ar[r]^{f↦\overline{f} :=Gf∘η_{X}} & Hom(X,GY) \ar[l]^{\overline{g}:=ϵ_{Y}∘F g↤g}} (X ∈ C,Y ∈ D)  (9)

eine Adjunktion F ⊣ G. Beweis. Die Abbildungen sind

• zueinander invers — für alle Morphismen F X ⟶^{f} Y und X ⟶^{g} GY gilt

\overline{\overline{f}} = ϵ_{Y}∘ F \overline{f} = ϵ_{Y}∘ F Gf ∘ F η_{X} = f ∘ ϵ_{F X}∘ F η_{X} = f

und analog \overline{\overline{g}} = g;

• natürlich, denn für alle Morphismen X′⟶^{h} X, Y ⟶^{k} Y′kommutiert

[figure: f; Gf ∘ η_{X}; Hom(F X,Y); Hom(X,GY); Hom(F X′,Y′); Hom(X′,GY′); k ∘ f ∘ F h; G(kf(F h)) ∘ η_{X′}= Gk ∘ (Gf ∘ η_{X}) ∘ h.]

7 Limites und Kolimites

7.1 Definition und erste Beispiele

Charakterisiert man ein Objekt in einer Kategorie durch eine universelle Eigenschaft, dann ist das Objekt in der Regel ein Limes oder Kolimes:

Definition 7.1. Sei 𝕀 eine kleine und C eine beliebige Kategorie.

• Ein Diagramm der Form 𝕀 oder über 𝕀 in C ist ein Funktor D: 𝕀 → C.

Sei D: 𝕀 → C ein Diagramm.

• Ein Kegel von A ∈ C auf D ist eine Familie (A ⟶^{q_{I}} DI)_{I∈𝕀} von Morphismen in C so, dass für jeden Morphismus I ⟶^{k} J in 𝕀 das Diagramm

\xymatrix{ & DI \ar[dd]^{Dk} \\ A \ar[ur]^{q_{I}} \ar[dr]_{q_{J}} \\  & DJ}

kommutiert.

Ein Limes für D ist ein Kegel (L ⟶^{p_{I}} DI)_{I∈𝕀} so, dass für jeden Kegel (A ⟶^{q_{I}} DI)_{I∈𝕀} genau ein Morphismus A ⟶^{q̄} L existiert mit q_{I} = p_{I}∘ q̄für alle I ∈ 𝕀:

[figure: DI; A; ∃!q̄; q_{I}; q_{I}; L; p_{I}; p_{J}; DJ]

Wir nennen dann auch L einen Limes und (L ⟶^{p_{I}} DI)_{I∈𝕀} einen Limes-Kegel für D und schreiben L = lim_{←𝕀} D.

• Ein Kokegel von A ∈ C auf D ist (ein Kegel auf D: 𝕀^{op} → C^{op}, d.h.) eine “kompatible” Familie (DI ⟶^{q_{I}} A)_{I∈𝕀} von Morphismen in C. Ein Kolimes für D ist (ein Limes für D: 𝕀^{op} → C^{op}, d.h.) ein “universeller” Kokegel auf D:

[figure: DI; p_{I}; q_{I}; L; ∃!q̄; A; DJ; p_{J}; q_{I}]

Bemerkung 7.2. i) Besitzt ein Diagramm einen (Ko-)Limes, dann ist dieser eindeutig bis auf kanonische Isomorphie — Beweis wie in Beispiel 4.1.

ii) Salopp: Der (Ko-)Limes ist der (Ko-)Kegel, der am Diagramm am nächsten dran ist.

iii) Ist L ein Limes bzw. Kolimes von D: 𝕀 → C, so gilt für jedes A ∈ C:

Hom(A,L)≅ {Kegel von A auf D}
bzw. Hom(L,A)≅ {Ko-Kegel von A auf D}.

Sehen später: die rechte Seite ist ein Funktor bzgl. A und L ist dessen Darstellung.

Wir betrachten nun (Ko)Limites für Diagramme D: 𝕀 → C für spezielle Kategorien 𝕀:

Terminale/initiale Objekte Sei Ob(𝕀) = ∅. Dann gibt es (per sinnvoller Konvention) genau ein Diagramm über 𝕀.

• Ein Limes ist dann ein terminales Objekt in C: ein L ∈ C mit Hom(A,L) = 1 für alle A ∈ C. Z.B. sind terminale Objekte in

– (Set),(Top)jede ein-elementige Menge,

– (Ab),(Group)die triviale Gruppe,

– der Kategorie unitaler Ringe mit 1 ≠ 0 nicht existent.

• Ein Kolimes ist dann ein initiales Objekt in C: ein L ∈ C mit Hom(L,A) = 1 für alle A ∈ C. Z.B. sind initiale Objekte in

– (Set),(Top)die leere Menge,

– (Ab),(Group)die triviale Gruppe,

– der Kategorie unitaler Ringe mit 1 ≠ 0 nicht existent.

Produkte/Koprodukte Sei 𝕀 diskret (die einzigen Morphismen sind die Identitäten der Objekte). Ein Diagramm ist dann eine Familie (D_{I})_{I∈𝕀} von Objekten in C.

• Ein Kegel ist ein A ∈ C mit einem Morphismus q_{I}: A → D_{I} für jedes I ∈ 𝕀. Ist (L ⟶^{p_{I}} D_{I})_{I∈𝕀} ein Limes, so schreiben L = ∏ _{I∈𝕀} D_{I} und nennen L das Produkt von (D_{I})_{I∈𝕀} und (p_{I})_{I∈𝕀} die Projektionen. Z.B. sind Produkte

– in C = (Set),(Group),(Vect_{𝕜}),(Top),... die bekannten Konstruktionen,

– in (C^{∗}-Alg_{1}) das l^{∞} -Produkt.

• Ein Kokegel ist ein A ∈ C mit einem Morphismus q_{I}: D_{I} → A für jedes I ∈ 𝕀. Ist (D_{I} ⟶^{p_{I}} L)_{I∈𝕀} ein Kolimes, so schreiben wir L = ⨆ _{I∈𝕀} D_{I} und nennen L das Koprodukt von (D_{I})_{I∈𝕀}. Z.B. sind Koprodukte

– in (Set),(Top)disjunkte Vereinigungen;

– in (Ab),(Vect_{𝕜})die direkte Summe, die im endlichen Fall (|Ob(𝕀)| < ∞) mit dem Produkt übereinstimmt;

– in (cRing)(kommutative Ringe) das Tensorprodukt über ℤ: R_{1}⊔ R_{2} = R_{1}⊗_{ℤ} R_{2}: die Abbildung R_{1,2} ⟶^{p_{1,2}} R_{1}⊔ R_{2} liefert eine bilineare Abbildung R_{1}× R_{2} → R_{1}⊔ R_{2}, x ⊗ y ↦ p_{1}(x)p_{2}(y) = p_{2}(y)p_{1}(x);

– in (Group)das “freie Produkt”, z.B. ist ⨆ _{I∈𝕀} ℤ die freie Gruppe auf Ob(𝕀).

Falls Ob(𝕀) = {1,2}, schreiben wir für das Produkt D_{1}× D_{2} und das Koprodukt D_{1}⊔ D_{2}.

Pullbacks/Pushouts • Sei 𝕀 von der Form [figure: •; •; •].

Ein Diagramm besteht dann aus Objekten und Morphismen

\xymatrix{ & D_{2} \ar[d]^{f_{2}} \\ D_{1} \ar[r]_{f_{1}} & D_{3}.}

Ein Limes ist eine Ergänzung zu einem kommutativen Diagramm

\xymatrix{L \ar[r]^{p_{2}} \ar[d]_{p_{1}} & D_{2} \ar[d]^{f_{2}} \\ D_{1} \ar[r]_{f_{1}} & D_{3}} (mit f_{2}p_{2} = f_{1}p_{1}(= p_{3}))  (10)

mit einer Faktorisierungseigenschaft

[figure: A; q_{2}; q_{1}; ∃!q̄; L; p_{2}; p_{1}; D_{2}; f_{2}; D_{1}; f_{1}; D_{3}] (mit f_{2}p_{2} = f_{1}p_{1}(= p_{3})).

