Das doppelt angebotene Seminar richtet sich an Studierende im Studiengang 2-Fach-Bachelor Mathematik und kann zur Vorbereitung auf eine anschließende Bachelor-Arbeit im Umfeld der behandelten Themen genutzt werden.

Inhalt

Kryptographie zielt natürlich darauf, Informationsübertragung gegen Lauscher abzusichern. Zum Beispiel kann man in der Nachricht systematisch jedes "a" durch ein "b", jedes "b" durch ein "c" etc. ersetzen, was aber einfach zu entschlüsseln ist. Wir besprechen bessere kryptographische Methoden, die im Wesentlichen auf elementarer Zahlentheorie (Restklassen, Primzahlen) und Rechnen mit den ganzen Zahlen oder Restklassen beruhen, wie das berühmte RSA-Verfahren.

Codierungstheorie darauf, gegen Störungen (Rauschen etc.) abzusichern. Zum Beispiel kann man jeden Buchstaben der Nachricht ein- oder mehrfach wiederholen, was aber nicht sehr effizient ist. Wir besprechen bessere lineare Codes, wozu wir Methoden der linearen Algebra benutzen, und zyklische Codes, wozu wir mit Polynomen rechnen müssen. Beispielsweise lernen wir Codes kennen, die für Raumfahrt-Missionen verwendet wurden.

Dabei werden wir sehen, dass sich ganze Zahlen in mancher Hinsicht ähnlich wie Polynome verhalten, weil beide Objekte jeweils euklidische Ringe bilden.

Mögliche Vortragsthemen sind beispielsweise

• das RSA-Verschlüsselungsverfahren
• Verschlüsselung mit elliptischen Kurven
• Beispiele linearer Codes
• Polynomringe und zyklische Codes

Vortragsplan

Den nachfolgenden Plan finden Sie hier auch im PDF-Format: Vortragsplan

1. (09./11.4.) Theresa Kranz/Fenna Harms
   Der Chinesische Restsatz
   erweiterter euklidischer Algorithmus; Rechnen mit Restklassen; prime Restklassengruppe und Eulersche $\varphi$-Funktion; chinesischer Restsatz über simultane Kongruenzen; evt.
   Anwendung auf Carmichael-Zahlen [Buc16, §1.6, §2.8, §2.15, §7.3]
2. (16./18.4.) Marcel Schoppmeier/Nicole Becker
   Der kleine Satz von Fermat und das RSA-Verfahren
   Ordnung von Gruppenelementen; der kleine Satz von Fermat; Prinzip der Public-Key Verschlüsselung; das RSA-Verfahren: Ver- und Entschlüsselung; evt.
   schnelle Exponentiation; evt. Bemerkungen zur Sicherheit [Buc16, 2.8–2.12, §8.3], [Wil08, S.
   76–78]
3. (23./25.4.) Niklas Pieper/Jonah Samson
   Verschlüsselung mittels diskreter Logarithmen
   diskrete Logarithmen, Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch, Diffie-Hellman-Problem; ElGamal-Verfahren; Pohlig-Hellman-Algorithmus [Buc16, §8.6–8.7, §10.5], [Wil08, S.
   78–80, §16]
4. (30.4./02.5.) Johanna Döller/Eileen Bartl
   Verschlüsselung mittels elliptischer Kurven
   Was ist eine elliptische Kurve; Gruppenstruktur: geometrische und algebraische Beschreibung; Satz von Hasse ohne Beweis [Buc16, §13.2], [Wil08, §15]
5. (07./09.5.) Oliver Lappenküper/Sarah Pinkhaus
   Der Chinesische Restsatz für Ringe
   Produkte von Ringen; Ringhomomorphismen; Zerlegung des Restklassenringes; Ideale, Hauptideale und Quotientenringe; der allgemeine chinesische Restsatz [Buc16, §2.16], [Bos13, §2.3]
6. (14./16.5.) Ekaterini Karanassiou/Julia Cleven
   Endliche Körper
   Charakteristik, Primkörper und Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers; Polynomdivision mit Rest; irreduzible Polynome und Zerfällungskörper; multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers ist zyklisch [Buc16, §2.19, 2.20], [Man17, §5.1], [Wil08, §22]
7. (28./30.5.) Monika Schäfter/Felix Schmidt
   Grundbegriffe der Codierungstheorie
   Grundproblem der Codierung; Block-Codes und Hamming-Metrik; Parameter eines Block-Codes; Hamming-Schranke; evt.
   Singleton-Schranke; Beispiele (Paritätscheck, ISIN-Code, EAN-Code, ISBN-Code) [Wil08, §1]; siehe auch [Man17, §1]
8. (04./06.6.) Theresa Roßkamp/Lisa Rensing
   Lineare Codes
   Lineare Codes, Minimalgewicht, Rate; Erzeuger- und Kontrollmatrix; Beispiele; erweiterter und dualer Code; Hamming- und Simplex-Code [Man17, §2.2, 2.3, 3.1], [Wil08, S.
   15–17]
9. (11./13.6.) Aurelia Bröskamp/Menuja Jeyalavathas
   Kodierung und Dekodierung linearer Codes
   Systematische Kodierung; Syndrom-Dekodierung; Hamming-Dekodierung [Man17, 2.4, 2.5, 3.2, 3.3.2–3.3.4], [Wil08, S.
   18–19]
10. (18./20.6.) Jonathan Wille/Alexander Westhölter
    Beispiele linearer Codes
    binäre Golay-Codes; Plotkin-Konstruktion und binäre Reed-Muller-Codes [Man17, 3.3, 3.4, 4.1, evt.
    4.2], [Wil08, S.
    21–23]
11. (25./27.6.) Johanna Hartmann/Tabea Emans
    Zyklische Codes
    Zyklische Codes; Erzeuger- und Kontroll-Polynom; Erzeuger- und Kontrollmatrizen; einfache Beispiele zyklischer Codes [Buc16, §2.19], [Man17, §6.1], [Wil08, S.
    47–50]
12. (02./04.7.) Lena Flathmann/Leonie Lenders
    Reed-Solomon-Codes
    Konstruktion von endlichen Körpern als Restklassen bezüglich eines irreduziblen Polynoms; Reed-Solomon-Codes; Beispiele und Anwendungen [Buc16, §2.20], [Man17, §5.1.2, §5.2, §5.3], [Wil08, S.
    20]
13. (09./11.7.) Simon Pehle/Mona Knab
    Mehr über zyklischer Codes ODER Faltungscodes
    Kodierung und CRC-Kodierung; zyklische Reed-Solomon-Codes; BCH-Schranke [Man17, §6.3.1, 6.3.3, 6.5.3, 7.1], [Wil08, S.
    49–52], [Buc16, §2.21]

Literatur

Ergänzende Literatur

• Ling und Xing, Coding Theory, Cambridge University Press
• Lütkebohmert, Codierungstheorie, Vieweg
  (aus dem Netz der Uni heraus frei verfügbar unter springerlink)
• Dankmeier, Grundkurs Codierung, Vieweg
(aus dem Netz der Uni heraus frei verfügbar unter springerlink)
• Schulz, Codierungstheorie, Vieweg