Vorlesung zu “Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie”
SS 2016
Themen der Vorlesung ¶
Die Vorlesung gibt eine Einführung in
- mengentheoretische Topologie (topologische Räume und stetige Abbildungen, Netze, Kompaktheit, Approximationssatz von Stone-Weierstraß, Metrisierbarkeit, evt. Partitionen der Eins, Zusammenhang);
- die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes (Fundamentalgruppe/-gruppoid, Windungszahl, Überlagerungen und deren Klassifikation);
- Grundlagen zu differenzierbare Mannigfaltigkeiten (differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Vektorbündel, Tangentialräume und -bündel).
Diese Inhalte sind grundlegend für die drei Vertiefungsmodule Funktionalanalysis, Topologie, Differentialgeometrie, 1. und 3. darüber hinaus aber auch für fast alle Gebiete der reinen Mathematik.
Skript ¶
Das fortlaufend aktualisiertes Skript als Gesamtdatei und zerlegt in einzelne Kapitel: geben:
- 0. Deckblatt
- 1. Topologische Räume und stetige Abbildungen (12.4.)
- 2. Konvergenz und Netze (15.4.)
- 3. Produkte und initiale Topologien (19.4.)
- 4. Quotienten und finale Topologien, 5. Abschluss, Rand und Trennungseigenschaften (22.4.)
- 6. Kompaktheit (26.4.)
- 7. Filter und der Satz von Tychonoff (26.4., 03.5)
- 8. Lokal-kompakte Räume (03.5., 06.5)
- 9. Das Lemma von Urysohn und Metrisierbarkeit (06.5., 10.5)
- 10. Funktionen auf lokal-kompakten Hausdorff-Räumen (10.5., 13.5)
- 11. Der Satz von Stone-Weierstrass (13.5.)
- 12. Zusammenhang (24.5.)
- 13. Die Fundamentalgruppe (24.5., 31.5.)
- 14. Die Fundamentalgruppe und Abbildungen (31.5., 3.6.)
- 15. Die Fundamentalgruppe des Kreises (3.6., 7.6.)
- 16. Überlagerungen und Hochhebungen (7.6., 10.6.)
- 17. Die Wirkung der Fundamentalgruppe auf der Faser einer Überlagerung (14.6.)
- 18. Klassifikation von Überlagerungen (21.6.)
- 19. Kategorien und Funktoren (21.6.)
- 20. Glatte Mannigfaltigkeiten (24.6.)
- 21. Untermannigfaltigkeiten (28.6., 1.7.)
- 22. Approximation durch glatte Funktionen (1.7., 5.7.)
- 23. Der Tangentialraum (5.7., 8.7.)
- 24. Ableitungen von Funktionen und Abbildungen (8.7.)
- 25. Das Tangentialbündel (11.7.,15.7.)
Übungsaufgaben
- Blatt 1
- Blatt 2 | Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5
- Blatt 3 | Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5
- Blatt 4 | Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5
- Blatt 5 | Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5
- Blatt 6 | Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5
- Blatt 7 | Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5
- Blatt 8 | Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5
- Blatt 9 | Musterlösung zur Zusatzaufgabe 5
- Blatt 10
- Blatt 11
- Blatt 12
Literatur ¶
Die Vorlesung folgt nicht direkt einem Buch. Als Literatur empfehle ich nachfolgende Bücher, die in der Bibliothek im Semesterapparat zu finden sind.
- Glen E Bredon. Topology and geometry, GTM 139. Springer, 1993.
- Klaus Jänich. Topologie. Springer, 2005.
- Klaus Jänich. Vektoranalysis. Springer, 2005.
- William S. Massey. Algebraic topology - an introduction. Springer, 1967.
- James R. Munkres. Topology - a first course. Prentice-Hall, 1975.
- Erich Ossa. Topologie. Vieweg, 1992. - Gert K. Pedersen. Analysis now, volume 118. Springer, 2012.
- Boto von Querenburg. Mengentheoretische Topologie. Springer, 2008.
- Volker Runde. A taste of topology. Springer, 2005.
- Isadore M. Singer, John A. Thorpe. Lecture notes on elementary topology and geometry. Scott, Foresman and Co, 1967.
Eine Fundgrube an Übungsaufgaben ist das folgende Buch:
- Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov. Elementary Topology Problem Textbook.