Wir nennen (10) ein Pullback-Diagramm.

• Sei 𝕀 von der Form [figure: •; •; •].

Ein Diagram besteht dann aus Objekten und Morphismen

\xymatrix{D_{3} \ar[r]^{f_{2}} \ar[d]_{f_{1}} & D_{2} \\ D_{1}}

Ein Kolimes ist eine Ergänzung zu einem kommutativen Diagramm

\xymatrix{D_{3} \ar[r]^{f_{2}} \ar[d]_{f_{1}} & D_{2} \ar[d]^{p_{2}} \\ D_{1} \ar[r]_{p_{1}} & L} (mit p_{2}f_{2} = p_{1}f_{1}(= p_{3}))  (11)

mit einer Faktorisierungseigenschaft — ein Pushout-Diagramm.

Equalizer/Koequalizer Sei 𝕀 eine Kategorie der Form • ⇉ •. Ein Diagramm ist dann

ein Paar paralleler Morphismen D_{1} ⇉^{f}_{g} D_{2}.

• Ein Limes ist ein “universelles” Objekt L mit einem Morphismus L ⟶^{p} D_{1} mit f ∘ p = g ∘ p und wird Equalizer genannt. Z.B. ist

– ein Equalizer im Fall C = (Set)die Einbettung {d ∈ D_{1} : f(d_{1}) = g(d_{1})} ↪ D_{1};

– der Kern einer Abbildung V ⟶^{f} W in (Vect_{𝕜})ein Equalizer für V ⇉^{f}_{0} W.

• Ein Kolimes ist ein “universelles” Objekt L mit einem Morphismus D_{2} ⟶^{p} L mit p ∘ f = p ∘ g und wird Koequalizer genannt.

Z.B. ist der Kokern W /f(V) für eine Abbildung V ⟶^{f} W in (Vect_{𝕜})ein Koe-

qualizer für V ⇉^{f}_{0} V.

Frage Wie bildet man Limites in (Set)?

Idee Sei D: 𝕀 → (Set)ein Diagramm mit Limes (L ⟶^{p_{I}} DI)_{I∈𝕀}. Dann gilt

L ≡ Hom({1},L) ≡ {Kegel ({1} ⟶^{p_{I}} DI)_{I∈𝕀}}

≡ \{(\underbrace{p_{I}(1)}_{=:p̃_{I}} ∈ DI)_{I∈𝕀} : \underbrace{für alle I ⟶^{k} J in 𝕀 gilt p̃_{I} ⟼→^{Dk} p̃_{J}}_{(∗)} \}.

Ende d. Vorlesung vom 23.11.11

Wir sehen später: ähnlich werden Limites in (Group),(Ab),(Ring),(Vect_{𝕜}),... (Kategorien algebraischer Objekte) gebildet. Lemma 7.3. Ein Limes für ein Diagramm D: 𝕀 → (Set)ist

L:= { (p̃_{I})_{I} ∈ ∏_{I∈𝕀}DI : es gilt(∗)}

zusammen mit den natürlichen Projektionen (L ⟶^{p_{I}} DI)_{I∈𝕀}. Beweis. Sei (A ⟶^{q_{I}} DI)_{I∈𝕀} ein Kegel auf D. Zu zeigen: Es gibt genau ein q̄: A → L mit

p_{I}∘ q̄= q_{I} für alle I ∈ 𝕀.  (12)

Eindeutigkeit: Aus (12) folgt q̄(a) = (q_{I}(a))_{I} für alle a ∈ A. Existenz: (p̃_{I})_{I} := (q_{I}(a))_{I} erfüllt (∗), weil (A ⟶^{q_{I}} DI)_{I} ein Kegel ist: (Dk)(q_{I}(a)) = q_{J}(a) für alle I ⟶^{k} J in 𝕀. Frage Wie bildet man Kolimites in (Set)? Idee Sei D: 𝕀 → (Set)ein Diagramm mit Kolimes (DI ⟶^{p_{I}} L)_{I∈𝕀}. Dann gilt

• p_{I}(DI) ⊆ L für jedes I ∈ 𝕀 bzw. ⨆ DI \underrightarrow{⨆ p_{I}} L;

• für jedes Diagramm I ⟵^{f} K ⟶^{g} J kommutiert
\xymatrix{ &  & Df(z) = x \ar@{|->}[ddrr] \\  &  & DI \ar[dr]^{p_{I}} \\ z \ar@{|->}[uurr] \ar[ddrr] & DK \ar[ur]^{Df} \ar[dr]_{Dg} \ar[rr]^{p_{K}} &  & L & p_{I}(x) = p_{J}(y), \\  &  & DJ \ar[ur]_{p_{J}} \\  &  & Dg(z) = y \ar@{|->}[uurr]}

Lemma 7.4. Ein Kolimes für D: 𝕀 → (Set)ist

L:= ( ⨆_{I∈𝕀}DI) / _{∼}

zusammen mit den natürlichen Abbildungen (DI ⟶^{p_{I}} L)_{I∈𝕀}, wobei

mitDI ∋ x ∼ y ∈ DJ

:⇔ ∃ \xymatrix{I = I_{1} & & J_{1} = I_{2} & & J_{2} = I_{3} & & ... & & J_{n} = J \\ & K_{1} \ar[ur]_{f_{1}} \ar@{-->}[ul]^{g_{1}} & & K_{2} \ar@{-->}[ur]_{f_{2}} \ar@{-->}[ul]^{g_{2}} & & ... & & K_{n} \ar@{-->}[ur]_{f_{n}} \\ x = x_{1} & & y_{1} = x_{2} & & ... & & ... & & y_{n} = y \\ & z_{1} ∈ DK_{1} \ar@{|->}[ul]^{Dg_{1}} \ar@{-->}[ur]_{Df_{1}} & & & & & & z_{n} ∈ DK_{n} \ar@{|->}[ur]_{Df_{n}}}

Beweis. Analog zu Lemma 7.3.

Nützliche Sprechweise:

Definition 7.5. Wir sagen, eine Kategorie C

• hat (endliche) Limites/Kolimites [der Form 𝕀] ⇔ jedes Diagramm D: 𝕀 → C (mit |Ob(𝕀)| < ∞) hat einen Limes/Kolimes;

• hat (endliche) Produkte/Koprodukte/Equalizer/Koequalizer/…, wenn sie (endliche) Limites/Kolimites der entsprechenden Form hat;

• ist (ko-)vollständig, falls sie Limites/Kolimites hat.

Proposition 7.6. i) Hat C alle (endlichen) Produkte und Equalizer, so hat C alle (endlichen) Limites.

ii) Hat C alle (endlichen) Koprodukte und Koequalizer, so hat C alle (endlichen) Kolimites.

Beweis. i) Sei 𝕀 eine kleine Kategorie und D: 𝕀 → C ein Diagramm. Definiere Morphismen

∏_{I} DI ⇉^{r}_{s} ∏_{I⟶^{k} J}DJ  (13)

so, dass für jeden Morphismus I ⟶^{k} J in 𝕀 gilt:

\xymatrix{ & DJ \ar[ddr]^{1_{DJ}} \\  & ⟲ \\ ∏ _{I′}DI′ \ar[r]^{r} \ar[r]_{s} \ar[uur]^{p_{J}} \ar[ddr]_{p_{I}} & ∏ _{I′⟶^{k′} J′}DJ′ \ar[r]^{p_{k}} & DJ. \\  & ⟲ \\  & DI \ar[uur]_{Dk}}

Dann gilt für jedes Objekt A ∈ C:

\{Kegel von A auf (13)\} ≡ \{ \underbrace{Morphismus A ⟶^{q̄} ∏_{I} DI}_{= Familie (A ⟶^{q_{I}} DI)_{I}} mit \underbrace{r ∘ q̄= s ∘ q̄}_{q_{J} = Dk ∘ q_{I} für alle I ⟶^{k} J}\}

≡ {Kegel von A auf D}

und somit ist ein Equalizer für r,s, also ein Limes für (13), dasselbe wie ein Limes für D. ii) Analog.

