Das Seminar richtet sich an Studierende im Studiengang 2-Fach-Bachelor Mathematik und kann zur Vorbereitung auf eine anschließende Bachelor-Arbeit im Umfeld der behandelten Themen genutzt werden.

Inhalt

Dynamische Systeme sind mathematische Modelle von Prozessen und ihrem zeitlichen Verlauf. Sie treten in vielen Varianten auf, zum Beispiel mit diskretisierter oder kontinuierlicher Zeit, deterministischem oder stochastischem Verlauf und so weiter. In dem Seminar soll eine breite Auswahl von Beispielen und Methoden behandelt werden.

Vortragsplan

Den Vortrasgplan finden Sie hier auch als PDF-Datei.

• 11.10.: Diskrete Wachstumsmodelle und Differenzengleichungen (Necip-Soner Bölükbas)
  Differenzengleichungen; lineares/quadratisches/exponentielles/begrenztes Wachstum; Lucas-Folgen und deren explizite Form; gekoppelte Differenzengleichungen und deren Entkopplung
  [5, §4.2, 4.4]

• 18.10.: Die logistische Gleichung (Verena Bramkamp)
  Logistische Gleichung; Langzeitverhalten und Fixpunkte für Parameter zwischen 0 und 3; Existenz periodischer Punkte für Parameter 4
  [2, §1.5], [3, §1.5], [5, §4.2.6, 4.3], [11, §2.1]

• 25.10.: Dynamische Systeme und Konjugation (Jana Gaelings)
  dynamische Systeme; Konjugation; Konjugation zwischen Zeltabbildung und log. Abbildung; Shift-Abbildung; Konjugation zwischen log. Abbildung und Shift-Abbildung
  [2, §1.1], [3, §1.6, 1.7] [9, §9.4], [11, §4.1, §4.2, §4.3.4]

• 8.11.: Chaos und der Schmetterlingseffekt (Marc Manias)
  Transitivität; chaotische dynamische Systeme; Chaos und Konjugation; Beispiele: Shift; Zelt-Abbildung; log. Gleichung; sensitive Abhängigkeit und Schmetterlingseffekt
  [9, §9.2, §9.3], [11, §4.3, 4.4]

• 15.11: Iterierte Funktionensysteme und deren Attraktoren (Ansgar von Delft)
  Iterierte Funktionensysteme; Formulierung des Satzes von Hutchinson; Beispiele Cantor-Menge, Sierpinski-Dreieck, Koch-Kurve; die Hausdorff-Metrik; Wiederholung Banachscher Fixpunktsatz; Der Satz von Hutchinson
  [2, §1.2], [9, §5.8], [6, §9.1], [10, §11.3–11.5], [11, §7.1–7.3]

• 22.11.: Die Box-Dimension und die Hausdorff-Dimension (Felix Michelmann gen Lohmann)
  Definition der Box-Dimension; Hausdorff-Maß; Hausdorff-Dimension; Skalierungseigenschaften; Skalierungseigenschaft;Berechnung für Cantor-Menge, Sierpinski-Dreieck
  [6, §2.1, 3.1–3.3], [10, §11.6]

• 29.11.: Dimension von Attraktoren iterierter Funktionensysteme (Eileen Bartl)
  Formulierung des Satzes von Moran; Anwendung auf Cantor-Menge, Sierpinski-Dreieck, Koch-Kurve; Anwendung auf Kettenbrüche; Schritte zum Beweis des Satzes von Moran
  [2, §1.2], [6, §3.1–3.3, 9.2, 10.2], [10, §11.6]

• 06.12.: Endliche Markov-Ketten und deren Langzeitverhalten (Sophia Walgern)
  stochastische Matrizen; Übergangsgraphen; Beispiele; Grenzverteilung für reguläre stochastische Matrizen
  [1, §20.5], [4, §1, §10]

• 13.12.: Tridiagonale Markov-Ketten (Dilan Demirel)
  Tridiagonale Markov-Ketten; das Spieler-Ruin-Problem; das Ehrenfest-Modell
  [1, §20.5]

• 10.01.: Absorbierende Markov-Ketten (Elena Vogt)
  absorbierende und transiente Zustände; Normalform der Übergangsmatrix; Fundamentalmatrix; Absorbtionswahrscheinlichkeit; Absorbtionsdauer; Beispiele
  [7, §11.2], [8, Bsp. 3.4.9]

• 17.01.: Wiederkehrzeiten für reguläre Markov-Ketten (Henning Raabe)
  mittlere Besuchs- und Wiederkehrzeiten; eventuell Fundamentalmatrix für reguläre Markov-Ketten; eventuell Berechnung der mittleren ersten Besuchszeiten mittels der Fundamentalmatrix
  [7, §11.5]

Literatur

[1]   Martin Brokate, Norbert Henze, Frank Hettlich, Andreas Meister, Gabriela Schranz-Kirlinger, and Thomas Sonar. Arbeitsbuch Grundwissen Mathematikstudium – Höhere Analysis, Numerik und Stochastik. Aufgaben, Hinweise, Lösungen und Lösungswege. Unter Mitwirkung von Daniel Rademacher. Heidelberg: Springer Spektrum, 2016.
verfügbar im Semesterapparat.

[2]   Manfred Denker. Einführung in die Analysis dynamischer Systeme. Springer-Lehrbuch. [Springer Textbook]. Springer-Verlag, Berlin, 2005.
verfügbar unter springerlink

[3]   Robert L. Devaney. An introduction to chaotic dynamical systems. Addison-Wesley Studies in Nonlinearity. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, second edition, 1989.
verfügbar im Semesterapparat.

[4]   Arthur Engel. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Bd. 2. Klett Studienbücher Mathematik. Stuttgart: Ernst Klett Verlag. 247 S. DM 23.20 (1976)., 1976.
verfügbar im Semesterapparat.

[5]   Joachim Engel. Anwendungsorientierte Mathematik. Von Daten zur Funktion. Eine Einführung in die mathematische Modellbildung für Lehramtsstudierende. Berlin: Springer, 2009.
verfügbar unter springerlink

[6]   Kenneth Falconer. Fractal geometry. John Wiley & Sons, Ltd., Chichester, third edition, 2014.
verfügbar im Semesterapparat.

[7]   Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell. Introduction to probability. CHANCE project, 2006.

[8]   Bertram Huppert and Wolfgang Willems. Lineare Algebra. Wiesbaden: Teubner, 2006.
verfügbar unter springerlink

[9]   Jörg Neunhäuserer. Schöne Sätze der Mathematik. Ein Überblick mit kurzen Beweisen. Heidelberg: Springer Spektrum, 2015.
verfügbar unter springerlink

[10]   Christiane Rousseau and Yvan Saint-Aubin. Mathematik und Technologie. Heidelberg: Springer Spektrum, 2012.
verfügbar unter springerlink

[11]   Shlomo Sternberg. Dynamical systems. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2010.
verfügbar im Semesterapparat