7.2 (Ko-)Limites als Darstellungen von Funktoren

Sei 𝕀 eine kleine Kategorie. Definiere für jedes A ∈ C ein “konstantes Diagramm”/einen “Diagonalfunktor”:

ΔA: 𝕀 → C, \{ \begin{matrix}I ↦ A, \\ (I ⟶^{k} J) ↦ (A ⟶^{1_{A}} A). \end{matrix}

Dann gilt für jedes Diagramm D: 𝕀 → C:

{natürliche Transformationen 𝕀 [figure: ΔA; D; ⇓q]C}

= {Familien (q_{I}: ΔA(I) = A → DI)_{I∈𝕀} s.d. (*) für jedes I ⟶^{k} J in 𝕀 kommutiert}

\xymatrix{ΔA(I) = A \ar[d]_{q_{I}} \ar[r]^{ΔA(k)=1_{A}} & A = ΔA(J) \ar[d]^{q_{J}} \\ DI \ar[r]_{Dk} & DJ}  (*)

= {Kegel (A ⟶^{q_{I}} DI)_{I∈𝕀}}

und analog

{natürliche Transformationen 𝕀 [figure: D; ΔA; ⇓q]C} = {Kokegel (DI ⟶^{q_{I}} A)_{I∈𝕀}}.

Jeder Morphismus A ⟶^{f} B in C liefert eine triviale natürliche Transformation

Δf: ΔA → ΔB, (Δf)_{I}: (ΔA)(I) = A ⟶^{f} B = (ΔB)(I) für alle I ∈ 𝕀.

Wir erhalten also einen Funktor

Δ: C → [𝕀,C], \{ \begin{matrix}A ↦ ΔA, \\ (A ⟶^{f} B) ↦ (ΔA −→^{Δf} ΔB). \end{matrix}

Proposition 7.7. i) Ein Limes für D: 𝕀 → C ist dasselbe wie eine Darstellung für den Funktor H_{D}∘ Δ = Hom_{[𝕀,C]}(Δ−,D): C → (Set).

ii) Ein Kolimes für D: 𝕀 → C ist dasselbe wie eine Darstellung für den Funktor

H^{D}∘ Δ: C^{op} → (Set).

Ende d. Vorlesung vom 30.11.

Beweis. i) Yoneda-Lemma (Bemerkung 5.7) ⇒ eine Darstellung für F := H_{D}∘ Δ ist

ein L ∈ C mit einem p ∈ F L = Hom(ΔL,D) = {Kegel von L auf D}

so, dass für jedes A ∈ C folgende Abbildung eine Bijektion ist:

Hom(A,L)→ FA = Hom(ΔA,D) = {Kegel von A auf D},
q̄↦ F (q̄)(p) = H_{D}(Δ(q̄))(p) = ( ΔA ⟶^{Δq̄} ΔL ⟶^{p} D) .

Das ist aber genau die Definition eines Limes für D. ii) Analog.

Wie verhalten sich Limites bei Änderungen des Diagramms D?

Jede natürliche Transformation 𝕀 [figure: D; D′; ⇓α]C liefert

• für jeden Kegel auf D einen Kegel auf D′;

• einen Morphismus der Limites, falls diese existieren:

[figure: ΔA; q; q̄; Δ\overline{α∘q}; Δ(lim_{←𝕀}D); Δlim_{←𝕀}α; D; α; Δ(lim_{←𝕀}D′); D′.]

Hat C alle Limites der Form 𝕀, so erhalten wir einen Funktor lim_{←𝕀}: [𝕀,C] → C: Folgerung 7.8. i) Ist 𝕀 eine kleine Kategorie und hat C alle Limites der Form 𝕀, so

gibt es eine Adjunktion C [figure: Δ; lim_{←𝕀}; ⊥][𝕀,C]:

Hom_{[C,𝕀]}(ΔA,D) ≅ Hom_{C}(A,lim_{←𝕀}D),  (ΔA ⟶^{q} D)≡ (A ⟶^{q̄} lim_{←𝕀}D).

ii) Ist 𝕀 eine kleine Kategorie und hat C alle Kolimites der Form 𝕀, so gibt es eine Adjunktion [𝕀,C] [figure: ^{lim^{→𝕀}}; Δ; ⊥]C.

Beweis. Folgt aus Proposition 7.7 und 6.3.

7.3 Stetigkeit und Kostetigkeit von Funktoren

Wie verhalten sich Limites bei Änderungen der Kategorie C? Jeder Funktor F : B → C liefert

• für jedes Diagramm 𝕀 ⟶^{D} B ein Diagramm 𝕀 ⟶^{D} B ⟶^{F} C;

• für jeden Kegel 𝕀 [figure: ΔA; D; ⇓q]B einen Kegel 𝕀 \xymatrix{F ∘(ΔA)=Δ(FA) \ar[d] \\ ⇓F q \\ F ∘D \ar[u]} C.

Definition 7.9. Ein Funktor F : B → C

• bewahrt Limites (der Form 𝕀), falls für jedes Diagramm 𝕀 ⟶^{D} B und jeden Limes ΔL ⟶^{p} D der Kegel ΔF L −→^{F p} F D ein Limes ist;

• ist stetig, falls F Limites bewahrt. Analog definieren wir “F bewahrt Kolimites” und “F ist kostetig”. Beispiele 7.10. i) Bewahren

(Set) [figure: ⟨·⟩; |·|; ⊥](Group).

(Ko-)Produkte? Für alle Gruppen G,H gilt i.A. • |G × H| = |G| × |H|, und | · | bewahrt alle Produkte;

• | \underbrace{G ⊔ H}_{freies Produkt}| ≇ |G| ⊔ |H|, also bewahrt | · | nicht Koprodukte.

Für alle Mengen X,Y gilt i.A.

• ⟨X ⊔ Y ⟩ = ⟨X⟩ ⊔ ⟨Y ⟩, und ⟨·⟩ bewahrt alle Koprodukte;

• ⟨X × Y ⟩ ≇ ⟨X⟩ × ⟨Y ⟩, z.B. gilt im Fall |X| = 1 = |Y |

ℤ ≅ ⟨X × Y ⟩ ≇ ⟨X⟩ × ⟨Y ⟩ ≅ ℤ × ℤ;

also bewahrt ⟨·⟩ nicht Produkte. ii) Bewahren

(Top)[figure: Stone-Čech-Kompakt. X ↦ X̂; Inklusion ι; ⊥] ( \begin{matrix}kompakte \\ Hausdorff- \\ Räume \end{matrix})

(Ko-)Produkte? Sehen später: ˆ·ist kostetig, ι ist stetig.

• ι bewahrt keine Koprodukte:

Sei (X_{i})_{i} eine unendliche Familie kompakter Hausdorff-Räume. ⨆ _{i}ι(X_{i}) ist die disjunkte Vereinigung, nicht kompakt! ⨆ _{i}X_{i} ist gerade ; ⨆ _{i}ι(X_{i}) (ÜA).

• ˆ·bewahrt keine Produkte; z.B. ℕ̂ × ℕ̂ ≇ { \atop ℕ × ℕ}.

Für jeden diskreten Raum X ist C(X̂) ≅ l^{∞} (X), also

C(ℕ̂ × ℕ̂) ≅ C(ℕ̂) ⊗_{C^{∗}}C(ℕ̂) ≅ l^{∞} (ℕ) ⊗_{C^{∗}}l^{∞} (ℕ) ⊊ l^{∞} (ℕ × ℕ) ≅ C({ \atop ℕ × ℕ})

(z.B. liegt δ: (x,y) ↦ δ_{x,y}in l^{∞} (ℕ × ℕ) \ l^{∞} (ℕ) ⊗_{C^{∗}}l^{∞} (ℕ)).

Lemma 7.11. Sei B vollständig. Dann sind für jedes F : B → C äquivalent: i) F bewahrt Equalizer und Produkte; ii) F ist stetig; iii) F bewahrt terminale Objekte und Pull-backs für Familien (=Limites für Diagram-

me auf einer kleinen Kategorie der Form \xymatrix{··· \ar[drr] & • \ar[dr] & ··· & • \ar[dl] & ··· \ar[dll] \\ & & •}).

Analoge charakterisiert man Kostetigkeit.

Beweis. i) ⇒ ii): Jeder Limes ist ein Equalizer zwischen Produkten (Proposition 7.6). ii) ⇒ iii): Klar. iii) ⇒ i): Sei, 0 ∈ B terminal. Dann ist

• ein Produkt für (B_{I})_{I} dasselbe wie ein Pull-back für (BI → 0)_{I};

• ein Equalizer für B ⇉^{f}_{g} B′dasselbe wie ein Pull-back für

\xymatrix{ & B \ar[d]^{f×1_{B}} \\ B \ar[r]_{g×1_{B}} & B′× B.}

Proposition 7.12. Jeder darstellbare Funktor F : B → (Set)ist stetig.

Der Beweis benutzt:

Lemma 7.13. Für jedes Diagramm D: 𝕀 → B und jedes A ∈ B gilt

Hom(ΔA,D)= {Kegel(A ⟶^{q_{I}} DI)_{I∈𝕀}}

= \{ (q_{I})_{I} ∈ ∏_{I∈𝕀} \underbrace{Hom(A,DI)}_{=(H^{A}∘D)(I)}: für jedes I ⟶^{k} J in 𝕀 gilt \underbrace{(Dk)q_{I}}_{=(H^{A}∘D)(k)} = q_{J}\}

=^{Lemma 7.3} lim_{←𝕀}(H^{A}∘ D).

Beweis von Proposition 7.12. Sei D: 𝕀 → B ein Diagramm mit Limes ΔL ⟶^{p} D und sei A ∈ C. Ist F = H^{A}, so erhalten wir einen Isomorphismus

[figure: H^{A}(L) = Hom(A,L); H^{A}p_{I}; q̄↦p_{I}∘q̄; ≅; q̄↦(p_{I}∘q̄)_{I}; H^{A}DI = Hom(A,DI); Hom(ΔA,D); lim_{←𝕀}H^{A}D; (p_{I′}∘q̄)_{I′}↦p_{I}∘q̄; H^{A}DI = Hom(A,DI).]

Ist F ⟶_{ϕ}^{≅} H^{A}, so erhalten wir

\xymatrix{Δ(F L) \ar[r]^{F p} \ar[d]^{≅}_{Δϕ_{L}} & F D \ar[d]_{≅}^{ϕ_{D}} \\ Δ(H^{A}L) \ar[r]_{H^{A}p} & H^{A}D.}

Weil H^{A}p ein Limes ist und Δϕ_{L},ϕ_{D} Isomorphismen sind, muss F p ein Limes sein.

Ende d. Vorlesung vom 07.12.11

Bemerkung 7.14. i) Ersetzt man B durch B^{op}, so erhält man: für jedes A ∈ B ist H_{A}: B^{op} → (Set)stetig.

ii) Für jedes Diagramm D: 𝕀 → B mit einem Limes und jedes A ∈ B gilt also

Hom_{B}(A,lim_{←𝕀}D)≅ lim_{←𝕀}Hom_{B}(A,D−).

Fassen wir D als Diagramm 𝕀^{op}→ B^{op} auf, erhalten wir lim_{→𝕀} D = lim_{←𝕀^{op}} D und

Hom_{B}(lim_{→𝕀}D,A)= Hom_{B^{op}}(A, lim_{←𝕀^{op}} D)
≅ lim_{←𝕀^{op}} Hom_{B^{op}}(A,D−) = lim_{←𝕀^{op}} Hom_{B}(D−,A).

iii) Im Allgemeinen sind darstellbare Funktoren nicht kostetig. Beispiel: Hat B ein initiales Objekt 1, dann ist H^{1}(1) = Hom(1,1) = H_{1}(1) nicht initial in (Set), weil |Hom(1,1)| = 1 ≠ 0.

Proposition 7.15. Hat F : B → C ein Rechts-/Links-Adjungiertes, so ist F kostetig/stetig.

Beweis. Sei B [figure: F; G; ⊥]C eine Adjunktion. Sei D: 𝕀 → B ein Diagramm mit Kolimes

D ⟶^{p} ΔL und sei C ∈ C. Dann liefern die Bijektionen

Hom(F B,C) ≅ Hom(B,GC) natürlich bzgl. B ∈ B

Bijektionen

{Kokegel (F DI ⟶^{q_{I}} C)_{I}} ≅ {Kokegel (DI ⟶^{q_{I}} GC)_{I}}

= {Kokegel(DI ⟶^{p_{I}} L → GC)_{I}}

≅ {Kokegel(F DI ⟶^{F p_{I}} F L → C)_{I}}.

Somit ist (F DI ⟶^{F p_{I}} F L)_{I} ein Kolimes für F D.

Beispiel 7.16. i) Der Vergiss-Funktor (Top)→ (Set)hat ein Links- und ein Rechts-Adjungiertes und ist somit stetig und kostetig.

ii) In

(Set) [figure: ⟨·⟩; |·|; ⊥](Group).

ist | · | nicht kostetig, ⟨·⟩ nicht stetig ⇒ | · | hat kein Rechts-Adjungiertes, ⟨·⟩ kein Links-Adjungiertes.

7.4 (Ko-)Limites in Kategorien von Funktoren

Seien 𝕀,𝕁 kleine und C eine beliebige Kategorie und sei D: 𝕀 × 𝕁 → C ein Diagramm. Beispiel 𝕀 = 𝕁 = ℕ (als Ordnung):

[figure: ⋮; ⋮; ···; D(n,m + 1); D(n + 1,m + 1); ···; D_{•}(m) = D(−,m); ···; D(n,m); D(n + 1,m); ···; ⋮; ⋮; D(n,−) = D^{•}(n)]

Wir präzisieren in diesem Abschnitt folgende Ideen:

(L1) Wie berechnet man lim_{←(𝕀×𝕁)} D? Schrittweise:

– bestimme für jedes I ∈ 𝕀 den Limes LI ≅ lim_{←𝕁}D(I,−);

erhalten 𝕀 ⟶^{L} C und lim_{←𝕀×𝕁} D ≅ lim_{←𝕀}L; oder

– bestimme für jedes J ∈ 𝕁 den Limes L′J = lim_{←𝕀}D(−,J);

erhalten 𝕁 ⟶^{L′} C und lim_{←𝕀×𝕁} D ≅ lim_{←𝕁}L′.

(L2) Wir können D auffassen als Diagramm

𝕀 −→^{D^{•}} [𝕁,C], I ↦ D(I,−), oder 𝕁 −→^{D_{•}} [𝕀,C], J ↦ D(−,J),

und dann gilt L′≅ lim_{←𝕀}D^{•} und L ≅ lim_{←𝕁}D_{•}.

(L3) Zusammengefasst: “Limites kann man vertauschen”:

lim_{←𝕁}lim_{←𝕀}D^{•} ≅ lim_{←𝕁}L′≅ lim_{←(𝕀×𝕁)} D ≅ lim_{←𝕀}L ≅ lim_{←𝕀}lim_{←𝕁}D_{•}.

Wir präzisieren zuerst (L2). Sei 𝕀 −→^{D^{•}} [𝕁,C] ein Diagramm und 𝕁 beliebig (nicht notwendig klein).

Lemma 7.17. Für jedes J ∈ 𝕁 habe D(−,J) einen Limes (LJ ⟶^{p_{I,J}} D(I,J))_{I∈𝕀}.

i) Für jeden Morphismus J ⟶^{f} J′in 𝕁 gibt es genau einen Morphismus LJ −→^{Lf} LJ′ mit

[figure: Δ(LJ); p_{−,J}; ⟲; Δ(Lf); D(−,J); D(−,g); Δ(LJ′); p_{−,J′}; D(−,J′)] .  (14)

und wir erhalten einen Funktor 𝕁 ⟶^{L} C.

ii) Die Familie (L −−→^{p_{I,−}} D(I,−) = D^{•}I)_{I∈𝕀} ist ein Limes für D^{•}.

Beweis. i) Siehe §7.2. ii) Jedes p_{I,−} ist eine natürliche Transformation wegen (14), und (p_{I,−})_{I} erfüllen die Kegelbedingung, weil (p_{I,J})_{I} das nach Annahme für jedes J tut. Wir prüfen die Limes-Bedingung: Sei (F ⟶^{q_{I,−}} D^{•}I)_{I∈𝕀} ein Kegel.

• Wir erhalten für jedes J ∈ 𝕁 einen Kegel (F J ⟶^{q_{I,J}} D(I,J))_{I∈𝕀} und somit genau ein

F J −−→^{\overline{q_{−,J}}} LJ mit q_{−,J} = p_{−,J} ∘ \overline{q_{−,J}}.

• Die (\overline{q_{−,J}})_{J} bilden eine natürliche Transformation F ⟶^{\overline{q}} L, wegen der Eindeutigkeit der Abb. F J → LJ′in (14).

Somit existiert genau ein F ⟶^{\overline{q}} L mit q_{−,−} = p_{−,−} ∘ \overline{q}.

Proposition 7.18. lim_{←𝕀}D^{•} existiert ⇔ lim_{←𝕀}D(−,J) existiert für jedes J ∈ 𝕁.

Beweis. ⇐ gerade gesehen; ⇒ offensichtlich. Proposition 7.19. Ist C vollständig, so auch [𝕁,C]. Beweis. Folgt sofort; Kurzbeweis: Ist 𝕀 −→^{D^{•}} [𝕁,C] ein Diagramm, dann ist

L: 𝕁 −→^{D_{•}} [𝕀,C] ⟶^{lim_{←𝕀}} C

ein Limes für D^{•}, weil für jedes F ∈ [𝕁,C] gilt:

Hom_{[𝕁,C]}(F,lim_{←𝕀}D_{•}) ≅^{Folgerung 7.8} Hom_{[𝕁,[𝕀,C]]}(Δ ∘ F,D_{•}) ≅ Hom_{[𝕀,[𝕁,C]]}(Δ(F),D^{•}).

Folgerung 7.20. [𝕁,(Set)] ist für jede Kategorie 𝕁 vollständig. Wir beweisen nun (L1). Sei 𝕁 wieder klein. Proposition 7.21. lim_{←𝕁}lim_{←𝕀}D^{•} ≅ lim_{←𝕀×𝕁} D ≅ lim_{←𝕀}lim_{←𝕁}D_{•}, genauer:

i) existiert lim_{←𝕁}lim_{←𝕀}D^{•}, dann ist das ein Limes für D; ii) existiert lim_{←𝕀}lim_{←𝕁}D_{•}, dann ist das ein Limes für D.

Beweis. Zeigen nur i): Für jedes A ∈ C gilt

Hom_{C}(A,lim_{←𝕁}lim_{←𝕀}D^{•})≅ Hom_{[𝕁,C]}(ΔA,lim_{←𝕀}D^{•})
≅ Hom_{[𝕀,[𝕁,C]]}(ΔΔA,D^{•}) ≅ Hom_{[𝕀×𝕁,C]}(ΔA,D).

Wir benutzen nun folgende Sprechweise: Definition 7.22. Ein Funktor F : A → B

• reflektiert Limites (der Form 𝕀) :⇔ ist 𝕀 ⟶^{D} A ein Diagramm, ΔL ⟶^{p} D ein Kegel und ΔF L −→^{F p} F D ein Limes, dann ist ΔL ⟶^{p} D auch ein Limes;

• erzeugt Limites (der Form 𝕀) :⇔

i) ist 𝕀 ⟶^{D} A ein Diagramm und hat F D einen Limes, dann hat F D einen Limes der Form ΔF L −→^{F p} F D für einen Kegel ΔL ⟶^{p} D;

ii) F reflektiert Limites (insbesondere ist ΔL ⟶^{p} D in i) ein Limes für D). Analog: F reflektiert/erzeugt Kolimites.

Beispiel 7.23. Der Vergiss-Funktor (Group)⟶^{|·|} (Set)erzeugt Limites: Sei 𝕀 ⟶^{D} (Group) ein Diagramm. Dann ist nach Lemma 7.3

lim_{←𝕀}(| · | ∘ D) = { (x_{I})_{I∈𝕀} ∈ ∏_{I∈𝕀}|DI| : (Df)(x_{I}) = x_{I′}für alle I ⟶^{f} I′in 𝕀}

bezüglich der komponentenweisen Verknüpfung eine Gruppe — weil Df ein Homomorphismus ist für jedes f — und diese Gruppe ist ein Limes für D. Allgemein: Jeder Vergiss-Funktor zwischen “Kategorien algebraischer Objekte” (genauer: Kategorien von Algebren für Monaden) erzeugt Limites.

Ende d. Vorlesung vom 11.01.2012

Bemerkung 7.24. Erzeugt F : B → C Limites und ist C vollständig, so ist B vollständig und F stetig.

Proposition 7.25. Für jede kleine Kategorie 𝕁 ist die Yoneda-Einbettung H_{•}: 𝕁 → [𝕁^{op},(Set)] stetig.

Beweis. Sei 𝕀 ⟶^{D} 𝕁 ein Diagramm mit Limeskegel (L → DI)_{I∈𝕀}. Dann gilt:

(H_{L} → H_{DI})_{I∈𝕀} ist Limeskegel ⇔^{7.17} ∀J ∈ 𝕁: (\underbrace{H_{L}(J)}_{H^{J}(L)}→ \underbrace{H_{DI}(J)}_{H^{J}(DI)})_{I∈𝕀} ist Limeskegel.

Nach Proposition 7.12 ist aber jedes H^{J} stetig.

Teil III

Kategorien mit Zusatzstruktur

8 Monoidale Kategorien

8.1 Grundbegriffe

Definition 8.1. Eine monoidale Kategorie besteht aus

i) einer Kategorie C mit einem Funktor −□−: C × C → C,

ii) einem natürlichen Isomorphismus (Assoziativität) (X□Y)□Z −−−→^{a_{X,Y,Z}} X□(Y □Z) für X,Y,Z ∈ C;

iii) einem Objekt I ∈ C (Tensor-Eins) mit Isomorphismen I□X ⟶^{l_{X}} X ⟵^{r_{X}} X□I für X ∈ C; so dass für alle W,X,Y,Z ∈ C folgende Diagramme kommutieren:

\xymatrix{((W □X)□Y)□Z \ar[d]_{a_{W □X,Y,Z}} \ar[r]^{a_{W,X,Y}□1} & (W □(X□Y))□Z \ar[dd]^{a_{W,X□Y,Z}} \\ (W □X)□(Y □Z) \ar[d]_{a_{W,X,Y □Z}} \\ W □(X□(Y □Z)) & W □((X□Y)□Z), \ar[l]^{1□a_{X,Y,Z}}}

\xymatrix{(X□I)□Y \ar[rr]^{a_{X,I,Y}} \ar[dr]_{r_{X}□1_{Y}} &  & X□(I□Y) \ar[dl]^{1_{X}□l_{Y}} \\  & X□Y.}

Die monoidale Kategorie heißt strikt, falls a_{X,Y,Z}, l_{X}, r_{X} in ii), iii) jeweils die Identität sind. Mit etwas Vorsicht kann man annehmen, dass monoidale Kategorien strikt sind. Theorem. Jede monoidale Kategorie ist als solcheäquivalent zu einer strikt monoidalen Kategorie. Beispiele 8.2. Wichtige Standard-Beispiele für monoidale Kategorien:

i) (Set)mit X□Y = X × Y und I = {•} (bel. einelementige Menge); analog: (Top), (Group), (Vect_{𝕜}), (Cat), … Allgemein: Hat eine Kategorie C endliche Produkte, also • zu je zwei Objekten X,Y ein Produkt X × Y und • ein terminales Objekt I,

so erhält man dadurch auf C eine monoidale Struktur. ii) (Vect_{𝕜})mit V □W = V ⊗ W und I = 𝕜; iii) Kategorie der Bimoduln über einem Ring R mit M□N = M ⊗_{R}N und I = R (Bi-

modul via Links- und Rechtsmultiplikation); iv) Kategorie der Darstellungen einer Gruppe, siehe Übung;

Weniger offensichtliche Beispiele: v) (Set)mit X□Y = X ⊔ Y und I = ∅;

analog: (Top), (Cat), (Group)mit dem freien Produkt, …

Allgemein, dual zu i): Hat C endliche Koprodukte, so erhält man dadurch auf C eine monoidale Struktur.

vi) [A,A] — Endofunktoren einer Kategorie A — mit F □G = F ∘ G (Komposition von Funktoren) und α□β = α • β (horizontale Verknüpfung von Transformationen) sowie I = 1_{A}; wird später wichtig;

vii) ℕ (mit 0; partielle Ordnung als Kategorie) mit wahlweise n□m = \{ \begin{matrix}n + m, \\ nm, \\ max(n,m), \\ min(n,m). \end{matrix}

Definition 8.3. Seien C,D strikt monoidale Kategorien. Ein Funktor C ⟶^{F} D ist strikt monoidal :⇔ F X□F Y = F (X□Y) für alle X,Y ∈ C und F I_{C} = I_{D}.

Dieser Begriff hat viele sinnvolle Abschwächungen: statt F X□F Y = F (X□Y) fordert man z.B. F X□F Y ≅ F (X□Y) oder nur nat. Transformationen F X□F Y → F (X□Y) oder F (X□Y) → F X□F Y.

8.2 Monoide

Sei C eine strikt monoidale Kategorie.

Definition 8.4. Ein Monoid in C besteht aus einem M ∈ C mit Morphismen M□M ⟶^{μ} M Multiplikation und I_{C} ⟶^{η} M (die Eins) so, dass

[figure: M□M□M; μ□1_{M}; ⟲; 1_{M}□μ; M□M; μ; M□M; μ; M,; I_{C}□M; l_{M}; η□1_{M}; ⟲; M,; M□M; μ; M□I_{C}; r_{M}; 1_{M}□η; ⟲; M.; M□M; μ]

Morphismen von Monoiden sind in der naheliegenden Weise definiert, und alle Monoide in C bilden eine Kategorie (Mon_{C}).

Beispiele 8.5. Was sind Monoide in den Kategorien aus dem vorherigen Beispiel?

i) in (Set)mit ×: Monoide;

ii) in (Cat)mit ×: strikt monoidale Kategorien, wobei μ ≡ −□− und η ≡ (• → I_{C}); iii) (Vect_{𝕜})mit ⊗: 𝕜-Algebren;

8.6. Diese Nummer habe ich in der Vorlesung bei der Nummerierung leider übersprungen.

Beispiele 8.7. Ist C monoidal, so auch C^{op} bezüglich desselben Funktors −□−. Ein Monoid in C^{op} heißt Komonoid in C und ist ein M ∈ C mit einer Komultiplikation M ⟶^{Δ} M□M und Koeins M ⟶^{ϵ} I, die gewisse Diagramme kommutativ machen.

i) In (Set),(Top),(Group),(Cat)ist jedes Objekt M ein Komonoid bezüglich der Diagonalabbildung M −−−−→^{1_{M}×1_{M}} M × M und dem eindeutigen Morphismus M ⟶^{ϵ} I (hier ist I jeweils terminal).

ii) Ein Komonoid in (Vect_{𝕜})^{op} ist eine Koalgebra. Beispiel: Für jede endliche Grup-

pe G • C(G) mit Δ(δ_{x}) = ∑_{x=yx}δ_{y}⊗ δ_{x} und ϵ(δ_{x}) = δ_{x,e};

• ℂG mit Δ(x) = x ⊗ x und ϵ(x) = 1 für alle x ∈ G. Das sind sogar Komonoide in (Mon_{(Vect_{𝕜})}), sogenannte Bialgebren.

Monoide können auf anderen Objekten wirken: Definition 8.8. Sei (M,μ,η) ein Monoid. Eine Wirkung davon auf einem Objekt X ∈ C ist ein Morphismus M□X ⟶^{α} X, für den gilt:

[figure: M□M□X; μ□1_{X}; 1_{M}□α; ⟲; M□X; α; M□X; α; X,; I□X; l_{X}; η□1_{X}; ⟲; X.; M□X; α]

Wirkungen von einem Monoid bilden in naheliegenderweise eine Kategorie. Beispiele 8.9. Was sind Wirkungen von folgenden Monoiden?

i) Für (A,μ,η) in (Vect_{𝕜})mit ⊗: Links-Moduln über der Algebra A;

ii) Für das Monoid (ℕ,+,0) in (Cat): Sei C mit α: ℕ×C → C eine Wirkung. Dann erfüllen die Funktoren α_{n}:= α(n,−): C → C die Gleichung α_{n+1} = α_{1}∘α_{n}, weil

\xymatrix{(1,n,X) \ar[r]^{μ×1_{C}} \ar[d]^{1×α} & (n + 1,X) \ar[d]^{α} \\ (1,α(n,X)) \ar[r]_{α} & X}

für jedes X ∈ C kommutiert; also α(n,−) = (α_{1})^{n}(X).

Eine Wirkung von ℕ ist also gegeben durch eine Kategorie C mit einem beliebigen α_{1} ∈ [C,C].

Ende d. Vorlesung vom 18.01.2012

8.3 Monaden

Sei A eine Kategorie. Mit Monaden kann man “algebraische” Kategorien über A beschreiben. Letztere sind stets Teil einer Adjunktion

A = (Objekte ohne Zusatzstruktur) [figure: “freie Algebren”; Vergiss-Funktor; ⊥]“algebraische” Kategorie, (15)

welche zu folgender Struktur führt:

Definition 8.10. Eine Monade auf A ist ein Monoid (T,μ,η) in [A,A]. besteht also aus einem Funktor A ⟶^{T} A und natürlichen Transformationen T^{2} ⟶^{μ} T und 1_{A} ⟶^{η} T, so dass folgende Diagramme für jedes X ∈ A kommutieren:

\xymatrix{T T T X \ar[r]^{T μ_{X}} \ar[d]_{μ_{T X}} & T T X \ar[d]^{μ_{X}} & T X \ar[rr] \ar[dr]_{η_{T X}} &  & T X, & T X \ar[rr] \ar[dr]_{T η_{X}} &  & T X. \\ T T X \ar[r]_{μ_{X}} & T X, &  & T T X \ar[ur]_{μ_{X}} &  &  & T T X \ar[ur]_{μ_{X}}}

Proposition 8.11. Sei A [figure: F; G; ⊥]B eine Adjunktion mit Eins 1_{A} ⟶^{η} GF und Koeins F G ⟶^{ϵ}

1_{B}. Dann ist T := GF ∈ [A,A] mit GF GF −−−−→^{μ:=Gϵ_{F}} GF und 1_{A} ⟶^{η} GF eine Monade.

Beweis. Das Quadrat kommutiert, weil ϵ: F G → 1 eine natürliche Transformation ist; die Dreiecke wegen der Dreiecks-Identitäten (Proposition 6.8).

Beispiel 8.12. i) Die Adjunktion (Set) [figure: ⟨·⟩; |·|; ⊥](Monoid)liefert eine Monade auf (Set):

• T X = |⟨X⟩| = {x_{1}...x_{n}|x_{1},...,x_{n} ∈ X,n ∈ ℕ} Menge aller Wörter auf dem Alphabet X;

• T^{2}X ⟶^{μ_{X}} T X ist das “Weglassen von Klammern”: (x_{1,1}...x_{1,n_{1}})(x_{2,1}...x_{2,n_{2}})... ↦

x_{1,1}...x_{1,n_{1}}x_{2,1}...x_{2,n_{2}}...;

• X −→^{η_{X}} T X ist die natürliche Inklusion.

ii) Ist A monoidal, so liefert jedes Monoid (M,μ^{M},ν^{M}) in A eine Monade:

T X:= M□X, M□M□X−−−−−⟶^{μ_{X}:=μ^{M}□1_{X}} M□X, X −−−−−−−→^{η_{X}:=η^{M}□1_{X}} M□X.

iii) Sei R ein Ring. Als Monoid in (Ab) liefert dieser eine Monade. Die Adjunktion

(Ab) [figure: R⊗−; Vergiss; ⊥](R-Mod) liefert dieselbe Monade auf (Ab).

Jede Monade T = (T,μ,η) auf A liefert eine “algebraische” Kategorie in (15):

Definition 8.13. Eine T -Algebra ist ein A ∈ A mit T A ⟶^{θ} A so, dass:

\xymatrix{T^{2}A \ar[r]_{⟲}^{T θ} \ar[d]_{μ_{A}} & T A \ar[d]^{θ} & A \ar[r]^{η_{A}} \ar[dr]_{1_{A}} & T A \ar[d]_{⟲}^{θ} \\ T A \ar[r]_{θ} & A, &  & A}

Alle T -Algebren bilden eine Kategorie A^{T}, wobei

Hom( \xymatrix{T A \ar[d]^{θ_{A}} \\ A} , \xymatrix{T B \ar[d]^{θ_{B}} \\ B} ) = \{ g ∈ Hom(A,B) : \xymatrix{T A \ar[d]_{θ_{A}} \ar[r]_{⟲}^{T g} & T B \ar[d]^{θ_{B}} \\ A \ar[r]^{g} & B} \} .

Beispiel 8.14. i) Ist A monoidal, M ein Monoid in A und T die entsprechende Monade (Beispiel 8.12 ii)), so ist A^{T} die Kategorie der M -Wirkungen.

ii) Eine Algebra für die Monade T aus Beispiel 8.12 i) ist eine Menge A mit einer Abbildung |⟨A⟩| ∋ a_{1}...a_{n} ↦ θ(a_{1}...a_{n}) ∈ A. Kommutativität des Quadrats bedeutet z.B. für alle x,y,z ∈ A:

\xymatrix{(xy)z \ar[r]^{T θ} \ar[d]_{μ} & θ(xy)z \ar[d]^{θ} \\ xyz \ar[r]_{θ} & θ(xyz) = θ(θ(xy)z) = θ(xθ(yz)) \\ x(yz) \ar[r]_{T θ} \ar[u]^{μ} & xθ(yz) \ar[u]_{θ}}

⇒ (Set)^{T} = (Halbgruppen).

iii) Jedes A ∈ A liefert eine “freie Algebra” T A mit T^{2}A ⟶^{μ_{A}} T A, und jeder Morphismus A ⟶^{g} B in A ergibt einen Morphismus T A −→^{T g} T B in A^{T}; s.u..

Wir erhalten nun aus T eine Adjunktion wie in (15):

Proposition 8.15. Es gibt eine Adjunktion A [figure: F^{T}; G^{T}; ⊥]A^{T}, wobei

• F^{T} der “freie-Algebra-Funktor” ist: \{ \begin{matrix}A ↦ T A mit(T^{2}A ⟶^{μ_{A}} T A), \\ g ↦ T g; \end{matrix}

• G^{T}: A^{T} → A der Vergiss-Funktor ist;

• die Eins 1_{A} ⟶^{η^{T}} G^{T}F^{T} gegeben ist durch A −→^{η_{A}} T A;

• die Koeins F^{T}G^{T} −→^{ϵ^{T}} 1_{A^{T}} gegeben ist durch F^{T}G^{T}(A,θ) = (T A,μ_{A}) ⟶^{θ} (A,θ). Die zugehörige Monade (Proposition 8.11) ist genau T . Beweis. Übungsaufgabe.

Proposition 8.16. Ist A [figure: F; G; ⊥]B eine Adjunktion und T die zugehörige Monade, so

gibt es genau einen Funktor B ⟶^{K} A^{T} mit G^{T}K = G und KF = F^{T}. Beweis. Übungsaufgabe. Definition 8.17. Eine Adjunktion heißt monadisch, falls der entsprechende Funktor K ein Isomorphismus ist. Die meisten unserer Beispiele von Adjunktionen sind monadisch. Beispiel 8.18. i) Kompakte Räume bilden eine “algebraische” Kategorie über (Set)

(s. [ML98, §VI.9])! Die zu (Set) [figure: Stone-Cech; Vergiss; ⊥] (CmptHausd) gehörige Monade ist

gegeben durch (ÜA):

• X ↦ T X := {alle Ultrafilter auf X};

• X −→^{η_{X}} T X, x ↦ {Y ⊆ X : x ∈ Y };

• T T X ⟶^{μ} T X, F ↦ {Y ⊆ X : {F ∈ T X : Y ∈ F } ∈ F }.

ii) (Set) [figure: diskret; Vergiss; ⊥](Top)ist nicht monadisch — die zugehörige Monade ist die Iden-

tität und deren Algebren sind einfach Mengen (nicht topologische Räume). Monadische Adjunktionen werden durch Becks “Monadizitäts-Theorem” [ML98, §VI.7] charakterisiert.

8.4 Das universelle Monoid in der Kategorie Δ

Die Kategorie Δ ist definiert durch

Ob(Δ) = ℕ, Hom(m,n)= {monotone Abbildungen {1,...,m} → {1,...,n}},

mit gewöhnlicher Verknüpfung von Abbildungen. Sie trägt eine strikt monoidale Struktur mit

m□n:= m + n,  I:= 0,  (m ⟶^{f} n)□(m′⟶^{g} n′): x ↦ \{ \begin{matrix}f(x), & x ≤ m, \\ g(x − m), & x > m. \end{matrix}

Das Objekt 1 ∈ Δ ist ein Monoid bezüglich der eindeutigen Abbildungen 1□1 = 2 → 1 und 0 → 1. Proposition 8.19. i) Für jedes Monoid (M,μ,ϵ) in einer strikt monoidalen Kate-

gorie C gibt es genau einen strikt monoidalen Funktor Δ ⟶^{F} C mit F 1 = M, F (2 → 1) = μ, F (0 → 1) = η.

ii) Bezeichnet (□-Cat) die Kategorie der strikt monoidalen kleinen Kategorien, so

gibt es natürliche Isomorphismen von Kategorien

Hom_{(□-Cat)}(Δ,C) ≅ (Mon_{C}) für C ∈ (□-Cat).

Beweis. Siehe [ML98, §VII.5]. Grundidee:

• Für jedes n ∈ Δ muss F n = F (1 + ··· + 1) = F 1□··· □F 1 = X□··· □X gelten.

• Die Axiome eines Monoids liefern für jedes n ∈ ℕ genau einen Morphismus

\underbrace{X□··· □X}_{n mal X}⟶^{μ^{(n)}} X, wobei μ^{(0)} = η, μ^{(1)} = 1_{X}, μ^{(2)} = μ, ....

Jeder Morphismus m ⟶^{f} n in Δ ist ein Produkt

[figure: m; f; =; f^{−1} (1); □; ···; □; f^{−1} (n); n; 1; 1]

und somit muss F f = μ^{(|f^{−1} (1)|)}□··· □μ^{(|f^{−1} (n)|)} gelten.

• Zu prüfen: F (f)F (g) = F (fg) für alle Morphismen f,g in Δ.

Ende d. Vorlesung vom 25.01.2012

8.5 Simpliziale Homologietheorien

Plan Konstruiere berechenbare “Invarianten” für Objekte einer Kategorie A (beispielsweise (Top),(Group),(R-Mod),...) in Form eines Funktors

A ⟶^{F} [Δ_{+}^{op},(Ab)] ⟶^{C−} (Kettenkomplexe) ⟶^{H} (ℕ-grad. ab. Gruppen) , wobei Δ_{+} ⊂ Δ folgende Unterkategorie ist:

Ob(Δ_{+} ) = Ob(Δ) \ \{0\},  Hom_{Δ_{+}} (m,n)= \{ \begin{matrix}Hom_{Δ}(m,n), & m ≤ n, \\ ∅, & m > n. \end{matrix}

Definition von H

• Ein Kettenkomplex ist eine Folge von abelschen Gruppen und Homomorphismen

(C,∂): ···→ C_{n+1} ⟶^{∂_{n}} C_{n} → ···⟶^{∂_{0}} C_{0} mit ∂_{n}∂_{n+1} = 0 für alle n ∈ ℕ.

Seine Homologie ist

H(C,∂)= ⨁_{n} H_{n}(C,∂) mit H_{n}(C,∂) = ker∂_{n−1} /img∂_{n} für alle n ∈ ℕ,

wobei img∂_{n+1} ⊆ ker∂_{n} wegen ∂_{n}∂_{n+1} = 0.

• Ein Morphismus (C,∂) ⟶^{α} (C′,∂′) ist ein kommutatives Diagramm

[figure: ···; C_{n}; ∂_{n−1}; α_{n}; ⟲; C_{n−1}; α_{n−1}; ···; ···; C′_{n}; ∂′_{n−1}; C′_{n−1}; ···]

Dieses liefert für jedes n ∈ ℕ einen Homomorphismus

H_{n}α: H_{n}(C,∂) → H_{n}(C′,∂′), x + img∂_{n} ↦ α_{n}(x) + img∂′_{n},

denn α_{n}(ker∂_{n−1} ) ⊆ ker∂′_{n} und α_{n}(img∂_{n}) ⊆ img∂′_{n}.

Definition von C−

• Für jedes n ∈ ℕ und i = 1,...,n + 1 gibt es genau eine Randabbildung δ_{i}^{n} ∈ Hom_{Δ_{+}} (n,n + 1), definiert durch imgδ_{i}^{n} = {1,...,n + 1} \ {i}.

Sie erfüllen

δ_{i}^{n+1} δ_{j}^{n} = \{ \begin{matrix}δ_{j+1}^{n+1} δ_{i}^{n}, & i ≤ j, \\ δ_{j}^{n+1} δ_{i}^{n}, & i > j \end{matrix} für alle n,i,j  (16)

und erzeugen Δ_{+} : jeder Morphismus ist eine Verknüpfung der (δ_{i}^{n})_{n,i} oder eine Identität.

• Jeder Funktor Y ∈ [Δ_{+}^{op},(Ab)] liefert einen Kettenkomplex

···⟶ (CY)_{n+1} := Y (n + 2) \underrightarrow{∂_{n}:= ∑_{i=1}^{n+1}(−1)^{i}Y (δ_{i}^{n+1} )} (CY)_{n}:= Y (n + 1) ⟶ ···;

die Relation ∂_{n}∂_{n+1} = 0 folgt aus den Relationen (16).

• Jede natürliche Transformation Y ⟶^{α} Y′in [Δ_{+}^{op},(Ab)] liefert offenbar einen Mor-

phismus CY −→^{Cα} CY′.

Beispiele für F

• Simpliziale Homologie simplizialer Komplexe ist der Funktor

A := [Δ_{+}^{op},(Set)] ⟶^{ℤ−} [Δ_{+}^{op},(Ab)] −−⟶^{HC(−)} (ℕ-grad. ab. Gruppen) , wobei (Set)⟶^{ℤ−} (Ab)der “freie abelsche Gruppe”-Funktor ist. Vorstellung: Jedes X ∈ [Δ^{op},(Set)] besteht aus

– Mengen X(1),X(2),X(3)... von Ecken, Kanten, Dreiecken, ...

– Randabbildungen \xymatrix{··· & X(3) \ar[r] \ar[r] \ar[r] & X(2) \ar[r] \ar[r] & X(1)} und beschreibt einen triangulierten topologischen Raum — das Bild von X unter dem Funktor [Δ_{+}^{op},(Set)] ⟶^{|·|} (Top)(geometrische Realisierung). Die simpliziale Homologie H_{∗}(X) = H_{∗}(CℤX) zählt die “Löcher” von |X|.

• Singuläre Homologie topologischer Räume ist der Funktor

A := (Top)−→^{S−} [Δ_{+}^{op},(Set)] −−−−−−−−⟶^{simpl. Homologie} (ℕ-grad. ab. Gruppen) . wobei S− wie folgt definiert ist. Die Standardsimplexe liefern \underline{Δ} : Δ → (Top):

– \underline{Δ}(n) = konvexe Hülle der Einheitsvektoren e_{1}^{n},...,e_{n}^{n} ∈ ℝ^{n} (leer für n = 0);

– \underline{Δ}(m ⟶^{f} n) ist affin linear mit e_{i}^{m} ↦ e_{f(i)}^{n} für i = 1,...,m. Wir erhalten für jeden topologischen Raum X

– eine Approximation von X durch den simpl. Komplex SX := Hom(\underline{Δ}−,X): SX_{n} = Menge der (n − 1)-Ecke in SX = Hom(\underline{Δ}(n),X),

– den Komplex CℤSX der singulären Ketten,

– die singuläre Homologie H_{∗}(X) := H_{∗}CℤSX von X.

• Homologie kleiner Kategorien ist der Funktor

A := (Cat)−−→_{Nerv}^{N} [Δ_{+}^{op},(Set)] −−−−−−−−⟶^{simpl. Homologie} (ℕ-grad. ab. Gruppen) , wobei N wie folgt definiert ist. Die geordneten Mengen \underline{n} = \{1,...,n\} (n ∈ ℕ), aufgefasst als Kategorien, liefern einen Funktor ι: Δ → (Cat), n ↦ \underline{n}. Der Nerv einer Kategorie C ist dann der simpliziale Komplex N_{C}:= Hom_{(Cat)}(ι−,C):

N_{C}(n)= {Diagramme X_{1} ⟶^{f_{1}} X_{2} ⟶^{f_{2}} ···⟶^{f_{n}} X_{n} in C},
N_{C}(δ_{i}^{n−1} )= Entferne in einem Diagramm wie oben X_{i}.

Mit der Einbettung (Group)→ (Cat)erhalten wir dann für jede Gruppe G:

– der Nerv N_{G}(n) = G^{n} ist der klassifizierende Raum für BG

– die Homologie von G als Homologie des Kettenkomplexes

···⟶ ℤG^{n+2} ⟶^{∂_{n}} ℤG^{n+1} ⟶ ···
(x_{1},...,x_{n+2} )↦ (x_{2},...,x_{n+2} )

+ ( ∑_{i=1}^{n+1}(−1)^{n}(x_{1},...,x_{i−1} ,x_{i}x_{i+1} ,x_{i+2} ,...,x_{n+2} ))

+ (−1)^{n+2} (x_{1},...,x_{n+1} ).

• Homologie via Komonaden Sei A eine Kategorie mit einer Komonade T = (A ⟶^{T}

A, T ⟶^{δ} T^{2}, T ⟶^{ϵ} 1_{A}) und einem Funktor A ⟶^{U} (Ab). Wir erhalten eine T -Homologie A −⟶^{UT_{−}} [Δ_{+}^{op},(Ab)] −⟶^{HC_{−}} (ℕ-grad. ab. Gruppen) wie folgt. Die universelle Eigenschaft von Δ (Proposition 8.19) liefert einen Funktor Δ_{+}^{op} → [A,A] und damit

A ∋ A ↦ UT_{A}: Δ_{+}^{op} → (Ab), \{ \begin{matrix}n ↦ UT^{n}A, \\ δ_{i}^{n} ↦ UT^{i−1} ϵ_{T^{n−i} A}. \end{matrix}

Zum Beispiel liefert für jeden kommutativen Ring R die bekannte Adjunktion (Ab) [figure: ⊥](R-Mod) eine Komonade T auf (R-Mod),

T: (R-Mod) → (R-Mod), M ↦ R ⊗_{ℤ} M, ϵ_{M}: R ⊗_{ℤ} M → M, r ⊗ m ↦ rm.

Jeder R-Modul N liefert dann einen Funktor N ⊗_{R}−: (R-Mod) → (Ab)und somit einen Homologie-Funktor Tor^{R}(N,−): (R-Mod) → (ℕ-grad. ab. Gruppen) , der einem R-Modul M die Homologie des Komplexes

···⟶ N ⊗ R^{⊗n} ⊗ M ⟶^{∂_{n}} N ⊗ R^{⊗n−1} ⊗ M ⟶ ···
x ⊗ r_{1}⊗ ··· ⊗ r_{n}⊗ y ↦ xr_{1}⊗ r_{2}⊗ ··· ⊗ r_{n}⊗ y

+ ∑_{i=2}^{n−1}(−1)^{i−1} xr_{1}⊗ r_{1}⊗ ··· ⊗ r_{i}r_{i+1} ⊗ ··· ⊗ r_{n}⊗ y

+ (−1)^{n−1} x ⊗ r_{1}⊗ ··· ⊗ r_{n−1} ⊗ r_{n}y.

Literatur

[Bar02] Michael Barr. Acyclic models, volume 17 of CRM Monograph Series. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.

[Bor94] Francis Borceux. Handbook of categorical algebra. 1, volume 50 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. Basic category theory.

[KS06] Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. Categories and sheaves, volume 332 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 2006.

[ML98] Saunders Mac Lane. Categories for the working mathematician, volume 5 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, second edition, 1998.